코플랜드 에르되시 상수

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1. 개요
2. 수학적 성질
3. 관련 상수
참조

1. 개요

코플랜드-에르되시 상수는 소수를 십진법으로 연결하여 얻는 무리수이며, 1946년에 코플랜드와 에르되시가 이 수가 십진법 정규수임을 증명했다. 이 수는 0.235711131719232931...으로 시작하며, 산술 수열 정리와 베르트랑의 가설을 사용하여 무리수임을 증명할 수 있다. 또한 연분수 전개는 [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]로 표현된다. 이 상수가 정규수임을 증명하는 데에는 n번째 소수 p_n이 엄격하게 증가하고 p_n = n^1+o(1)라는 사실이 사용된다.

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코플랜드 에르되시 상수

2. 수학적 성질

코플랜드-에르되시 상수는 1946년에 아서 코플랜드와 에르되시에 의해 십진법 정규수임이 증명되었다.^[4]

임의의 주어진 진법 ''b''에서

: $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b^{-p_n}, \,$

라는 수는 ''b''진법으로 0.0110101000101000101..._''b''로 쓸 수 있으며, 여기서 ''n''번째 자릿수는 ''n''이 소수일 경우에만 1이다. 이 수는 무리수이다.^[3]

또한, 다음 식으로 나타낼 수 있다. 여기서 ''p''(''n'')은 ''n''번째 소수, $\lfloor x \rfloor$ 는 바닥 함수를 나타낸다.

: $\sum_{n=1}^\infty p(n) 10^{-\left(n + \sum\limits_{k=1}^n \lfloor\log_{10}{p(k)}\rfloor\right)}.$

2. 1. 무리수 증명

1946년에 코플랜드와 에르되시는 이 수가 십진법 정규수임을 보였다^[4]. 이로부터 무리수임, 즉 순환하지 않는 소수임도 알 수 있다. 하디와 라이트의 『수론 입문』에는 코플랜드-에르되시 상수가 무리수임을 증명하는 방법으로 산술 수열 정리를 사용한 것과 베르트랑의 가설을 사용한 것이 소개되어 있다^[5]. 이하에서는 상수가 유리수라고 가정하고 순환절의 길이를 ''s''로 하여 모순을 이끌어낸다.

산술 수열 정리에 의하면, 첫째 항이 1이고 공차가 10^''s''+1인 산술 수열을 생각할 때, 0이 ''s''자리 이상 연속되는 소수는 무수히 많다. 이는 명백히 가정에 반한다.
베르트랑의 가설에 의하면 5 × 10^''n''−1과 10^''n'' 사이에 소수가 존재하므로, 임의의 자연수 ''n''에 대해 ''n''자리 소수가 존재한다. ''s'' > 1인 경우, 충분히 큰 ''m'' > 1에 대해 ''ms''자리 소수가 상수의 순환 부분에 나타나야 하지만, 가정에 의하면 그 소수는 ''s''자리마다 반복된다. 그러한 수는 합성수이므로 모순이다. ''s''=1인 경우에도 소수이면서 합성수인 수의 존재가 나타나므로 모순이다.

2. 2. 정규수 증명

1946년에 코플랜드와 에르되시는 이 수가 십진법 정규수임을 증명하였다.^[4] 이 증명에는 p_n이 엄격하게 증가하고 p_n = n^1+o(1)이라는 사실만 사용되며, 여기서 p_n은 n번째 소수이다. 더 일반적으로, s_n이 s_n = n^1+o(1)을 만족하는 엄격하게 증가하는 자연수 수열이고 b가 2 이상인 임의의 자연수이면, s_n의 b진법 표현을 "0."과 연결하여 얻은 상수는 b진법에서 정규수이다.

이 상수가 무리수임, 즉 순환하지 않는 소수임도 알 수 있다. 하디와 라이트의 『수론 입문』에는 코플랜드-에르되시 상수가 무리수임을 증명하는 방법으로 산술 수열 정리를 사용한 것과 베르트랑의 가설을 사용한 것이 소개되어 있다.^[5] 상수가 유리수라고 가정하고 순환절의 길이를 s로 하여 모순을 이끌어내는 방식으로 증명한다.

산술 수열 정리에 의해, 첫째 항 1, 공차 10^s+1의 산술 수열을 생각하면, 0이 s자리 이상 연속되는 소수는 무수히 존재한다. 이는 가정에 명백히 반한다.
베르트랑의 가설에 의해 5 × 10^n-1과 10ⁿ 사이에 소수가 존재하므로, 임의의 자연수 n에 대해 n자리 소수가 존재한다. s > 1인 경우, 충분히 큰 m > 1에 대해 ms자리 소수가 상수의 순환 부분에 나타나야 하지만, 가정에 의해 그 소수는 s자리마다 반복된다. 그러한 수는 합성수이므로 모순이다. s=1인 경우도 소수이면서 합성수인 수의 존재가 나타난다.

2. 3. 표현

1946년에 코플랜드와 에르되시는 이 수가 십진법 정규수임을 보였다.^[4] 이로부터 무리수임, 즉 순환하지 않는 소수임도 알 수 있다. 하디와 라이트의 『수론 입문』에는 코플랜드-에르되시 상수가 무리수임을 증명하는 방법으로 산술 수열 정리를 사용한 것과 베르트랑의 가설을 사용한 것이 소개되어 있다.^[5] 이하, 상수가 유리수라고 가정하고 순환절의 길이를 ''s''로 하여 모순을 이끌어낸다.

산술 수열 정리에 의해, 첫째 항 1, 공차 10^''s''+1의 산술 수열을 생각하면, 0이 ''s''자리 이상 연속되는 소수는 무수히 존재한다. 이는 명백히 가정에 반한다.
베르트랑의 가설에 의해 5 × 10^''n''−1과 10^''n'' 사이에 소수가 존재하므로, 임의의 자연수 ''n''에 대해 ''n''자리 소수가 존재한다. ''s'' > 1인 경우, 충분히 큰 ''m'' > 1에 대해 ''ms''자리 소수가 상수의 순환 부분에 나타나야 하지만, 가정에 의해 그 소수는 ''s''자리마다 반복된다. 그러한 수는 합성수이므로 모순이다. ''s''=1인 경우도 소수이면서 합성수인 수의 존재가 나타난다.

또한, 다음 식으로 나타낼 수 있다. 여기서 ''p''(''n'')은 ''n''번째 소수,

\lfloor x \rfloor

는 바닥 함수를 나타낸다.

:

\sum_{n=1}^\infty p(n) 10^{-\left(n + \sum\limits_{k=1}^n \lfloor\log_{10}{p(k)}\rfloor\right)}.

연분수 전개는 [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]이다.

2. 4. 연분수 전개

1946년에 코플랜드와 에르되시는 이 수가 십진법 정규수임을 보였다^[4]. 이로부터 무리수임, 즉 순환하지 않는 소수임도 알 수 있다. 하디와 라이트의 『수론 입문』에는 코플랜드-에르되시 상수가 무리수임을 증명하는 방법으로 산술 수열 정리를 사용한 것과 베르트랑의 가설을 사용한 것이 소개되어 있다^[5].

코플랜드-에르되시 상수의 연분수 전개는 [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …]이다.

3. 관련 상수

코플랜드-에르되시 상수가 정규수임을 증명하는 데에는 n^영어번째 소수 p_n^영어이 엄격하게 증가하고 p_n = n^1+o(1)^영어라는 사실만 사용된다. 더 일반적으로, s_n^영어이 s_n = n^1+o(1)^영어을 만족하는 엄격하게 증가하는 자연수 수열이고 b^영어가 2 이상인 임의의 자연수이면, s_n^영어의 b진법 표현을 "0."과 연결하여 얻은 상수는 b진법에서 정규수이다. 예를 들어, 수열 ⌊n(log n)²⌋^영어은 이러한 조건을 만족하므로, 상수 0.003712192634435363748597110122136...은 10진법에서 정규수이고, 0.003101525354661104...₇는 7진법에서 정규수이다.

임의의 주어진 진법 b^영어에서

:

라는 수는 b진법으로 0.0110101000101000101..._b^영어로 쓸 수 있으며, 여기서 n^영어번째 자릿수는 n^영어이 소수일 경우에만 1이다. 이 수는 무리수이다.^[3]

참조

_[1] 정보
_[2] Harvnb
_[3] Harvnb
_[4] 논문 Note on normal numbers.
_[5] 서적 An introduction to the theory of numbers. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York
_[6] 논문 Note on Normal Numbers.
_[7] OEIS http://oeis.org/A033[...]
_[8] OEIS http://oeis.org/A068[...]
_[9] 서적 Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press
_[10] 논문 Random Generators and Normal Numbers.
_[11] 논문 The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten.
_[12] OEIS https://oeis.org/A03[...]
_[13] OEIS http://oeis.org/A033[...]

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