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초구면 좌표계

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목차

1. 개요

초구면 좌표계는 원점으로부터의 거리와 여러 각도로 n차원 공간의 점을 표현하는 좌표계이다. 4차원 초구면 좌표계는 네 개의 좌표 성분 (r, φ, θ₁, θ₂)를 사용하며, 직교 좌표계와의 변환식을 통해 좌표를 변환할 수 있다. 임의의 n차원 공간에서도 초구면 좌표계는 정의되며, 직교 좌표계와의 변환식이 존재한다. 또한, 초구면 좌표계는 길이 요소, 기울기 연산자, 부피 요소 등을 계산하는 데 사용되며, 특히 4차원 공간에서 이러한 요소들을 명확하게 정의할 수 있다.

2. 정의

n-차원 초구면 좌표계는 원점으로부터의 거리 r과 n-1개의 각도 \phi, \theta_1, \theta_2, ..., \theta_{n-2}로 구성된다. n-차원 초구면 좌표계에서는 원래의 직교 성분 (x, y, z)에 추가된 직교 성분 (x_1, x_2, ..., x_{n-3})으로부터의 각 (\theta_2, \theta_3, ..., \theta_{n-2})을 좌표계에 추가하여 (r, \phi, \theta_1, \theta_2, \theta_3, ..., \theta_{n-2})의 n개의 성분으로 위치를 지정한다. 이때 각도의 범위는 방위각 \phi가 0 ~ 2\pi이고, 나머지 각도들은 0 ~ \pi이다. 아무리 차원을 증가시키더라도 방위각 성분은 일정하게 단 하나만 존재한다.

3. 직교좌표와의 좌표 변환

여기에서는 간단한 예시로 4차원의 경우를 먼저 다루고, 그 다음으로 임의 차원을 다룬다. 4차원 초구면 좌표계는 3차원 공간에 하나의 차원이 더 추가된 형태이다. 좌표 변환식은 하위 섹션을 참고한다.

3. 1. 4차원

4차원 초구면 좌표계는 3차원 공간에 하나의 차원이 더 추가된 형태이다. 가장 간단한 4차원 초구면 좌표계에서 좌표 변환식은 다음과 같다. 여기서 네 번째 직교 성분은 ''w''로 표시한다. 4차원 초구면 좌표계와 직교좌표계 사이의 변환은 아래와 같이 이루어진다.

  • '''직교좌표계에서 초구면좌표계로 변환'''
  • '''초구면좌표계에서 직교좌표계로 변환'''

3. 1. 1. 직교좌표계에서 초구면좌표계로 변환

4차원 초구면 좌표계에서 좌표 변환식은 다음과 같다(여기에서 4번째 직교 성분을 w라 쓴다).

:

\begin{align}

r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} \\

\phi &= \arctan\frac{y}{x} \\

\theta_1 &= \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \\

\theta_2 &= \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{w}

\end{align}



이와 같은 직교좌표계 변환식은 방위각 성분과 고도 성분들의 중요한 차이를 나타낸다. 방위각 성분은 (x, y)가 (a_0, b_0)와 (-a_0, -b_0)일 때 동일한 값을 두 번 가질 수 있기 때문이다.

3. 1. 2. 초구면좌표계에서 직교좌표계로 변환

4차원 초구면 좌표계에서 직교좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다. (여기에서 4번째 직교 성분을 w라 쓴다)

:

\begin{align}

x &= r \cos\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 \\

y &= r \sin\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 \\

z &= r \cos\theta_1 \sin\theta_2 \\

w &= r \cos\theta_2

\end{align}


3. 2. n차원

임의 차원에서 좌표 변환은 하위 섹션을 참고하라.

3. 2. 1. 직교좌표계에서 초구면좌표계로 변환

n차원 직교 좌표계에서 초구면 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

:r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + x_1^2 + ... + x_{n-3}^2}

:\phi = \arctan\frac{y}{x}

:\theta_1 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}

:\theta_2 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{x_1}

:\theta_3 = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + x_1^2}}{x_2}

:...

:\theta_{n-2} = \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + ... + x_{n-4}^2}}{x_{n-3}}

3. 2. 2. 초구면좌표계에서 직교좌표계로 변환

n차원 초구면 좌표계에서 직교 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

:x_{n-3} = r \cos\theta_{n-2}

:x_{n-4} = r \cos\theta_{n-3} \sin\theta_{n-2}

:x_{n-5} = r \cos\theta_{n-4} \sin\theta_{n-3} \sin\theta_{n-2}

:...

:z = r \cos\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}

:y = r \sin\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}

:x = r \cos\phi \sin\theta_1 \sin\theta_2 ... \sin\theta_{n-2}

4. 좌표 변환 표현의 증명

4차원의 경우에 먼저 증명하고 나서, 같은 논리를 수학적 귀납법에 따라 동일하게 적용할 수 있다. 그러므로 4차원만 증명하면 된다.

일반적으로 4차원 초구면 좌표 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:x영어 = r영어 cosϕ영어 sinθ영어f영어(θ영어)

:y영어 = r영어 sinϕ영어 sinθ영어f영어(θ영어)

:z영어 = r영어 cosθ영어f영어(θ영어)

:w영어 = r영어 f영어(θ영어)

모든 변수들은 서로 독립이며, 4차원 유클리드 공간에서 3-평입체의 방정식 w영어 = 0 은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 하기 때문이다. 그런데, 유클리드 노름의 정의에 의해서, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:r영어 = x영어 + y영어 + z영어 + w영어 = r영어[f영어 + cosθ영어 f영어 + sinϕ영어 sinθ영어 f영어 + cosϕ영어 sinθ영어 f영어]

r영어를 소거하고 삼각함수 항등식에 의해 식을 묶으면, 다음과 같다.

:1 = [f영어 + f영어] + sinθ영어[f영어 - f영어] + sinθ영어 cosϕ영어[f영어 - f영어]

이 식은 각 변수들에 대해 독립적인 항등식이다.

여기서 우선 [f영어 + f영어] = 1 식에서 매개변수를 취해 f영어 = cosθ영어 ; f영어 = sinθ영어로 둔다. 그러면 항등식의 나머지 부분에서, 다음과 같다.

:sinθ영어 = f영어 = f영어 = f영어

이제 처음의 조건, 즉 w영어 = 0은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 한다는 조건을 다시 적용하면, 다음과 같다.

:sinθ영어 = f영어 = f영어

이제까지의 결과를 이용해 다시 직교좌표에서 초구면좌표로의 변환식을 구성해 보면, θ영어의 범위에 관한 사항을 얻을 수 있다.

5. 몇 가지 성질들

논의의 복잡성을 피하기 위해 4차원에서만 논의하며, 이는 상응하는 계산을 통해 n차원으로 일반화할 수 있다.

5. 1. 4차원

4차원 초구면 좌표계는 복잡성을 피하기 위해 4차원에서 논의되며, 이는 n차원으로 일반화할 수 있다.

4차원 초구면 좌표계에서 부피 요소는 다음과 같이 주어진다.

:r^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} dr d\phi d\theta_1 d\theta_2

반지름 R인 초구체 상에서의 3-부피 요소는 다음과 같다.

:R^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2

4차원 미소 초구면각은 다음과 같다.

:\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2

5. 1. 1. 길이 요소

4차원 초구면 좌표계에서 길이 요소를 3차원에서의 정의와 동일한 형태로 정의하여 구하면 다음과 같다.

:\sqrt{dr^2 + r^2 \sin\theta_1^2 \sin\theta_2^2 d\phi^2 + r^2 \sin\theta_2^2 d\theta_1^2 + r^2 d\theta_2^2}

이에 따라 기울기 연산자는 다음과 같이 표현된다.

:\nabla = \boldsymbol{\hat r}\frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{\hat \theta_2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta_2} + \boldsymbol{\hat \theta_1}\frac{1}{r\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \boldsymbol{\hat \phi}\frac{1}{r \sin\theta_2 \sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \phi}

(발산 연산자와 라플라시안 연산자 또한 이 기울기 연산자와 일반 좌표계에서의 유도 방법을 통해 얻을 수 있다)

5. 1. 2. 기울기 연산자

기울기 연산자는 다음과 같다.

:\nabla = \boldsymbol{\hat r}\frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{\hat \theta_2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta_2} + \boldsymbol{\hat \theta_1}\frac{1}{r\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \boldsymbol{\hat \phi}\frac{1}{r \sin\theta_2 \sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \phi}

(발산 연산자와 라플라시안 연산자 또한 이 기울기 연산자와 교과서적인 일반 좌표계에서의 유도 방법을 통해 얻을 수 있다.)

5. 1. 3. 부피 요소

위의 좌표변환식과 3차원에서의 정의와 동일한 형태의 정의를 이용해 길이 요소를 구하면 다음과 같다.

:\sqrt{dr^2 + r^2 \sin\theta_1^2 \sin\theta_2^2 d\phi^2 + r^2 \sin\theta_2^2 d\theta_1^2 + r^2 d\theta_2^2}

즉, 기울기 연산자는 다음과 같다.

:\nabla = \boldsymbol{\hat r}\frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{\hat \theta_2}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta_2} + \boldsymbol{\hat \theta_1}\frac{1}{r\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \boldsymbol{\hat \phi}\frac{1}{r \sin\theta_2 \sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \phi}

(발산 연산자와 라플라시안 연산자 또한 이 기울기 연산자와 교과서적인 일반 좌표계에서의 유도 방법을 통해 얻을 수 있다)

위의 식에서, h_{q_i}들을 명시적으로 알 수 있으므로, 4-부피 요소를 적으면 다음과 같다.

:r^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} dr d\phi d\theta_1 d\theta_2

반지름 R인 초구체 상에서의 3-부피 요소는 다음과 같다.

:R^3\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2

4차원 미소 초구면각은 다음과 같다.

:\sin{\theta_1} \sin ^2{\theta_2} d\phi d\theta_1 d\theta_2


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