제트 군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 제트 군의 정의에 대한 추가 설명 (영어 위키 기반)
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

제트 군은 미분 동형 사상의 제트들의 집합으로 정의되는 수학적 구조이다. n차원 k차 제트 군 $\operatorname{Jet}(n,k)$ 는 원점을 보존하는 미분 동형 사상들의 0에서의 k차 제트들의 집합이며, 함수 합성에 따라 리 군의 구조를 갖는다. 제트 군은 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 틀다발과 밀접한 관련이 있다. k=0 또는 n=0일 때 자명군이 되며, k=1일 때는 일반 선형군이 된다. 또한, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니며, 반직접곱과 같은 다른 수학적 구조와도 연관된다.

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제트 군
제트 군
정의	수학에서 제트 군(jet group)은 특정 제트의 집합에 정의된 군이다.
관련 개념	제트, 미분군
예시
1차 제트 군	GL(n, R)
2차 제트 군	GL(n, R)과 L2의 반직접곱
L2	Rⁿ에서 자기 자신으로 가는 2차 동차 다항식의 공간

2. 정의

$\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)$ 를 원점을 보존하는 미분 동형 사상 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ 들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 군을 이룬다.^[2]^[3] $n$ 차원 $k$ 차 제트 군 $\operatorname{Jet}(n,k)$ 는 $\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R,0)$ 의 원소들의, $0\in\mathbb R^n$ 에서의 $k$ 차 제트들의 집합이다.^[2]^[3]

: $\operatorname{Jet}(n,k)=\left\{\mathrm j_0^kf\colon f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\right\}$

제트 군은 자연스럽게 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 리 군의 구조는 다음과 같이 주어진다.^[2]^[3]

: $(\mathrm j^k_0f)(\mathrm j^k_0g)=\mathrm j^k_0(f\circ g)$

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

: $\operatorname j^k_0\colon\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\to \operatorname{Jet}(n,k)$

이 존재한다.

''k'' ≥ 2라고 하자. 함수 ''f:'' '''R'''^''k'' → '''R'''의 미분은 ''df:'' '''R'''^''k'' → ''T*'''''R'''^''k''로 주어지는 '''R'''^''K''의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 최대 ''m''차의 도함수는 제트 다발 ''J^m''('''R'''^''k'') = '''R'''^''k'' × ''W''의 단면이며, 여기서

: $W = \mathbf R \times (\mathbf R^*)^k \times S^2( (\mathbf R^*)^k) \times \cdots \times S^{m} ( (\mathbf R^*)^k).$

여기서 '''R'''*는 '''R'''의 쌍대 벡터 공간이고, ''Sⁱ''는 ''i''차 대칭 멱을 나타낸다.

$p=(x,x')\in J^m(\mathbf R^n)$ 인 점을 고려해 보자. ''p''가 ''j^mf_p''의 이미지에 있도록 ''k''개의 변수와 ''m''차의 고유한 다항식 ''f_p''가 존재한다. 즉, $j^k(f_p)(x)=x'$ 이다. 미분 데이터 ''x′''는 ''y'' ∈ '''R'''^''n''의 다른 점 위로, 즉 ''f_p''의 ''y''에 대한 편도함수인 ''j^mf_p(y)''로 전송될 수 있다.

다음과 같이 ''J^m''('''R'''^''n'')에 군 구조를 제공한다.

: $(x,x') * (y, y') = (x+y, j^mf_p(y) + y')$

이 군 구조에서 ''J^m''('''R'''^''n'')은 ''m'' + 1차의 카르노 군이다.

함수 합성에 따른 제트의 속성 때문에, ''G''^''n''_''k''는 리 군이다. 제트 군은 일반 선형 군과 연결된 단일 연결 멱영 리 군의 반직접 곱이다. 또한 합성에는 다항식 연산만 포함되므로 실제로 대수적 군이기도 하다.

2. 1. 기본 정의

\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)

를 원점을 보존하는 미분 동형 사상

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

들의 집합이라고 하자. 이는 함수의 합성 아래 군을 이룬다.^[2]^[3]

n

차원

k

차 제트 군

\operatorname{Jet}(n,k)

는

\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R,0)

의 원소들의,

0\in\mathbb R^n

에서의

k

차 제트들의 집합이다.^[2]^[3]

:

\operatorname{Jet}(n,k)=\left\{\mathrm j_0^kf\colon f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\right\}

제트 군은 자연스럽게 매끄러운 다양체의 구조를 가지며, 리 군의 구조는 다음과 같이 주어진다.^[2]^[3]

:

(\mathrm j^k_0f)(\mathrm j^k_0g)=\mathrm j^k_0(f\circ g)

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

:

\mathrm j^k_0\colon\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\to \operatorname{Jet}(n,k)

이 존재한다.

''k'' ≥ 2라고 하자. 함수 ''f:'' '''R'''^''k'' → '''R'''의 미분은 ''df:'' '''R'''^''k'' → ''T*'''''R'''^''k''로 주어지는 '''R'''^''K''의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 최대 ''m''차의 도함수는 제트 다발 ''J^m''('''R'''^''k'') = '''R'''^''k'' × ''W''의 단면이며, 여기서

:

W = \mathbf R \times (\mathbf R^*)^k \times S^2( (\mathbf R^*)^k) \times \cdots \times S^{m} ( (\mathbf R^*)^k).

여기서 '''R'''*는 '''R'''의 쌍대 벡터 공간이고, ''Sⁱ''는 ''i''차 대칭 멱을 나타낸다.

p=(x,x')\in J^m(\mathbf R^n)

인 점을 고려해 보자. ''p''가 ''j^mf_p''의 이미지에 있도록 ''k''개의 변수와 ''m''차의 고유한 다항식 ''f_p''가 존재한다. 즉,

j^k(f_p)(x)=x'

이다. 미분 데이터 ''x′''는 ''y'' ∈ '''R'''^''n''의 다른 점 위로, 즉 ''f_p''의 ''y''에 대한 편도함수인 ''j^mf_p(y)''로 전송될 수 있다.

다음과 같이 ''J^m''('''R'''^''n'')에 군 구조를 제공한다.

:

(x,x') * (y, y') = (x+y, j^mf_p(y) + y')

이 군 구조에서 ''J^m''('''R'''^''n'')은 ''m'' + 1차의 카르노 군이다.

함수 합성에 따른 제트의 속성 때문에, ''G''^''n''_''k''는 리 군이다. 제트 군은 일반 선형 군과 연결된 단일 연결 멱영 리 군의 반직접 곱이다. 또한 합성에는 다항식 연산만 포함되므로 실제로 대수적 군이기도 하다.

2. 2. 제트 군의 정의에 대한 추가 설명 (영어 위키 기반)

자연수

n

과

k

가 주어졌다고 하자. 미분 동형 사상

f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n

가운데,

f(0)=0

인 것(즉, 점을 가진 공간의 사상인 것)들의 집합

\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)=\left\{f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}}(\mathbb R^n),\;f(0)=0\right\}

는 함수의 합성 아래 자연스럽게 군을 이룬다.^[2]

'''

n

차원

k

차 제트 군'''(

n

次元

k

次jet群,

n

-dimensional

k

th-order jet group^영어)

\operatorname{Jet}(n,k)

는

\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R,0)

의 원소들의,

0\in\mathbb R^n

에서의

k

차 제트들의 집합이다.^[2]^[3]

:

\operatorname{Jet}(n,k)=\left\{\mathrm j_0^kf\colon f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\right\}

이는 자연스럽게 매끄러운 다양체를 이룬다. 그 위의 리 군 구조는 다음과 같다.

:

(\mathrm j^k_0f)(\mathrm j^k_0g)=\mathrm j^k_0(f\circ g)

즉, 자연스러운 전사 군 준동형

\mathrm j^k_0\colon\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\to \operatorname{Jet}(n,k)

이 존재한다.

k\ge 2

일 때, 함수

f\colon \mathbb R^k \to \mathbb R

의 미분은

df\colon \mathbb R^k \to T^*\mathbb R^k

로 주어지는

\mathbb R^k

의 코탄젠트 다발의 단면으로 해석될 수 있다. 최대

m

차의 도함수는 제트 다발

J^m(\mathbb R^k) = \mathbb R^k \times W

의 단면으로 나타낼 수 있다. 여기서

W = \mathbf R \times (\mathbf R^*)^k \times S^2( (\mathbf R^*)^k) \times \cdots \times S^{m} ( (\mathbf R^*)^k)

이고,

\mathbb R^*

는

\mathbb R

의 쌍대 벡터 공간,

S^i

는

i

차 대칭 멱이다. 매끄러운 함수

f\colon \mathbb R^k \to \mathbb R

은 각 점

p \in \mathbb R^k

에서

j^mf\colon \mathbb R^k \to J^m(\mathbb R^k)

를 갖는데, 이는

W

의

S^i((\mathbb R^*)^k)

성분에

f

의

p

에서의

i

차 편도함수를 배치하여 정의된다.

3. 성질

$\operatorname{Jet}(n,k)$ 의 차원은 다음과 같다.

: $\dim\operatorname{Jet}(n,k)=n\left(\binom{n+k}k-1\right)$

$n>0$ 이며 $k>0$ 일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

$n$ 차원 매끄러운 다양체의 $k$ 차 틀다발은 자연스럽게 $\operatorname{Jet}(n,k)$ 를 구조군으로 갖는다.

3. 1. 차원

\operatorname{Jet}(n,k)

의 차원은 다음과 같다.

:

\dim\operatorname{Jet}(n,k)=n\left(\binom{n+k}k-1\right)

n>0

이며

k>0

일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

n

차원 매끄러운 다양체의

k

차 틀다발은 자연스럽게

\operatorname{Jet}(n,k)

를 구조군으로 갖는다.

3. 2. 콤팩트성

n>0

이며

k>0

일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

3. 3. 틀다발과의 관계

n차원 매끄러운 다양체의 k차 틀다발은 자연스럽게

\operatorname{Jet}(n,k)

를 구조군으로 갖는다. n>0이며 k>0일 경우, 제트 군은 콤팩트 공간이 아니다.

\operatorname{Jet}(n,k)

의 차원은 다음과 같다.

:

\dim\operatorname{Jet}(n,k)=n\left(\binom{n+k}k-1\right)

3. 4. 반직접곱

리 군

G

와 자연수

n

,

k

가 주어졌을 때, 제트 공간

\mathrm T_n^kG=\{\mathrm j_0^kg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}

를 정의할 수 있다. 이 공간은 점별 곱셈에 대해 리 군을 이룬다.^[3] 즉,

(\mathrm j_0^kg)(\mathrm j_0^kg')=\mathrm j_0^k(gg')

이며, 여기서

gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)

는 두 함수의 점별 곱셈이다.

제트 군

\operatorname{Jet}(n,k)

는

\mathrm T_n^kG

위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

:

(\mathrm j_0^kg)\cdot(\mathrm j_0^kf)=\mathrm j_0^k(g\circ f)\qquad(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\;g\colon\mathbb R^n\to G)

이는 군 준동형

\operatorname{Jet}(n,k)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Aut}(\mathrm T_n^kG)

을 이룬다. 따라서, 반직접곱

\mathrm T_n^kG\rtimes \operatorname{Jet}(n,k)^{\operatorname{op}}

을 정의할 수 있다.^[3]

4. 예

$k=0$ 이거나 $n=0$ 인 경우, 제트 군은 자명군이다.

: $\operatorname{Jet}(n,0)=\operatorname{Jet}(0,k)=1\qquad\forall n,k\in\mathbb N$

$k=1$ 일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

: $\operatorname{Jet}(n,1)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\qquad\forall n\in\mathbb N$

4. 1. 자명군

k=0

이거나 또는

n=0

인 경우, 제트 군은 자명군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,0)=\operatorname{Jet}(0,k)=1\qquad\forall n,k\in\mathbb N

4. 2. 일반 선형군

k=1

일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,1)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\qquad\forall n\in\mathbb N

4. 3. 카르노 군 (영어 위키 기반)

k=0

이거나

n=0

인 경우, 제트 군은 자명군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,0)=\operatorname{Jet}(0,k)=1\qquad\forall n,k\in\mathbb N

k=1

일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,1)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\qquad\forall n\in\mathbb N

Jm(ℝn)에 군 구조를 부여하면 m+1차의 카르노 군이 된다.

4. 4. 대수적 군 (영어 위키 기반)

k=0

이거나 또는

n=0

인 경우, 제트 군은 자명군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,0)=\operatorname{Jet}(0,k)=1\qquad\forall n,k\in\mathbb N

k=1

일 경우, 제트 군은 실수 일반 선형군이다.

:

\operatorname{Jet}(n,1)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\qquad\forall n\in\mathbb N

함수 합성에 다항식 연산만 포함되므로 제트군은 대수적 군이다.

참조

_[1] harvtxt 1993
_[2] 서적 Natural operations in differential geometry http://www.emis.de/m[...] Springer-Verlag 1993
_[3] 저널 Reductive ''G''-structures and Lie derivatives 2003

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