크라메르 추측

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1. 개요
2. 정의
3. 크라메르 모형과 휴리스틱
- 3.1. 앤드루 그랜빌의 수정된 크라메르 모형
4. 부분적인 증명 및 관련 연구
5. 수치적 증거
6. 역사
7. 크라메르 추측에 대한 반론
참조

1. 개요

크라메르 추측은 n번째 소수를 p_n이라고 할 때, 인접한 소수의 차이와 관련된 가설로, limsup_{n→∞} (p_{n+1} - p_n) / (ln p_n)^2 = 1 이 성립한다는 것이다. 이는 소수의 분포에 대한 크라메르 모형에서 유도되며, 소수가 될 확률을 1/ln n으로 추정하는 휴리스틱에 기반한다. 크라메르 모형에서는 크라메르 추측이 거의 확실하게 성립하지만, 앤드루 그랜빌은 마이어의 정리가 크라메르 모형이 짧은 구간에서 소수의 분포를 제대로 설명하지 못함을 보여준다고 지적했다. 하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정하면 p_{n+1} - p_n = O(√p_n ln p_n)임을 증명했으며, 현재까지 알려진 가장 좋은 비조건적 상한은 p_{n+1} - p_n = O(p_n^{0.525})이다. 1931년에는 에리크 베스트쉰티우스가 소수 간격이 로그적으로 증가하는 것보다 더 빠르게 증가함을 증명했고, 폴 에르되시는 이 값의 좌변이 무한대라고 추측했는데, 이는 2014년에 증명되었다.

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크라메르 추측
크라메르 추측
분야	수론
제안자	하랄드 크라메르
발표 년도	1936년
설명	p_n}{(log p_n)^2} = 1$$
관련 항목
관련 항목	소수 소수 간극 르장드르 추측 안드리카 추측 피아 추측

2. 정의

$n$ 번째 소수를 $p_n$ 이라고 쓰자. '''크라메르 추측'''에 따르면,

: $\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2}=1$

이다.

3. 크라메르 모형과 휴리스틱

크라메르 추측은 소수의 분포에 대한 '''크라메르 모형'''(Cramér model^영어)에서 유도된다. 크라메르 모형은 소수의 분포를 나타내는 통계학적 모형으로, 이에 따르면 양의 정수 $n\ge3$ 이 소수일 확률은 대략 다음과 같다.

: $\Pr(n\in\mathbb P)=\frac1{\ln n}$

( $n\le2$ 인 경우의 확률은 임의로 정할 수 있다.) 또한, 각 정수가 소수인지 여부는 독립 확률 변수로 간주한다.

이 모형에 따르면, 크기가 $n$ 이하인 소수들의 수의 기댓값은 대략 다음과 같으며, 소수 정리를 얻을 수 있다.

: $\pi(n)=\sum_{k\le n}\Pr(k\in\mathbb P)=\sum_{k=2}^n\frac1{\ln k}\approx\int_2^n\frac{dk}{\ln k}=\operatorname{Li}(n)-\operatorname{Li}(2)$

크라메르 모형에서 크라메르 추측은 거의 확실히 (즉, 확률 1로) 성립한다. 크라메르 추측은 숫자 ''x'' 크기의 숫자가 소수일 확률이 1/log ''x''인 확률적 수론 모델, 즉 휴리스틱에 기반하며, 이는 소수의 '''크라메르 무작위 모델''' 또는 크라메르 모델로 알려져 있다.^[8]

크라메르 무작위 모델에서는,

: $\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log^2 p_n} = 1$

이며, 거의 확실한 수렴 확률을 갖는다.^[1]

3. 1. 앤드루 그랜빌의 수정된 크라메르 모형

앤드루 그랜빌(Andrew Granville^영어)은 작은 소수의 배수를 고려하여 크라메르 모형을 개량하였는데,^[17] 이에 따르면

:

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n)^2}\gtrsim 2\exp(-\gamma)\approx1.1229

이다. 여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다.

마이어의 정리는 크라메르 무작위 모델이 짧은 구간에서 소수의 분포를 제대로 설명하지 못한다는 것을 보여주며, 작은 소수로의 가분성을 고려한 크라메르 모델의 개선은 그 극한이 1이 아닌 상수

c \ge 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots

가 되어야 함을 시사한다.^[9] 야노스 핀츠는 상한이 무한대가 될 수 있다고 제안했으며,^[10] 레너드 애들먼과 케빈 맥컬리는 다음과 같이 썼다.

:''헬무트 마이어의 연속된 소수 사이의 간격에 대한 연구 결과로 크라메르 추측의 정확한 공식은 의문시되었습니다 [...] 아마도 모든 상수

c>2

에 대해

x

와

x+d(\log x)^c

사이에 소수가 존재하도록 하는 상수

d>0

이 존재할 것입니다.''^[11]

로빈 비서는 다음과 같이 썼다.

:''사실, 그랜빌의 연구로 인해 크라메르 추측이 틀렸다고 널리 믿어지고 있습니다. 실제로, 소수 사이의 짧은 간격에 관한 몇 가지 정리, 예를 들어 마이어의 정리는 크라메르 모델에 모순됩니다.''^[12]

4. 부분적인 증명 및 관련 연구

크라메르 추측은 아직 풀리지 않은 문제이다. 하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정하면 : $p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$ 이라는 사실을 증명하였다.^[20]

1931년에 핀란드의 수학자 에리크 베스트쉰티우스(Erik Westzynthius^sv)는 : $\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty$ 임을 증명하였다.^[18]

E. 웨스트진티우스는 소수 간격이 로그적으로 증가하는 것보다 더 빠르게 증가한다는 것을 증명했다.^[3] 이후 그의 결과는 랭킨에 의해 개선되었고,^[4] 폴 에르되시는 랭킨의 공식 좌변이 무한대라고 추측했다. 이는 2014년에 케빈 포드, 벤 그린, 세르게이 코냐긴, 테렌스 타오에 의해 증명되었으며,^[5] 제임스 메이너드에 의해 독립적으로 증명되었다.^[6]

4. 1. 리만 가설 하의 증명

하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정하면 다음이 성립함을 증명하였다.^[20]

:

p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

크라메르는 조건부 증명을 통해 더 약한 다음 명제도 증명했다.

:

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\,\log p_n)

이는 리만 가설을 가정했을 때 성립한다.^[1]

4. 2. 비조건적 상한

하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정하면 :

p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

이라는 사실을 증명하였다.^[20] 현재까지 알려진 가장 좋은 비조건적 상한은 다음과 같다.

:

p_{n+1}-p_n = O(p_n^{0.525})

이는 베이커, 하만, 핀츠에 의해 증명되었다.^[2]

4. 3. 소수 간격의 증가에 대한 연구

하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정하면 :

p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

이라는 사실을 증명하였다.^[20] 1931년에 핀란드의 수학자 에리크 베스트쉰티우스(Erik Westzynthius^sv)는 :

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty

임을 증명하였다.^[18] 크라메르는 조건부 증명을 통해 훨씬 더 약한 다음 명제인 :

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\,\log p_n)

를 증명했는데, 이는 리만 가설을 가정했을 때 성립한다.^[1] 현재까지 알려진 가장 좋은 비조건적 상한은 :

p_{n+1}-p_n = O(p_n^{0.525})

이며, 이는 베이커, 하만, 핀츠에 의해 증명되었다.^[2]

E. 웨스트진티우스는 1931년에 소수 간격이 로그적으로 증가하는 것보다 더 빠르게 증가한다는 것을 증명했다.^[3] 즉,

:

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty.

이 결과는 랭킨에 의해 개선되었으며,^[4] 랭킨은 다음을 증명했다.

:

\limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}\cdot\frac{\left(\log\log\log p_n\right)^2}{ \log\log p_n  \log\log\log\log p_n} > 0.

폴 에르되시는 위의 공식의 좌변이 무한대라고 추측했고, 이는 2014년에 케빈 포드, 벤 그린, 세르게이 코냐긴, 테렌스 타오에 의해 증명되었으며,^[5] 제임스 메이너드에 의해 독립적으로 증명되었다.^[6] 두 연구진은 그 해 후반에

\log \log \log p_n

의 한 인수를 제거하여,^[7] 무한히 많은 경우에 다음을 보였다.

:

\ {p_{n+1}-p_n} { > } \frac{c\cdot\log p_n \cdot\log\log p_n \cdot\log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}

여기서

c > 0

는 어떤 상수이다.

5. 수치적 증거

토머스 나이슬리(Thomas Nicely^영어)의 1999년 수치적 계산에 따르면,^[19] 매우 큰 소수들의 간극은 대략

: $\frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}\approx1.13$

을 만족시킨다.

6. 역사

하랄드 크라메르가 1936년에 통계적 모형을 바탕으로 추측하였다.^[20]

7. 크라메르 추측에 대한 반론

크라메르 추측은 숫자 ''x'' 크기의 숫자가 소수일 확률이 1/log ''x''인 확률적 수론 모델, 즉 휴리스틱에 기반한다. 이는 소수의 '''크라메르 무작위 모델''' 또는 크라메르 모델로 알려져 있다.^[8]

크라메르 무작위 모델에서,

: $\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log^2 p_n} = 1$

이며, 거의 확실한 수렴 확률을 갖는다.^[1] 그러나 앤드루 그랜빌은 마이어의 정리가 크라메르 무작위 모델이 짧은 구간에서 소수의 분포를 제대로 설명하지 못한다는 것을 보여주며, 작은 소수로의 가분성을 고려한 크라메르 모델의 개선은 그 극한이 1이 아닌 상수 $c \ge 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots$ 가 되어야 함을 지적했다.^[9] 여기서 $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. 야노스 핀츠는 상한이 무한대가 될 수 있다고 제안했으며,^[10] 레너드 애들먼과 케빈 맥컬리는 다음과 같이 썼다.

:"헬무트 마이어의 연속된 소수 사이의 간격에 대한 연구 결과로 크라메르 추측의 정확한 공식은 의문시되었습니다 [...] 아마도 모든 상수 $c>2$ 에 대해 $x$ 와 $x+d(\log x)^c$ 사이에 소수가 존재하도록 하는 상수 $d>0$ 이 존재할 것입니다."^[11]

로빈 비서도 다음과 같이 썼다.

:"사실, 그랜빌의 연구로 인해 크라메르 추측이 틀렸다고 널리 믿어지고 있습니다. 실제로, 소수 사이의 짧은 간격에 관한 몇 가지 정리, 예를 들어 마이어의 정리는 크라메르 모델에 모순됩니다."^[12]

참조

_[1] 논문 On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers http://matwbn.icm.ed[...] 2012-03-12
_[2] 논문 The Difference Between Consecutive Primes, II Wiley
_[3] 논문 Über die Verteilung der Zahlen die zu den ''n'' ersten Primzahlen teilerfremd sind
_[4] 논문 The difference between consecutive prime numbers 1938-12
_[5] 논문 Large gaps between consecutive prime numbers 2016
_[6] 논문 Large gaps between primes 2016
_[7] 논문 Long gaps between primes 2018
_[8] 블로그 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional) https://terrytao.wor[...] 2015-01
_[9] 논문 Harald Cramér and the distribution of prime numbers http://www.dartmouth[...] 2007-06-05
_[10] 논문 Very large gaps between consecutive primes https://core.ac.uk/d[...] 1997-04
_[11] 서적 ANTS-I: Proceedings of the First International Symposium on Algorithmic Number Theory Springer 1994-05-06
_[12] 문서 Large Gaps Between Primes https://warwick.ac.u[...] University of Cambridge 2020
_[13] 논문 On Maximal Gaps between Successive Primes American Mathematical Society
_[14] 논문 Large Intervals Between Consecutive Primes
_[15] 논문 Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos https://journals.aps[...]
_[16] 논문 New maximal prime gaps and first occurrences
_[17] 저널 Harald Cramér and the distribution of prime numbers http://www.dartmouth[...] 2014-11-04
_[18] 저널 Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind 1931
_[19] 저널 New maximal prime gaps and first occurrences http://www.trnicely.[...] 2014-11-04
_[20] 저널 On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers http://matwbn.icm.ed[...] 2014-11-04

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