맨위로가기

존슨 결합 도식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

존슨 결합 도식은 유한 집합과 자연수를 사용하여 정의되는 결합 도식의 한 유형이다. 이진 존슨 결합 도식 J₂(k, n)은 크기 n인 유한 집합 S의 크기 k인 부분 집합들의 집합족 X와 해밍 거리를 기반으로 하는 이항 관계를 통해 정의된다. q진 존슨 결합 도식 Jq(k, n)은 유한 집합 Σ와 해밍 무게를 사용하여 정의되며, Σ의 크기에 따라 e와 f 함수를 통해 이항 관계가 결정된다. 존슨 결합 도식은 대칭 결합 도식이며, 집합의 크기는 q진의 경우 (q-1)^k * (n choose k)이다. 이진 존슨 결합 도식의 이항 관계 수는 ⌊n/2⌋ + 1개이며, 해밍 거리를 통해 두 원소 간의 관계를 파악할 수 있다. 존슨 결합 도식의 고윳값은 에벌라인 다항식을 사용하여 계산되며, 미국의 수학자 셀머 마틴 존슨에 의해 처음 도입되었다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 조합론 - 집합의 분할
    집합의 분할은 주어진 집합을 서로소인 부분 집합들로 나누는 것이며, 동치 관계와 밀접하게 관련되어 있고, 벨 수로 표현되며, 플레잉 카드를 나누는 것과 같은 예시가 있다.
  • 조합론 - 계승 (수학)
    계승은 음이 아닌 정수 n에 대해 1부터 n까지의 자연수를 곱한 값으로, 0의 계승은 1로 정의되며, 대칭군의 크기와 같다는 성질을 통해 기수로 확장될 수 있고, 다중 계승, 지수 계승 등으로 확장 및 응용되어 다양한 분야에서 활용된다.
존슨 결합 도식

2. 정의

존슨 결합 도식은 이진 존슨 결합 도식과 q진 존슨 결합 도식 두 가지로 정의된다.[4]

2. 1. 이진 존슨 결합 도식

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음을 정의하자.

  • X=\operatorname{Pow}_k(S)는 S의, 크기 k의 부분 집합들의 집합족이다.
  • 각 i\in\{0,1\dotsc,n\} 및 u,v\in X에 대하여, 이항 관계 u\sim_iv\iff \operatorname{d_H}(u,v)=2i (여기서 \operatorname{d_H}는 해밍 거리)


그렇다면, (X,n,(\sim_i)_{0\le i\le n})는 결합 도식을 이루며, 이를 '''(k,n)-이진 존슨 결합 도식'''(binary Johnson association scheme영어) \operatorname J_2(k,n)이라고 한다.

2. 2. q진 존슨 결합 도식 (q\ge3)

다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

  • 유한 점을 가진 집합 (\Sigma,\bullet) (|\Sigma|\ge2). 이에 따라, \bullet에 대하여 해밍 무게를 정의할 수 있다.
  • 두 양의 정수 0


그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 정의할 수 있다.

:e,f\colon \Sigma^n\times\Sigma^n\to\{0,1,\dotsc,n\}

:e\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in\{0,\dotsc,n-1\}\colon u_i=v_i\ne\bullet\}\right|

:f\colon (u,v)\mapsto \left|\{i\in\{0,\dotsc,n-1\}\colon u_i\ne\bullet\ne v_i\}\right|

(만약 |\Sigma|\le 2라면, e=f이다.)

이제, \bullet에 대한 해밍 무게가 k인 길이 n의 \Sigma-문자열들의 집합

:\operatorname W_k(\Sigma^n)\subseteq\Sigma^n

=\left\{

u\in\Sigma^n\colon k=|\{i\in\{0,\dotsc,n-1\}\colon u_i\ne\bullet\}|

\right\}



을 생각하자. 이 위에, 이항 관계

:u\sim_{i,j} v \iff \left(e(u,v),f(u,v)\right)= (k-i, k-j)\qquad(u,v\in\operatorname W_k(\Sigma^n))

를 정의하면, (\operatorname W_k(\Sigma^n),(\sim_{i,j})_{i,j})는 결합 도식을 이룬다. 이를 \Sigma 위의 '''존슨 결합 도식''' \operatorname J_

(k,n)이라고 한다.[4]

3. 성질

Johnson scheme|존슨 결합 도식영어 \operatorname J_q(k,n)은 대칭 결합 도식이며, 그 집합의 크기는 (q-1)^k\binom nk이다. 이진 존슨 결합 도식 \operatorname J_2(k,n)의 이항 관계의 수(항등 관계 포함)는 \lfloor n/2\rfloor + 1개이다.

3. 1. 해밍 거리

존슨 결합 도식 \operatorname J_q(k,n)에서, u\sim_{i,j}v \implies \operatorname{d_H}(u,v)=i+j\qquad(u,v\in\operatorname J_q(k,n))이다.[4] 즉, 존슨 결합 도식에서 두 원소 u,v 사이의 해밍 거리는 i+j로 계산된다.

3. 2. 고윳값

이진 존슨 결합 도식 \operatorname J_2(k,n)의 고윳값은 다음과 같다.

:p_{i,j}=e_i(j)

:q_{i,j}=\frac{\mu_i}{v_i}e_i(j)

여기서

:\mu_i=\frac{n-2i+1}{n-i+1}\binom ni

:e_i(x)=\sum_{j=0}^i(-)^j{\binom xj}{\binom {k-x}{i-j}}{\binom {n-k-x}{i-j}}\qquad(i=0,\dotsc,k)

\in\mathbb Z[x]

이며, 다항식열 (e_i)_{0\le i\le k}를 '''에벌라인 다항식'''(Eberlein polynomial|에벌라인 다항식영어)이라고 한다.

4. 역사

미국의 수학자 셀머 마틴 존슨(1916~1996)이 도입하였다.

참조

[1] 논문 Association schemes and coding theory 1998
[2] 서적 Codes and Association Schemes: Basic Properties of Association Schemes Relevant to Coding Elsevier 1998
[3] 서적 The Theory of Error-Correcting Codes Elsevier 1978
[4] 저널 On the nonbinary Johnson scheme 1985-09


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com