정다각형 테셀레이션

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

정다각형 테셀레이션은 평면을 정다각형으로 채우는 것을 연구하는 기하학의 한 분야이다. 유클리드 타일링의 표기법과 GomJau-Hogg 표기법을 통해 테셀레이션을 표현하며, 정규 타일링, 준정규 타일링, k-균일 타일링 등 다양한 종류로 분류된다. 정규 타일링은 정삼각형, 정사각형, 정육각형을 사용하여 만들 수 있으며, 준정규 타일링은 아르키메데스 타일링 또는 균일 타일링이라고도 불린다. k-균일 타일링은 꼭짓점의 궤도 수에 따라 분류되며, 변이 맞닿지 않는 테셀레이션도 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

정다각형 타일링 - 정사각형 테셀레이션
정사각형 테셀레이션은 유클리드 평면을 정사각형으로 빈틈없이 덮는 테셀레이션으로, 위상적으로 동일한 다양한 사변형 테셀레이션을 만들 수 있으며, 균일 색칠, 정다면체 및 테셀레이션 수열, 원 채우기와 관련된다.
정다각형 타일링 - 정삼각형 테셀레이션
정삼각형 테셀레이션은 평면을 정삼각형으로 빈틈없이 채우는 구조로, 슐레플리 기호 {3,6}으로 표현되며, 다양한 수학적 개념 및 다른 삼각형 테셀레이션과 연관되어 여러 분야에서 활용된다.
테셀레이션 - 준결정
준결정은 주기적인 결정 구조가 아닌 규칙적인 회절 패턴을 보이는 고체 물질이며, 댄 셰흐트만이 발견하여 2011년 노벨 화학상을 수상했으며, 다각형과 이코사헤드럴의 두 가지 유형이 존재하고, 높은 열 및 전기 저항 등의 특성을 나타낸다.
테셀레이션 - 펜로즈 테셀레이션
펜로즈 테셀레이션은 로저 펜로즈가 발견한 비주기적 테셀레이션으로, 유한한 종류의 프로토타일로 평면을 채울 수 있으며, 초기 6개에서 2개로 줄어든 프로토타일을 사용하고 황금비와 관련되어 현대 건축 및 디자인에서 활용된다.
유클리드 평면기하학 - 피타고라스 정리
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 정리로, a² + b² = c²으로 표현되며, 한 변의 길이를 계산하는 데 사용되고, 여러 지역에서 알려졌으나 피타고라스 학파에 의해 체계화되었다고 전해진다.
유클리드 평면기하학 - 스튜어트 정리
스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이며, 아폴로니우스 정리를 포함하고 코사인 법칙을 이용하여 증명한다.

정다각형 테셀레이션
개요
볼록 정다각형으로 이루어진 유클리드 평면의 3가지 정칙 테셀레이션
테셀레이션 유형	유클리드 테셀레이션
다각형 유형	볼록 정다각형
차원	2차원
공간	유클리드 평면
꼭지점 배열	3.3.3.3.3.3, 4.4.4.4, 3.6.3.6
대칭 그룹	p6m, p4m, p3m1
설명
정의	유클리드 평면을 겹치거나 틈 없이 채우는 볼록 정다각형의 배열
정칙 테셀레이션	모든 면이 동일한 정다각형이고, 모든 꼭지점이 동일한 배열을 갖는 테셀레이션 (3가지 존재)
준정칙 테셀레이션 (아르키메데스 테셀레이션)	둘 이상의 정다각형으로 구성되며, 모든 꼭지점이 동일한 배열을 갖는 테셀레이션 (8가지 존재)
k-균일 테셀레이션	k개의 서로 다른 꼭지점 배열을 갖는 테셀레이션
정칙 테셀레이션
종류	3가지
구성 다각형	정삼각형 (3.3.3.3.3.3) 정사각형 (4.4.4.4) 정육각형 (6.6.6)
꼭지점당 다각형 수	각각 6개, 4개, 3개
특징	가장 단순하고 대칭적인 형태의 테셀레이션
준정칙 (아르키메데스) 테셀레이션
종류	8가지
구성 다각형	둘 이상의 정다각형 조합
예시	3.3.3.3.6 3.3.3.4.4 3.3.4.3.4 3.4.6.4 3.6.3.6 3.12.12 4.6.12 4.8.8
특징	정칙 테셀레이션보다 복잡하지만, 여전히 높은 대칭성을 가짐
k-균일 테셀레이션
정의	k개의 서로 다른 꼭지점 배열을 갖는 테셀레이션
종류	k 값에 따라 다양하게 존재
예시	2-균일, 3-균일 테셀레이션 등
특징	복잡한 구조를 가지며, 대칭성이 낮아질 수 있음
기타 테셀레이션
비주기적 테셀레이션	반복되는 패턴이 없는 테셀레이션 (예: 펜로즈 타일링)
쌍대 테셀레이션	기존 테셀레이션의 각 면의 중심을 연결하여 얻는 테셀레이션
보로노이 테셀레이션	평면 상의 점들을 기준으로 가장 가까운 점을 연결하여 얻는 테셀레이션
응용
건축	바닥, 벽면 디자인 등
예술	회화, 모자이크 등
과학	결정 구조 연구 등
컴퓨터 그래픽스	텍스처 생성 등

2. 유클리드 타일링의 표기법

Cundy & Rollett 표기법은 꼭짓점의 개수, 각 꼭짓점을 둘러싼 다각형의 개수(시계 방향), 각 다각형의 변의 개수를 순서대로 나타낸다.^[18]^[1] 예를 들어 3⁶; 3⁶; 3⁴.6은 세 개의 꼭짓점이 존재하며, 두 개의 꼭짓점은 각각 6개의 정삼각형으로, 나머지 한 꼭짓점은 4개의 정삼각형과 1개의 정육각형으로 둘러싸여 있음을 의미한다.^[18]^[1] 이러한 타일링은 '3-균일(2-꼭짓점 종류)' 타일링이라고 한다.^[18]^[1]

하지만 이 표기법은 두 가지 큰 문제점이 있다.^[19]^[2] 첫째, 꼭짓점 간의 관계를 명확히 표현하지 못하여 표기법만으로 평면을 채우는 것이 불가능하다.^[19]^[2] 둘째, 일부 타일링은 동일한 표기법으로 표현될 수 있어 각 테셀레이션을 구별할 수 없다.^[19]^[2]

GomJau-Hogg 표기법^[20]^[3]은 2012년에 제안되었다.^[19]^[2] 이 표기법은 테셀레이션과 이중 격자의 생성 과정을 고려하며, 회전 및 반사와 같은 기하학적 변환을 이용하여 타일링을 표현한다. 무료 온라인 애플리케이션인 Antwerp v3.0^[21]^[4]을 통해 GomJau-Hogg 표기법을 이용한 정다각형 테셀레이션을 시각적으로 확인할 수 있다.

2. 1. Cundy & Rollett 표기법

Cundy & Rollett 표기법은 꼭짓점의 개수, 각 꼭짓점을 둘러싼 다각형의 개수(시계 방향), 각 다각형의 변의 개수를 순서대로 나타낸다.^[18]^[1] 예를 들어 3⁶; 3⁶; 3⁴.6은 세 개의 꼭짓점이 존재하며, 두 개의 꼭짓점은 각각 6개의 정삼각형으로, 나머지 한 꼭짓점은 4개의 정삼각형과 1개의 정육각형으로 둘러싸여 있음을 의미한다.^[18]^[1] 이러한 타일링은 '3-균일(2-꼭짓점 종류)' 타일링이라고 한다.^[18]^[1]

하지만 이 표기법은 두 가지 큰 문제점이 있다.^[19]^[2] 첫째, 꼭짓점 간의 관계를 명확히 표현하지 못하여 표기법만으로 평면을 채우는 것이 불가능하다.^[19]^[2] 둘째, 일부 타일링은 동일한 표기법으로 표현될 수 있어 각 테셀레이션을 구별할 수 없다.^[19]^[2]

이러한 문제를 해결하기 위해 GomJau-Hogg의 표기법^[20]^[3]이 2012년에 발표되었다.^[19]^[2]

2. 2. GomJau-Hogg 표기법

Cundy & Rollett 표기법은 유클리드 타일링을 표현하는 데 널리 사용되지만, 몇 가지 한계점을 지닌다.^[18]^[1] 이 표기법은 꼭짓점의 개수, 각 꼭짓점이 접하는 다각형의 개수(시계 방향), 각 다각형의 변의 개수를 나타낸다. 예를 들어 3⁶; 3⁶; 3⁴.6은 서로 다른 두 종류의 꼭짓점을 가진 3개의 정점이 있음을 의미하며, '3-균일 (2-정점 유형)' 테셀레이션으로 분류된다.^[18]^[1]

하지만 이 표기법은 두 가지 주요 문제점을 갖는다.^[19]^[2] 첫째, k-균일 타일링에서 꼭짓점 간의 관계를 설명하지 않아 표기법만으로 평면을 채우는 것이 불가능하다. 둘째, 일부 테셀레이션은 동일한 표기법을 가지지만, 육각형의 상대적 위치가 달라 서로 다른 테셀레이션으로 구분되어야 한다. 즉, Cundy & Rollett 표기법은 각 테셀레이션을 고유하게 식별하지 못한다.

이러한 문제를 해결하기 위해 GomJau-Hogg 표기법^[20]^[3]이 2012년에 제안되었다.^[19]^[2] 이 표기법은 테셀레이션과 이중 격자의 생성 과정을 고려하며, 회전 및 반사와 같은 기하학적 변환을 이용하여 타일링을 표현한다. 무료 온라인 애플리케이션인 Antwerp v3.0^[21]^[4]을 통해 GomJau-Hogg 표기법을 이용한 정다각형 테셀레이션을 시각적으로 확인할 수 있다.

3. 정규 타일링

Grünbaum과 Shephard(section 1.3)에 따르면, 정규 타일링은 타일링의 대칭군이 ''기점''_(영어판)에 추이적으로 작용하는 것을 말한다.^[22] 여기서 기(旗, flag)는 한 꼭짓점, 그 꼭짓점에 인접한 한 모서리, 그 꼭짓점과 모서리에 동시에 인접한 한 면 (기하학) 3가지를 말한다.^[22] 다시 말해서 어떤 쌍의 ''기점''에도, 첫 번째에서 두 번째 기점으로의 대칭 작용이 있다는 것이다.^[22]

정규 타일링은 합동인 정다각형을 통해 모서리 대 모서리로 만들어지는 타일링과 동치이다.^[22] 세 가지 정규 타일링은 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 한 꼭짓점에 모일 때 가능하다.^[22]

정규 타일링이 3개뿐이라는 것은 비교적 쉽게 증명할 수 있다.^[22] 정n각형의 한 내각의 크기는 $\frac{180^\circ (n-2)}{n}$ 인데, 정규 타일링은 모서리 대 모서리 타일링이고 한 종류의 정다각형만 사용하므로 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 한다.^[22] n이 최소인 3일 때 60°이고 n값에 상관없이 180°보다 작으므로 가능한 경우는 60°, 90°, 120°가 있다.^[22] 이 중 실제로 가능한 것은 60°의 정삼각형, 90°의 정사각형, 120°의 정육각형 뿐이다.^[22]

정규 타일링 (3)
p6m, *632		p4m, *442
정삼각형 타일링		정사각형 타일링
정삼각형 타일링 C&R: 3⁶	정육각형 타일링 C&R: 6³	정사각형 타일링 C&R: 4⁴

''C&R: Cundy & Rollet의 표기법''

''GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법''

3. 1. 정규 타일링의 종류

Grünbaum과 Shephard(section 1.3)에 따르면, 정규 타일링은 타일링의 대칭군이 ''기점''_(영어판)에 추이적으로 작용하는 것을 말한다.^[22] 여기서 기(旗, flag)는 한 꼭짓점, 그 꼭짓점에 인접한 한 모서리, 그 꼭짓점과 모서리에 동시에 인접한 한 면 (기하학) 3가지를 말한다.^[22] 다시 말해서 어떤 쌍의 ''기점''에도, 첫 번째에서 두 번째 기점으로의 대칭 작용이 있다는 것이다.^[22]

정규 타일링은 합동인 정다각형을 통해 모서리 대 모서리로 만들어지는 타일링과 동치이다.^[22] 세 가지 정규 타일링은 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 한 꼭짓점에 모일 때 가능하다.^[22]

정규 타일링이 3개뿐이라는 것은 비교적 쉽게 증명할 수 있다.^[22] 정n각형의 한 내각의 크기는

\frac{180^\circ (n-2)}{n}

인데, 정규 타일링은 모서리 대 모서리 타일링이고 한 종류의 정다각형만 사용하므로 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 한다.^[22] n이 최소인 3일 때 60°이고 n값에 상관없이 180°보다 작으므로 가능한 경우는 60°, 90°, 120°가 있다.^[22] 이 중 실제로 가능한 것은 60°의 정삼각형, 90°의 정사각형, 120°의 정육각형 뿐이다.^[22]

정규 타일링 (3)
p6m, *632		p4m, *442

C&R: 3⁶	C&R: 6³	C&R: 4⁴

''C&R: Cundy & Rollet의 표기법''

''GJ-H: GomJau-Hogg의 표기법''

3. 2. 정규 타일링의 증명

정규 타일링이 3개뿐이라는 것은 비교적 쉽게 증명할 수 있다. 정n각형의 한 내각의 크기는

\frac{180^\circ (n-2)}{n}

인데, 정규 타일링은 모서리 대 모서리 타일링이고 한 종류의 정다각형만 사용하므로 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 한다.^[22] n이 최소인 3일 때 60°이고 n값에 상관없이 180°보다 작으므로 가능한 경우는 60°, 90°, 120°가 있다.^[22] 이 중 실제로 가능한 것은 60°의 정삼각형, 90°의 정사각형, 120°의 정육각형 뿐이다.^[22]

Grünbaum과 Shephard(section 1.3)에 따르면, 정규 타일링은 타일링의 대칭군이 ''기점''에 추이적으로 작용하는 것을 말한다. 여기서 기(旗, flag)는 한 꼭짓점, 그 꼭짓점에 인접한 한 모서리, 그 꼭짓점과 모서리에 동시에 인접한 한 면 (기하학) 3가지를 말한다. 다시 말해서 어떤 쌍의 ''기점''에도, 첫 번째에서 두 번째 기점으로의 대칭 작용이 있다는 것이다.

정규 타일링은 합동인 정다각형을 통해 모서리 대 모서리로 만들어지는 타일링과 동치이다. 세 가지 정규 타일링은 정삼각형 6개, 정사각형 4개, 정육각형 3개가 한 꼭짓점에 모일 때 가능하다.

정규 타일링 (3)
p6m, *632		p4m, *442

C&R: 3⁶	C&R: 6³	C&R: 4⁴

''C&R: Cundy & Rollet의 표기법''

4. 준정규 타일링 (아르키메데스 타일링, 균일 타일링)

점추이는 임의의 한 쌍의 꼭짓점에 첫 번째에서 두 번째 꼭짓점으로 가는 대칭 작용이 있다는 것이다.^[23] 기(flag)추이의 조건이 점추이 중 하나로 약해지면, 모서리 대 모서리라는 조건이 있을 때 8개의 타일링이 더 가능하다. 이를 ''아르키메데스'', ''균일''(고른), ''준정규'' 타일링이라고 한다. 3⁴.6 타일링은 카이랄성을 지녀서 두 거울상이 있다. 다른 나머지 정규 또는 준정규 타일링은 카이랄성이 없다.

Grünbaum과 Shephard는 이런 타일링이 각 꼭짓점의 타일 배치가 같다는 부분적(local) 특성만 지키기 때문에 ''아르키메데스''라고 불렀다. 또 점특이의 전체적(global) 특성을 만족하기 때문에 ''균일''하다(고르다)고 했다. 평면에서는 같은 집합의 타일링을 말하지만, 다른 공간에서는 아르키메데스 타일링 중 고르지 않은 것도 있다.^[5]

4. 1. 준정규 타일링의 종류

점추이는 임의의 한 쌍의 꼭짓점에 첫 번째에서 두 번째 꼭짓점으로 가는 대칭 작용이 있다는 것이다.^[23] 기(flag)추이의 조건이 점추이 중 하나로 약해지면, 모서리 대 모서리라는 조건이 있을 때 8개의

Grünbaum과 Shephard는 각 꼭짓점의 타일 배치가 같다는 부분적(local) 특성 때문에 ''아르키메데스''라고 불렀고, 점특이의 전체적(global) 특성을 만족하기 때문에 ''균일''하다(고르다)고 했다.^[5]

3.12²
3.4.6.4
4.6.12
(3.6)²
4.8²
3².4.3.4
3³.4²
3⁴.6 - 카이랄성을 지녀서 두 거울상이 있다.

4. 2. 카이랄성

다듬은 정육각형 타일링(3⁴.6)은 카이랄성을 지녀서 두 거울상이 있다.^[23]^[5] 다른 나머지 정규 또는 준정규 타일링은 카이랄성이 없다.

5. 평면-꼭짓점 타일링

평면-꼭짓점 타일링을 형성하는 정다각형의 조합은 17가지이며, 21가지 유형의 평면-꼭짓점 타일링을 이룬다.^[6]^[7] 이들 다각형은 겹치거나 간격 없이 한 점에서 만난다. 꼭짓점 도형에 따라 나열하면, 한 개는 6개의 다각형, 세 개는 5개의 다각형, 일곱 개는 4개의 다각형, 열 개는 3개의 다각형을 갖는다.^[8]

이 중 세 개는 정규 타일링을, 여덟 개는 준정규 또는 아르키메데스 타일링을 만들 수 있다. 이 중 네 개는 더 높은 차수의 ''k''-균일 타일링에 존재할 수 있으며, 여섯 개는 겹치거나 간격 없이 정다각형으로 평면을 완전히 타일링하는 데 사용할 수 없다. 즉, 불규칙 다각형이 포함된 경우에만 공간을 완전히 테셀레이션한다.^[9]

평면-꼭짓점 타일링
6	40px 3⁶
5	40px 3.3.4.3.4	40px 3.3.3.4.4	40px 3.3.3.3.6
4	40px 3.3.4.12	40px 3.4.3.12	40px 3.3.6.6	40px (3.6)²	40px 3.4.4.6	40px 3.4.6.4	40px 4⁴
3	50px 3.7.42	40px 3.8.24	40px 3.9.18	40px 3.10.15	40px 3.12.12	40px 4.5.20	40px 4.6.12	50px 4.8.8	40px 5.5.10	50px 6³

6. k-균일 타일링

wikitext

이러한 주기적 타일링은 꼭짓점, 변, 타일의 궤도 수에 따라 분류될 수 있다.^[10] 꼭짓점의 궤도가 ''k''개이면, 타일링은 ''k''-균일 또는 ''k''-등각이라고 하며, 타일의 궤도가 ''t''개이면 ''t''-등면, 변의 궤도가 ''e''개이면 ''e''-등측이라고 한다.

같은 꼭짓점 도형을 가진 ''k''-균일 타일링은 벽지 군 대칭에 의해 더 식별될 수 있다.^[10]

1-균일 타일링에는 3개의 정규 타일링과 2개 이상의 유형의 정다각형 면을 가진 8개의 준정규 타일링이 포함된다. 20개의 2-균일 타일링, 61개의 3-균일 타일링, 151개의 4-균일 타일링, 332개의 5-균일 타일링, 673개의 6-균일 타일링이 있다. 각각은 서로 다른 꼭짓점 도형의 수 ''m''으로 그룹화될 수 있으며, 이는 ''m''-아르키메데스 타일링이라고도 한다.^[10]

마지막으로, 꼭짓점 유형의 수가 균일성(아래의 ''m'' = ''k'')과 같으면 해당 타일링을 ''Krotenheerdt''라고 한다. 일반적으로 균일성은 꼭짓점 유형의 수보다 크거나 같다(''m'' ≥ ''k''). 서로 다른 유형의 꼭짓점은 필연적으로 서로 다른 궤도를 갖지만 그 반대는 성립하지 않기 때문이다.^[10]

''k''-균일, ''m''-아르키메데스 타일링 수 ^[11]^[12]^[13]
colspan=2 rowspan=2 \|	m-아르키메데스
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	≥ 15	합계
k-균일	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	175	572	426	218	74	7	0	0	0	0	0	0	0	0	1472
	8	0	298	1037	795	537	203	20	0	0	0	0	0	0	0	2850
	9	0	424	1992	1608	1278	570	80	8	0	0	0	0	0	0	0	5960
	10	0	663	3772	2979	2745	1468	212	27	0	0	0	0	0	0	0	11866
	11	0	1086	7171	5798	5993	3711	647	52	1	0	0	0	0	0	0	24459
	12	0	1607	13762	11006	12309	9230	1736	129	15	0	0	0	0	0	49794
	13	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	103082
	14	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	?
	≥ 15	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	?
	총계	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

6. 1. k-균일 타일링의 분류

주기적 타일링은 꼭짓점, 변, 타일의 궤도 수에 따라 분류할 수 있다.^[10] 꼭짓점의 궤도가 ''k''개이면, 타일링은 ''k''-균일 또는 ''k''-등각이라고 하며, 타일의 궤도가 ''t''개이면 ''t''-등면, 변의 궤도가 ''e''개이면 ''e''-등측이라고 한다.

같은 꼭짓점 도형을 가진 ''k''-균일 타일링은 벽지 군 대칭에 의해 더 세분화될 수 있다.^[10]

1-균일 타일링에는 3개의 정규 타일링과 2개 이상의 유형의 정다각형 면을 가진 8개의 준정규 타일링이 포함된다. 2-균일 타일링은 20개, 3-균일 타일링은 61개, 4-균일 타일링은 151개, 5-균일 타일링은 332개, 6-균일 타일링은 673개가 존재하며, 각각은 서로 다른 꼭짓점 도형의 수 ''m''으로 그룹화될 수 있으며, 이는 ''m''-아르키메데스 타일링이라고도 한다.^[10]

꼭짓점 유형의 수가 균일성과 같은 타일링을 ''Krotenheerdt''라고 한다. 일반적으로 균일성은 꼭짓점 유형의 수보다 크거나 같다. 서로 다른 유형의 꼭짓점은 필연적으로 서로 다른 궤도를 갖지만 그 반대는 성립하지 않기 때문이다.^[10]

''k''-균일, ''m''-아르키메데스 타일링 수 ^[11]^[12]^[13]
colspan=2 rowspan=2 \|	m-아르키메데스
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	≥ 15	합계
k-균일	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	175	572	426	218	74	7	0	0	0	0	0	0	0	0	1472
	8	0	298	1037	795	537	203	20	0	0	0	0	0	0	0	2850
	9	0	424	1992	1608	1278	570	80	8	0	0	0	0	0	0	0	5960
	10	0	663	3772	2979	2745	1468	212	27	0	0	0	0	0	0	0	11866
	11	0	1086	7171	5798	5993	3711	647	52	1	0	0	0	0	0	0	24459
	12	0	1607	13762	11006	12309	9230	1736	129	15	0	0	0	0	0	49794
	13	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	103082
	14	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	?
	≥ 15	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	?
	총계	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

6. 2. k-균일 타일링의 예시 (2-균일 타일링)

유클리드 평면에는 20개의 2-균일 타일링이 존재한다.^[14]^[15] 각 타일링은 꼭짓점 유형에 따라 나열되며, 동일한 꼭짓점 유형을 공유하는 경우 아래첨자를 사용하여 구분한다.

2-균일 타일링 (20개)
p6m, *632						p4m, *442
마름모삼육각형 타일링 [3⁶; 3².4.3.4]	잘린 육각형 타일링 [3.4.6.4; 3².4.3.4]	잘린 육각형 타일링 [3.4.6.4; 3³.4²]	3.4.6.4; 3.4².6	[4.6.12; 3.4.6.4]	잘린 삼육각형 타일링 [3⁶; 3².4.12]	3-4-3-12 타일링 [3.12.12; 3.4.3.12]
p6m, *632	p6, 632	p6, 632	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22	pmm, *2222
육각형 타일링 [3⁶; 3².6²]	육각형 타일링 [3⁶; 3⁴.6]₁	3⁶; 3⁴.6]₂	3².6²; 3⁴.6	3.6.3.6; 3².6²	마름모삼육각형 타일링 [3.4².6; 3.6.3.6]₂	3.4².6; 3.6.3.6]₁
p4g, 4*2	pgg, 22×	cmm, 2*22	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22
33344-33434 타일링 [3³.4²; 3².4.3.4]₁	33344-33434 타일링 [3³.4²; 3².4.3.4]₂	4⁴; 3³.4²]₁	4⁴; 3³.4²]₂	3⁶; 3³.4²]₁	3⁶; 3³.4²]₂

7. 변이 맞닿지 않는 타일링

볼록 정다각형은 변과 변이 닿지 않는 평면 테셀레이션을 형성할 수도 있다. 이러한 테셀레이션은 인접한 변이 일직선상에 있는 비정규 다각형으로 간주될 수 있다.^[17]

등각 도형에는 7가지 종류가 있으며, 각 종류는 인접한 타일의 변 사이의 겹침 또는 다른 타일의 변 길이 간의 비율을 결정하는 실수 값의 매개변수를 갖는다. 두 종류는 이동된 사각형, 즉 점진적 또는 지그재그 위치에서 생성된다. Grünbaum과 Shephard는 이러한 테셀레이션을 "균일"이라고 부르지만, 이는 변과 변이 닿는 정다각형을 요구하는 Coxeter의 균일성 정의와 모순된다.^[17] 이러한 등각 테셀레이션은 실제로 다른 기하학적 비율을 갖는 균일 테셀레이션과 위상학적으로 동일하다.

주기적인 등각 테셀레이션 (변이 닿지 않는 볼록 정다각형)
1	2	3	4	5	6	7
수평 오프셋이 있는 사각형 행		수평 오프셋이 있는 삼각형 행		각 삼각형을 둘러싼 세 개의 육각형	각 육각형을 둘러싼 여섯 개의 삼각형	세 개의 크기 삼각형
cmm (2*22)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
육각형 테셀레이션		사각형 테셀레이션	절단된 사각형 테셀레이션	절단된 육각형 테셀레이션	육각형 테셀레이션	삼육각형 테셀레이션

7. 1. 등각 타일링

볼록 정다각형은 변과 변이 닿지 않는 평면 테셀레이션을 형성할 수도 있다. 이러한 테셀레이션은 인접한 변이 일직선상에 있는 비정규 다각형으로 간주될 수 있다.^[17]

등각 도형에는 7가지 종류가 있으며, 각 종류는 인접한 타일의 변 사이의 겹침 또는 다른 타일의 변 길이 간의 비율을 결정하는 실수 값의 매개변수를 갖는다. 두 종류는 이동된 사각형, 즉 점진적 또는 지그재그 위치에서 생성된다. Grünbaum과 Shephard는 이러한 테셀레이션을 "균일"이라고 부르지만, 이는 변과 변이 닿는 정다각형을 요구하는 Coxeter의 균일성 정의와 모순된다.^[17] 이러한 등각 테셀레이션은 실제로 다른 기하학적 비율을 갖는 균일 테셀레이션과 위상학적으로 동일하다.

주기적인 등각 테셀레이션 (변이 닿지 않는 볼록 정다각형)
1	2	3	4	5	6	7

cmm (2*22)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
육각형 테셀레이션		사각형 테셀레이션	절단된 사각형 테셀레이션	절단된 육각형 테셀레이션	육각형 테셀레이션	삼육각형 테셀레이션

8. 한국적 응용 및 의의

8. 1. 현대적 응용

8. 2. 더불어민주당 관점에서의 추가적인 의의

참조

_[1] 서적 Mathematical Models; Tarquin Publications 1981
_[2] 논문 Generation and Nomenclature of Tessellations and Double-Layer Grids https://ascelibrary.[...] 2012
_[3] 논문 GomJau-Hogg's Notation for Automatic Generation of k-Uniform Tessellations with ANTWERP v3.0 2021
_[4] 웹사이트 Antwerp 3.0 https://antwerp.hogg[...]
_[5] 서적 Order in Space: A Design Source Book Thames and Hudson 1969
_[6] 간행물 The Elements of Plane Practical Geometry, Etc https://books.google[...] John W. Parker & Son
_[7] 문서 Tilings and patterns
_[8] 문서 Tilings and patterns
_[9] 웹사이트 Pentagon-Decagon Packing https://blogs.ams.or[...] AMS 2022-03-07
_[10] 웹사이트 k-uniform tilings by regular polygons http://www2.math.uu.[...] 2009
_[11] 웹사이트 n-Uniform Tilings http://probabilitysp[...] 2019-06-21
_[12] 웹사이트 Number of n-uniform tilings. 2023-01-07
_[13] 웹사이트 Enumeration of n-uniform k-Archimedean tilings https://zenorogue.gi[...] 2024-08-24
_[14] 문서 Tilings and patterns 1986
_[15] 웹사이트 In Search of Demiregular Tilings http://www.math.nus.[...] 2015-06-04
_[16] 논문 TILINGS BY REGULAR POLYGONS III: DODECAGON-DENSE TILINGS 2014
_[17] 웹사이트 Tilings by regular polygons http://www.maa.org/s[...]
_[18] 서적 Mathematical Models; Tarquin Publications 1981
_[19] 논문 Generation and Nomenclature of Tessellations and Double-Layer Grids https://ascelibrary.[...] 2012
_[20] 논문 GomJau-Hogg’s Notation for Automatic Generation of k-Uniform Tessellations with ANTWERP v3.0 https://doi.org/10.3[...] 2021
_[21] 웹인용 Antwerp 3.0 https://antwerp.hogg[...]
_[22] 웹인용 다각형의 변신 (2부) 꽃담에 숨은 다각형의 원리 https://www.ebsmath.[...]
_[23] 서적 Order in Space: A Design Source Book, Thames and Hudson 1969

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com