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천 지표

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목차

1. 개요

천 지표는 위상 공간 위의 복소수 벡터 다발에 대한 유리수 계수 호몰로지 군으로 가는 함수이다. 분할 원리, 직접적인 정의, 천-베유 이론을 통해 정의될 수 있으며, 복소수 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다. 천 지표는 두 벡터 다발의 직합 및 텐서곱에 대해 각각 합과 곱을 보존하며, 벡터 다발의 짧은 완전열에 대해서도 성질을 만족한다.

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천 지표

2. 정의

천 지표는 위상 공간 X 위의 복소수 벡터 다발 E에 대해 정의되는 중요한 특성류 중 하나이다. 이것은 벡터 다발의 위상적 정보를 담고 있으며, 그 값은 X의 유리수 계수 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)의 원소로 주어진다. 즉, 천 지표는 각 벡터 다발에 대해 특정 코호몰로지 원소를 대응시키는 함수라고 생각할 수 있다.

더 구체적으로, 천 지표는 벡터 다발의 차원, 천 특성류 등과 같은 다른 불변량들을 조합하여 만들어진다. 그 결과는 코호몰로지 환의 여러 차수 성분들을 포함하는 합의 형태로 나타나며, 이때 계수가 유리수이기 때문에 유리수 계수 코호몰로지에서 정의된다. 천 지표를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 대표적으로 분할 원리를 이용하는 방법, 천 특성류를 직접 사용하는 방법, 미분기하학의 천-베유 이론을 이용하는 방법 등이 있다.

2. 1. 분할 원리를 통한 정의

위상 공간 X가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)을 생각할 수 있다.

X 위의 복소수 선다발 L의 '''천 지표'''는 1차 천 특성류 c_1(L)의 지수 함수로 정의된다. 수식으로는 다음과 같다.

:\operatorname{ch}(L)=\exp(c_1(L)) = \sum_{i=0}^\infty\frac1{i!} c_1(L)^i

이 값은 호몰로지 군 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)의 원소로 생각할 수 있다 (엄밀하게는 형식적 멱급수가 포함된 공간의 원소이다).

일반적인 복소수 벡터 다발 E의 경우, 분할 원리에 따라 마치 여러 개의 선다발 L_1, \dots, L_n의 직합 E=L_1\oplus\cdots\oplus L_n으로 쪼개지는 것처럼 다룰 수 있다. 이 원리를 이용하면, 벡터 다발 E의 천 지표는 각 선다발 성분들의 천 지표의 합으로 정의된다.

:\operatorname{ch}(E)=\sum_{i=1}^n \operatorname{ch}(L_i) = \sum_{i=1}^n \exp(c_1(L_i))

2. 2. 직접적 정의

분할 원리를 통해 얻는 표현을 사용하여 천 지표를 직접적으로 정의할 수 있다. 위상 공간 X 위의 복소 벡터 다발 E가 주어졌다고 하자. E의 천 지표 \operatorname{ch}(E)는 X의 유리수 계수 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)의 원소로 정의되며, 구체적인 공식은 다음과 같다.

:\operatorname{ch}(E)=\dim_{\mathbb C}E+\operatorname c_1(E)+\frac12\left(\operatorname c_1(E)^2-2\operatorname c_2(E)\right)

+\frac16\left(\operatorname c_1(E)^3-3\operatorname c_1(E)\operatorname c_2(E)+3\operatorname c_3(E)\right)+\cdots \in \overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}

여기서 각 항은 다음과 같은 의미를 가진다.

  • \dim_{\mathbb C}E는 벡터 다발 E의 복소수 차원(rank)으로, \operatorname H^0(X;\mathbb Q)의 원소이다. 이는 벡터 다발의 섬유(fiber)가 몇 차원 벡터 공간인지를 나타낸다.
  • \operatorname c_i(E) \in \operatorname H^{2i}(X;\mathbb Q)는 E의 i번째 천 특성류를 나타낸다. 이는 유리수 계수 코호몰로지 군의 원소이다.


위 공식에서 \overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}는 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)의 원소들의 (형식적) 가산 무한 합을 포함하는 더 큰 벡터 공간을 의미한다. 이는 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)가 무한 차원일 경우를 고려하기 위한 표기이다. 만약 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)가 유한 차원이라면, \overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)} = \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)이다.

천 특성류는 일반적으로 정수 계수 코호몰로지로 정의되기도 하지만, 천 지표는 위 공식에서 볼 수 있듯이 유리수 계수를 사용하여 정의된다는 점이 중요하다. 이는 천 지표가 포함하는 분수 계수 항들 때문이다.

2. 3. 천-베유 이론을 통한 정의

매끄러운 다양체 X 위에 n차원의 복소수 매끄러운 벡터 다발 E가 주어지고, 이 벡터 다발에 코쥘 접속 \nabla가 정의되어 있다고 가정하자. 이 경우, 천-베유 준동형을 이용하여 복소수 계수를 가지는 천 지표 \operatorname{ch}(E)를 미분 형식으로 구체적으로 표현할 수 있다. 이 표현은 다음과 같다.

:\operatorname{ch}(E)= \left[ \operatorname{tr}\exp\frac{\mathrm iF_\nabla}{2\pi} \right]

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

  • F_\nabla는 주어진 코쥘 접속 \nabla의 리만 곡률이다. 이것은 X 위의 각 점에서 E의 자기준동형사상 \operatorname{End}_{\mathbb C}(E) 값을 가지는 2차 미분 형식이다. 즉, F_\nabla\in\Omega^2(X;\operatorname{End}_{\mathbb C}(E))이다.
  • \exp는 행렬 지수 함수이다. 여기서는 \frac{\mathrm iF_\nabla}{2\pi}라는 행렬 값을 가지는 미분 형식에 적용된다. 이 계산은 형식적인 멱급수로 이루어지며, 미분 형식의 쐐기곱을 사용하여 정의된다. 만약 X가 콤팩트 공간이라면, 특정 차수 이상의 베티 수가 0이 되므로 이 급수는 유한한 합이 된다.
  • \operatorname{tr}는 대각합 연산이다. 계산된 결과 \exp(\mathrm iF_\nabla/2\pi)는 여전히 행렬 값을 가지는 미분 형식인데, 여기서 행렬 성분의 대각합을 취하여 복소수 값을 가지는 미분 형식 \Omega^\bullet(X;\mathbb C)으로 만든다.
  • [-]는 드람 코호몰로지로 가는 사상이다. 즉, 닫힌 미분 형식인 \operatorname{tr}\exp(\mathrm iF_\nabla/2\pi)에 해당하는 코호몰로지류를 취하여, 최종적으로 천 지표 \operatorname{ch}(E)를 얻는다. 이 천 지표는 X의 코호몰로지 환 \operatorname H^\bullet(X;\mathbb C)의 원소가 된다.


이 정의는 천 지표를 미분기하학적인 도구인 접속과 곡률을 사용하여 계산할 수 있게 해준다.

3. 성질

(내용 없음)

3. 1. 추가 성질

천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

:\operatorname{ch}\colon\operatorname K(X)\to\operatorname H(X;\mathbb Q)

이는 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발 E와 F에 대해 다음 두 가지 성질이 성립함을 의미한다.

  • 두 벡터 다발의 직합에 대한 천 지표는 각 벡터 다발의 천 지표의 합과 같다.

:\operatorname{ch}(E\oplus F)=\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F)

  • 두 벡터 다발의 텐서곱에 대한 천 지표는 각 벡터 다발의 천 지표의 컵곱(\smile)과 같다.

:\operatorname{ch}(E\otimes F)=\operatorname{ch}(E)\smile\operatorname{ch}(F)

또한, 천 지표는 벡터 다발의 짧은 완전열에 대해 가법성(additivity)을 만족한다. 어떤 벡터 다발의 짧은 완전열이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:0\to E\to F\to F/E\to0

이 경우, 중간 항(F)의 천 지표는 양 끝 항(E와 F/E)의 천 지표의 합과 같다. 즉, 천 지표는 완전성을 만족한다.

:\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F/E)=\operatorname{ch}(F)


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