포크 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 구성
- 3.1. 점유수 기저 (포크 상태)
- 3.2. 생성 및 소멸 연산자
4. 파동 함수 표현
5. 바르그만 표현
6. 세갈-바그만 공간과의 관계
7. 하크 정리
참조

1. 개요

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간의 텐서곱으로 구성되는 힐베르트 공간으로, 입자 수가 가변적인 양자 시스템을 기술하는 데 사용된다. 보존적 입자의 대칭 공간과 페르미온의 반대칭 공간을 포함하며, 진공 상태, 단일 입자 상태, 다중 입자 상태 등을 표현한다. 포크 공간은 곱 상태의 선형 결합으로 일반적인 상태를 구성하며, 점유수 기저 또는 포크 상태를 사용하여 기저를 정의하고, 생성 및 소멸 연산자를 통해 입자를 추가하거나 제거한다. 파동 함수 표현과 바르그만 표현을 통해 나타낼 수 있으며, 세갈-바그만 공간과 관련이 있다. 하크 정리에 따르면, 포크 공간은 자유 입자만을 나타낼 수 있다.

2. 정의

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간 $H$ 의 텐서곱을 직합하여 구성된다.

: $F_\nu(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n} = \Complex \oplus H \oplus \left(S_\nu \left(H \otimes H\right)\right) \oplus \left(S_\nu \left( H \otimes H \otimes H\right)\right) \oplus \cdots$

여기서 $S_\nu$ 는 대칭화 연산자로, 보존 ( $\nu=+$ )의 경우 대칭적인 공간을, 페르미온 ( $\nu=-$ )의 경우 반대칭적인 공간을 만든다. $H$ 는 단일 입자 힐베르트 공간을 나타낸다. $\Complex$ 는 입자가 없는 상태, 즉 진공 상태를 나타낸다.^[7]

일반적인 포크 공간의 상태는 다음과 같이 주어질 수 있다.

: $|\Psi\rangle_\nu= |\Psi_0\rangle_\nu \oplus |\Psi_1\rangle_\nu \oplus |\Psi_2\rangle_\nu \oplus \cdots = a |0\rangle \oplus \sum_i a_i|\psi_i\rangle \oplus \sum_{ij} a_{ij}|\psi_i, \psi_j \rangle_\nu \oplus \cdots$

여기서

$|0\rangle$ 은 진공 상태라고 하는 길이가 1인 벡터이고, $a \in \Complex$ 는 복소수 계수이다.
$|\psi_i\rangle \in H$ 는 단일 입자 힐베르트 공간의 상태이고, $a_i \in \Complex$ 는 복소 계수이다.
$|\psi_i , \psi_j \rangle_\nu = a_{ij} |\psi_i\rangle \otimes|\psi_j\rangle + a_{ji} |\psi_j\rangle\otimes|\psi_i\rangle \in S_\nu(H \otimes H)$ 이고, $a_{ij} = \nu a_{ji} \in \Complex$ 는 복소 계수이다.

3. 구성

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간 $H$ 의 복사본 텐서곱들의 (힐베르트) 직합이다.

: $F_\nu(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n} = \Complex \oplus H \oplus \left(S_\nu \left(H \otimes H\right)\right) \oplus \left(S_\nu \left( H \otimes H \otimes H\right)\right) \oplus \cdots$

여기서 $\Complex$ , 즉 복소수는 입자가 없는 상태, $H$ 는 한 입자의 상태, $S_\nu (H\otimes H)$ 는 두 개의 동일한 입자의 상태 등으로 구성된다.

$F_\nu(H)$ 의 일반적인 상태는 다음과 같이 주어지며,

: $|\Psi\rangle_\nu= |\Psi_0\rangle_\nu \oplus |\Psi_1\rangle_\nu \oplus |\Psi_2\rangle_\nu \oplus \cdots = a |0\rangle \oplus \sum_i a_i|\psi_i\rangle \oplus \sum_{ij} a_{ij}|\psi_i, \psi_j \rangle_\nu \oplus \cdots$

여기서

$|0\rangle$ 은 진공 상태라고 하는 길이가 1인 벡터이고, $a \in \Complex$ 는 복소 계수이다.
$|\psi_i\rangle \in H$ 는 단일 입자 힐베르트 공간의 상태이고, $a_i \in \Complex$ 는 복소 계수이다.
$|\psi_i , \psi_j \rangle_\nu = a_{ij} |\psi_i\rangle \otimes|\psi_j\rangle + a_{ji} |\psi_j\rangle\otimes|\psi_i\rangle \in S_\nu(H \otimes H)$ 이고, $a_{ij} = \nu a_{ji} \in \Complex$ 는 복소 계수 등이다.

포크 공간의 곱 상태는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

|\Psi\rangle_\nu=|\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\rangle_\nu = |\phi_1\rangle \otimes |\phi_2\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi_n\rangle

이는

n

개의 입자 모음을 나타내며, 각 입자는 단일 입자 힐베르트 공간

H

의 상태

\phi_1

,

\phi_2

, ...,

\phi_n

중 하나에 대응된다. 여기서 나란히 쓰는 것(단일 입자 케트를

\otimes

없이 나란히 쓰는 것)은 대칭(각각 반대칭) 텐서 대수에서의 곱셈이다. 포크 공간의 일반적인 상태는 곱 상태의 선형 결합이며, 곱 상태의 볼록 합으로 표현할 수 없는 상태는 얽힘 상태라고 한다.

동일한 포크 공간에서 모든 입자는 동일하며, 상태가 암묵적으로 적절하게 대칭화된다. 예를 들어 페르미온의 경우, 동일한 양자 상태에 두 개 이상의 입자가 존재할 수 없다는 파울리 배타 원리를 따르며, 이는 반대칭 (외적) 곱

|\phi_i \rangle |\phi_i \rangle = 0

으로 표현된다.

3. 1. 점유수 기저 (포크 상태)

포크 공간의 기저를 이루는 상태를 점유수 기저 또는 포크 상태라고 한다.

H

의 기저

\

3. 2. 생성 및 소멸 연산자

포크 상태에 작용하여 특정 양자 상태의 입자를 추가하거나 제거하는 연산자를 생성 및 소멸 연산자라고 한다. 생성 연산자는

a^{\dagger}(\phi)

로, 소멸 연산자는

a(\phi)

로 표시한다. 생성 연산자는 양자 상태

|\phi\rangle

를 곱하여 입자를 생성("추가")하고, 소멸 연산자는

\langle\phi|

와 내적을 취하여 입자를 소멸("제거")시킨다.

\langle\phi|

는

a^\dagger(\phi)

의 수반 연산자이다.

수 연산자는 특정 상태

|\phi_i\rangle

에 있는 입자 수를 나타내는데,

a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)

로 주어진다.

4. 파동 함수 표현

일반적으로 일 입자 공간 $H$ 는 제곱 적분 가능 함수 공간인 $L_2(X, \mu)$ 로 주어진다. 여기서 $X$ 는 측도 $\mu$ 를 갖는 공간이다. (엄밀히 말하면, 함수가 측도 0의 집합에서 다를 경우에 동일한 제곱 적분 가능 함수의 동치류이다.) 전형적인 예시는 3차원 공간에서 제곱 적분 가능 함수의 공간인 $H = L_2(\R^3, d^3x)$ 를 갖는 자유 입자이다. 포크 공간은 대칭 또는 반대칭 제곱 적분 가능 함수로 해석될 수 있다.

$X^0 = \{*\}$ , $X^1 = X$ , $X^2 = X\times X$ , $X^3 = X \times X \times X$ 등으로 놓는다.

상호소외 결합인 점들의 튜플 공간은 다음과 같다.

$X^* = X^0 \bigsqcup X^1 \bigsqcup X^2 \bigsqcup X^3 \bigsqcup \cdots .$

$\mu^*(X^0) = 1$ 이고 $\mu^*$ 의 $X^n$ 으로의 제한이 $\mu^n$ 이 되도록 하는 자연스러운 측도 $\mu^*$ 를 갖는다.

그런 다음 짝수 포크 공간 $F_+(L_2(X,\mu))$ 는 $L_2(X^*, \mu^*)$ 에서 대칭 함수의 공간으로 식별될 수 있으며, 반면에 홀수 포크 공간 $F_-(L_2(X,\mu))$ 는 반대칭 함수의 공간으로 식별될 수 있다. 식별은 다음 등거리 사상으로부터 직접적으로 따라온다.

$L_2(X, \mu)^{\otimes n} \to L_2(X^n, \mu^n)$

$\psi_1(x)\otimes\cdots\otimes\psi_n(x) \mapsto \psi_1(x_1)\cdots \psi_n(x_n)$ .

파동 함수 $\psi_1 = \psi_1(x), \ldots , \psi_n = \psi_n(x)$ 가 주어지면, 슬레이터 행렬식

$\Psi(x_1, \ldots x_n) = \frac{1}{\sqrt{n!}} \begin{vmatrix}\psi_1(x_1) & \cdots & \psi_n(x_1) \\\vdots & \ddots & \vdots \\\psi_1(x_n) & \cdots & \psi_n(x_n) \\\end{vmatrix}$

은 $X^n$ 에 대한 반대칭 함수이다. 따라서 홀수 포크 공간의 $n$ 입자 구역의 요소로 자연스럽게 해석될 수 있다. 정규화는 함수 $\psi_1, \ldots, \psi_n$ 이 정규 직교일 경우 $\|\Psi\| = 1$ 이 되도록 선택된다. 행렬식을 퍼먼넌트로 대체하여 짝수 포크 공간의 $n$ 구역의 요소를 제공하는 유사한 "슬레이터 퍼먼넌트"가 있다.

5. 바르그만 표현

1입자 힐베르트 공간 $V\cong\mathbb C^n=\{(z^1,\dots,z^n)\}$ 이 1차원일 때, '''바르그만-포크 공간'''(Bargmann–Fock space^영어) $\mathcal F^2(V)$ 은 다음 성질을 만족시키는 함수 $f\colon V\to\mathbb C$ 들의 집합이다.

$f$ 는 정칙함수다. 즉, $\bar\partial_if=0\forall i=1,\dots, n$ 이다.
또한, 노름 $\Vert f\Vert^2=(1/\pi^n)\int_{\mathbb C^n}|f(\mathbf z)|^2\exp(-|\mathbf z|^2)\,d^n\mathbf z$ 이 유한하다.

이 공간에 다음과 같은 노름을 주어, 힐베르트 공간으로 만들 수 있다.

:

\langle f|g\rangle=(1/\pi^n)\int_V\bar f(\bar{\mathbf z})g(\mathbf z)\,d^n\mathbf z

이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

:

\langle f|\partial_ig\rangle=\langle z^if|g\rangle

또한,

:

[\partial_i,z^j]=\delta_i^j

이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.

이름	포크 공간	바르그만-포크 공간
진공	>0\rangle	1
생성 연산자	$a_i^\dagger$	$z^i$
파괴 연산자	$a_i$	$\partial_i$
다입자 상태	\left(\prod_{i=1}^n(a_i^\dagger)^{n_i}/\sqrt{n_i!}\right)>0\rangle	$\prod_{i=1}^nz_i^{n_i}/\sqrt{n_i!}$

만약 1입자 상태 $V$ 가 무한 차원 힐베르트 공간일 경우, $\mathcal F(\mathbb C^n)$ 들의 귀납적 극한을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.

바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만(Valentine Bargmann^de)이 1961년에 정의하였다.^[11]^[12]

6. 세갈-바그만 공간과의 관계

세갈-바그만 공간 $B_N$ 은 가우스 측도에 대해 제곱 적분 가능한 복소 정칙 함수들의 공간으로 정의된다.^[3]

: $\mathcal{F}^2\left(\Complex^N\right) = \left\{ f\colon\Complex^N\to\Complex \mid \Vert f\Vert_{\mathcal{F}^2(\Complex^N)} < \infty\right\},$

여기서

: $\Vert f\Vert_{\mathcal{F}^2(\Complex^N)} := \int_{\Complex^N}\vert f(\mathbf{z})\vert^2 e^{-\pi\vert \mathbf{z}\vert^2}\,d\mathbf{z}.$

이다. $B_\infty$ 는 $N \ge 0$ 에 대한 공간 $B_N$ 의 중첩 합집합으로 정의된다. 세갈^[4]과 바그만^[5]^[6]은 $B_\infty$ 가 보존적 포크 공간과 동형임을 보였다. 단항식

: $x_1^{n_1}...x_k^{n_k}$

는 포크 상태

: $|n_0,n_1,\ldots,n_k\rangle_\nu = |\psi_0\rangle^{n_0}|\psi_1\rangle^{n_1} \cdots |\psi_k\rangle^{n_k}.$

에 해당한다.

7. 하크 정리

하크 정리에 따르면, 포크 공간은 자유 입자만을 나타낼 수 있으며, 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다.^[9] 이는 독일의 루돌프 하크가 1955년에 지적하였다.^[10]

참조

_[1] 간행물 Konfigurationsraum und zweite Quantelung Springer Science and Business Media LLC
_[2] 서적 Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II Academic Press
_[3] 간행물 On a Hilbert space of analytic functions and associated integral transform I
_[4] 간행물 Mathematical problems of relativistic physics
_[5] 간행물 Remarks on a Hilbert space of analytic functions
_[6] 간행물 Representation of generalized annihilation and creation operators in Fock space http://www.emis.de/j[...] 2012-12-13
_[7] 서적 新版量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために― サイエンス社
_[8] 저널 Konfigurationsraum und zweite Quantelung 1932-09
_[9] 저널 Haag’s theorem and its implications for the foundations of quantum field theory http://philsci-archi[...] 2006-05
_[10] 저널 On quantum field theories http://www.sdu.dk/me[...] 2013-01-10
_[11] 저널 Remarks on a Hilbert space of analytic functions 1962-02-01
_[12] 저널 Representation of generalized annihilation and creation operators in Fock space http://www.emis.de/j[...] 1997

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