진근점 이각

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1. 개요
2. 공식
3. 다른 이각과의 관계
- 3.1. 이심 근점 이각과의 관계
- 3.2. 평균 근점 이각과의 관계
4. 사영 이각
참조

1. 개요

진근점 이각은 천체역학에서 궤도를 도는 물체의 위치를 나타내는 각도이며, 궤도 상태 벡터, 편심 이각, 평균 근점 이각 등을 통해 계산할 수 있다. 궤도 형태에 따라 계산 방식이 달라지며, 원 궤도에서는 위도 인수 또는 진 경도를 사용한다. 진근점 이각은 이심 근점 이각과 평균 근점 이각과의 관계를 통해 계산할 수 있으며, 사영 이각은 궤도 유형 분류 및 행성 위치 계산에 사용된다.

2. 공식

진근점 이각은 이심 근점 이각 ''E''를 통해 계산하는 것이 편리하다. 이심 근점 이각과 진근점 이각 $\nu$ 는 다음과 같은 관계를 가진다.^[7]

: $\tan \frac{ \nu }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + e }{ 1 - e } } \tan \frac{ E }{ 2 }$

여기서 $\beta = \frac{ 1 }{ e } \left( 1 - \sqrt{ 1 - e^2 } \right)$ 를 사용하면, 위 식은 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}\nu &= E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{ 2 }{ s } \beta^s \sin s E \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{ \beta^2 }{ 2 } \sin 2 E + \frac{ \beta^3 }{ 3 } \sin 3 E + \frac{ \beta^4 }{ 4 } \sin 4 E + \cdots \right)\end{align}$

이심 근점 이각 ''E''는 케플러 방정식을 풀어 평균 근점 이각 ''M''과의 관계를 통해 구할 수 있다. 이를 진근점 이각 $\nu$ 와 평균 근점 이각 ''M''에 대한 푸리에 급수로 나타내면 다음과 같다.^[8]

: $\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}$

2. 1. 상태 벡터로부터

타원 궤도에서 진근점 이각(

\nu

)은 궤도 상태 벡터를 이용하여 계산할 수 있다.

:

\nu = \arccos  \over {\mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}

:(만약 $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} < 0$ 이라면 $\nu$를 $2\pi - \nu$로 치환)

'''v'''는 궤도를 도는 물체의 궤도 속도 벡터이다.
'''e'''는 편심 벡터이다.
'''r'''는 궤도 위치 벡터이다.

2. 1. 1. 일반적인 타원 궤도

일반적인 타원 궤도에서 진근점 이각

\nu

는 궤도 상태 벡터로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\nu = \arccos  \over {\mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |}}}

:(만약

\mathbf{r} \cdot \mathbf{v} < 0

이라면

\nu

를

2\pi - \nu

로 치환)

여기서,

'''v'''는 궤도를 도는 물체의 궤도 속도 벡터이다.
'''e'''는 편심 벡터이다.
'''r'''는 궤도 위치 벡터이다.

2. 1. 2. 원 궤도

원 궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원 궤도는 특정할 만한 궤도 근점이 없기 때문이다. 이때는 진근점 이각 대신 위도 인수 ''u''가 사용된다.

:

u = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}

:(만약 ''r_z''|r_z^영어 < 0 이라면 ''u''|u^영어를 2π − ''u''|u^영어로 치환)

'''n'''은 승교점을 향한 벡터를 말한다(즉 ''z'' 요소의 ''n'' 값은 0이다).
''r_z''는 궤도 위치 벡터 '''r'''의 ''z'' 성분이다.

2. 1. 3. 궤도 경사 0의 원 궤도

궤도 경사가 0인 원 궤도에서는 특정할 만한 궤도 교점이 없어 위도 인수 또한 정의되지 않는다. 따라서 이 때는 진 경도(true longitude)를 사용한다.

:

l = \arccos { r_x  \over { \mathbf{\left |r \right |}}}

:(만약

v_x > 0

이라면

l

를

2\pi - l

로 치환)

''r_x''는 궤도 위치 벡터 ''r''의 ''x'' 요소이다.
''v_x''는 궤도 속도 벡터 ''v''의 ''x'' 요소이다.

2. 2. 편심 이각으로부터

편심 이각 ''E''를 통해 진근점 이각

\nu

를 계산하는 방법은 다음과 같다.^[9]

:

\cos \nu = {\cos E - e \over 1 - e \cos E}

여기서 ''e''는 궤도 이심률이다.

사인과 탄젠트를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\sin \nu =

:

\tan \nu =  =

위 식은 아래 식과 같다.

:

\tan  \left( \sqrt{1-e} \cos {E \over 2}, \sqrt{1+e} \sin {E \over 2} \right)

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 arg(''x'', ''y'')는 벡터 (''x'', ''y'')의 극 성분으로, atan2(''y'', ''x'') 함수를 통해 계산할 수 있다.

또 다른 형태는 다음과 같다.^[2]

:

\tan }

따라서,

:

\nu = E + 2 \arctan \left(  \right)

로 계산할 수 있다.

\beta = {1 \over e} \left( 1 - \sqrt{1 - e^2} \right)

를 사용하면, 진근점 이각

\nu

는 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.^[7]

:

\begin{aligned}\nu &= E + \sum_{s=1}^\infty {2 \over s} \beta^s \sin sE \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + {\beta^2 \over 2} \sin 2E + {\beta^3 \over 3} \sin 3E + {\beta^4 \over 4} \sin 4E + \cdots \right)\end{aligned}

2. 3. 평균 근점 이각으로부터

평균 근점 이각

M

으로부터 푸리에 급수를 통해 진근점 이각을 직접 계산할 수 있다.^[3]

:

\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^

\right] \sin{kM}

여기서 베셀 함수는

J_n

이며, 파라미터

\beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}

이다.

e^4

이상의 차수의 모든 항을 생략하면(

\operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)

로 표시), 다음과 같이 쓸 수 있다.^[3]^[4]^[5]

:

\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).

이 근사는 일반적으로 이심률

e

가 작은 궤도에 제한된다.

\nu - M

식은 중심 방정식으로 알려져 있다.

평균 근점 이각 ''M''에 의한 푸리에 급수 표시는 다음과 같다.

:

\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}

^[8]

2. 4. 진근점 이각으로부터 반지름

궤도상의 천체와 중심 천체 사이의 거리(반지름)는 진근점 이각을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

r = a\cdot{1 - e^2 \over 1 + e \cos\nu}\,\!

여기서 ''a''는 궤도의 긴반지름이다.

3. 다른 이각과의 관계

진근점 이각은 편심 이각 ''E''와 다음 관계를 가진다.^[9]

: $\tan{\nu \over 2} = \sqrt} \tan{E \over 2}.$

또한, 평균 근점 이각 ''M''을 통해 케플러 방정식을 풀어 $\nu$ 에 대한 푸리에 급수 표시로 나타낼 수 있다.^[8]

3. 1. 이심 근점 이각과의 관계

진근점 이각 ν^영어와 이심 근점 이각 ''E'' 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\cos \nu = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}

또는 사인과 탄젠트를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[9]

:

\sin \nu = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{1 - e \cos E}

:

\tan \nu = \frac{\sin \nu}{\cos \nu} = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{\cos E - e}

이는 아래의 식과 동등하다.

:

\tan \frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}

위 식을 통해 진근점 이각을 급수 형태로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\nu &= E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{2}{s} \beta^s \sin sE \\&= E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{\beta^2}{2} \sin 2E + \frac{\beta^3}{3} \sin 3E + \frac{\beta^4}{4} \sin 4E + \cdots \right)\end{align}

(

\beta = \frac{1}{e} \left( 1 - \sqrt{1 - e^2} \right)

)^[7]

3. 2. 평균 근점 이각과의 관계

평균 근점 이각

M

으로부터 푸리에 급수를 통해 진근점 이각을 직접 계산할 수 있다:^[3]

:

\nu = M + 2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(-ke)\beta^

\right] \sin{kM}

여기서 베셀 함수는

J_n

이며, 파라미터

\beta = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}

이다.

e^4

이상의 차수의 모든 항을 생략하면(

\operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right)

로 표시), 다음과 같이 쓸 수 있다:^[3]^[4]^[5]

:

\nu = M + \left(2e - \frac{1}{4} e^3\right) \sin{M} + \frac{5}{4} e^2 \sin{2M} + \frac{13}{12} e^3 \sin{3M} + \operatorname{\mathcal{O}}\left(e^4\right).

이 근사는 일반적으로 이심률

e

가 작은 궤도에 제한된다.

\nu - M

식은 중심 방정식으로 알려져 있다.

이심 근점 이각 ''E''와 평균 근점 이각 ''M''의 관계는 케플러 방정식을 풀어 구하지만, 이를 진근점 이각

\nu

와 평균 근점 이각 ''M''에 의한 푸리에 급수표시로 다시 쓰면 다음과 같다.^[8]

:

\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots\end{align}

4. 사영 이각

궤도 유형은 두 개의 투영 매개변수 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 의해 다음과 같이 분류된다.

궤도 유형	조건
원형 궤도	$\beta=0$
타원 궤도	$\alpha \beta < 1$
포물선 궤도	$\alpha \beta = 1$
쌍곡선 궤도	$\alpha \beta > 1$
선형 궤도	$\alpha = \beta$
허수 궤도	$\alpha < \beta$

여기서,

$\alpha= \frac{ ( 1 + e ) ( q - p ) + \sqrt{ ( 1 + e )^2 ( q + p )^2 + 4 e^2} }{2}$

$\beta= \frac{ 2 e }{ (1 + e ) ( q + p ) + \sqrt{ ( 1 + e )^2 ( q + p )^2 + 4 e^2} }$

$q = (1 - e) a$

$p = \frac{1}{Q} = \frac{ 1 }{ (1 + e) a}$

$\alpha$ 는 긴반지름, $e$ 는 이심률, $q$ 는 근일점 거리, $Q$ 는 원일점 거리이다.

행성의 위치와 태양 중심 거리

x

,

y

및

r

은 투영 이각

\theta

의 함수로 계산할 수 있다.

x = \frac{ - \beta + \alpha \cos \theta }{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

y = \frac{ \sqrt{ \alpha^2- \beta^2 } \sin \theta}{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

r = \frac{ \alpha - \beta \cos \theta  }{ 1 + \alpha \beta \cos \theta }

투영 이각

\theta

는 이심 이각

u

로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\alpha \beta < 1$ 인 경우:

\tan \frac{ \theta }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + \alpha \beta }{ 1 - \alpha \beta } } \tan \frac{ u }{ 2 }

u - e \sin u = M = \left(\frac{1 - \alpha^2 \beta^2}{\alpha ( 1 + \beta^2 )}\right)^{3/2} k ( t - T_0 )

$\alpha \beta = 1$ 인 경우:

\frac{ s^3 }{ 3 } + \frac{ \alpha^2 - 1 }{ \alpha^2 + 1} s = \frac{2 k ( t - T_0 )}{\sqrt{ \alpha ( \alpha^2 + 1)^3 } }

s = \tan \frac{ \theta }{ 2 }

$\alpha \beta > 1$ 인 경우:

\tan \frac{ \theta }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ \alpha \beta + 1 }{ \alpha \beta - 1 } } \tanh \frac{ u }{ 2 }

e \sinh u - u = M = \left(\frac{ \alpha^2 \beta^2 - 1 }{\alpha ( 1 + \beta^2 )}\right)^{3/2} k ( t - T_0 )

위의 방정식들을 케플러 방정식이라고 부른다.

임의의 상수

\lambda

에 대해, 일반화된 이각

\Theta

는 다음과 같이 관련된다.

\tan \frac{ \Theta }{ 2 } = \lambda \tan \frac{ u }{ 2 }

이심 이각, 진근점 이각, 투영 이각은 각각

\lambda=1

,

\lambda=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}

,

\lambda=\sqrt{\frac{1+\alpha\beta}{1-\alpha\beta}}

인 경우이다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications
_[2] 논문 A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem https://ui.adsabs.ha[...]
_[3] 서적 An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics https://books.google[...] American Institute of Aeronautics & Astronautics 2022-08-02
_[4] 서적 Textbook on Spherical Astronomy https://wangsajaya.f[...]
_[5] 서적 Orbital Motion https://forum.fh-aac[...] Institute of Physics (IoP) 2020-08-29
_[6] 사전 離心近点角 eccentric-anomaly
_[7] 서적 Methods of Celestial Mechanics Academic Press, New York and London
_[8] 서적 Methods of Celestial Mechanics Academic Press, New York and London
_[9] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications

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