표본화 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
5. 앨리어싱
6. 다양한 신호의 표본화
7. 불균등 표본화 (Nonuniform sampling)
8. 추가 제약 조건 하의 나이퀴스트 속도 미만 표본화
9. 응용
10. 저항과 전압의 요동에 대한 나이퀴스트 정리
참조

1. 개요

표본화 정리는 연속 신호를 이산적인 값으로 변환하는 표본화 과정에 대한 기본 원리를 설명한다. 이 정리에 따르면, 원 신호의 최고 주파수의 두 배 이상으로 표본화하면 원 신호를 완벽하게 복원할 수 있다. 최소 표본화 주파수의 절반, 즉 최고 주파수를 나이퀴스트 주파수, 두 배를 나이퀴스트 속도라고 부른다. 표본화 주파수가 나이퀴스트 속도보다 낮으면 앨리어싱이 발생하여 신호가 왜곡된다. 섀넌과 나이퀴스트의 연구를 통해 발전되었으며, 이미지 처리, 디지털 신호 처리 등 다양한 분야에 적용된다. 또한 불균등 표본화와 압축 센싱과 같은 기술을 통해 나이퀴스트 속도 미만에서도 신호 복원이 가능하다.

2. 정의

표본화는 연속적인 신호를 일정한 시간 간격으로 측정하여 이산적인(불연속적인) 값으로 변환하는 과정이다. 섀넌의 정리에 따르면, 어떤 함수 x(t)가 B 헤르츠보다 높은 주파수를 포함하지 않는다면, 1/(2B)초 미만의 간격으로 떨어진 일련의 점에서의 값으로부터 완전히 결정될 수 있다.^[2]

쉽게 설명하면, 원래 신호에 포함된 가장 높은 주파수의 2배보다 큰 주파수로 표본화를 수행하면, 표본화된 데이터로부터 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있다는 것이다.

몇 가지 중요한 용어를 살펴보자.

나이퀴스트 주파수: 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있는 최소 표본화 주파수의 절반을 의미하며, 원래 신호에 포함된 최고 주파수와 같다.
나이퀴스트 속도: 원래 신호를 완벽하게 복원할 수 있는 최소 표본화 주파수를 의미하며, 원래 신호에 포함된 최고 주파수의 두 배이다.
앨리어싱: 표본화 주파수가 나이퀴스트 속도보다 낮을 때 발생하는 현상이다. 고주파 성분이 저주파 성분으로 왜곡되어 나타나기 때문에, 원래 신호를 정확하게 복원할 수 없게 된다.

표본화 정리는 디지털화된 이미지와 같이 공간과 같은 다른 도메인의 함수에도 적용할 수 있다.^[2] 다른 도메인의 경우 유일한 변화는 t, f_s 및 B에 귀속된 측정 단위이다.

기호 T = 1/f_s는 관례적으로 표본 사이의 간격을 나타내기 위해 사용되며, '표본 주기' 또는 '표본 추출 간격'이라고 불린다.^[3]

3. 역사

해리 나이퀴스트와 클로드 섀넌의 이름을 따서 명명되었다.

표본화 정리는 1928년 해리 나이퀴스트의 연구에서 그 내용이 암시되었는데,^[11] 그는 대역폭 $B$ 인 시스템을 통해 최대 $2B$ 개의 독립적인 펄스 샘플을 보낼 수 있음을 보였지만, 연속 신호의 표본화 및 재구성에 대한 문제는 명시적으로 고려하지 않았다. 거의 같은 시기에, 칼 큭뮐러도 비슷한 결과를 보였고,^[12] 대역 제한 필터의 sinc 함수 임펄스 응답을 그 적분인 계단 응답 사인 적분을 통해 논의했다.

클로드 섀넌은 표본화 정리, 본질적으로 나이퀴스트 결과의 쌍대를 증명하였다.^[2] 1948년과 1949년에 클로드 E. 섀넌은 정보 이론을 창시한 두 편의 혁명적인 논문을 발표했다.^[15]^[16]^[2]

표본화 정리를 독립적으로 발견하거나 개발에 기여한 다른 사람들에 대해서는 제리와 뤼케의 역사적 논문에서 논의되었다.^[18]^[19] 예를 들어, 뤼케는 퀴프뮐러의 조수였던 H. 라아베가 1939년 박사 학위 논문에서 이 정리를 증명했다고 지적했다. 메이저링은 여러 다른 발견자들과 이름을 단락과 두 개의 각주에서 언급한다.

러시아 문헌에서는 1933년에 이 정리를 발견한 블라디미르 코텔니코프의 이름을 따서 코텔니코프 정리라고 알려져 있다.^[21]

표본화 정리는 해리 나이퀴스트가 1928년에 예측했으며, 1949년 클로드 섀넌의 증명이 유명하다. 따라서 '''섀넌의 표본화 정리'''나 '''나이퀴스트-섀넌의 표본화 정리'''라고 불리는 경우가 많다.

그러나 그 후의 연구에서 섀넌과는 별개로 표본화 정리를 증명한 인물이 잇따라 발견되었다. 소련의 블라디미르 코텔니코프 (1935년), 독일의 H.P. 라베 (1938년), 일본의 소메야 이사오 (1949년)의 논문이 발견되어, 각각 표본화 정리를 증명한 수학자로서 언급되었다.

또한, 표본화 정리의 전개식과 같은 것을 보간법 공식으로 영국의 에드먼드 테일러 휘태커가 1915년에 증명했다. 2011년에는 휘태커의 증명 방법에서 일본의 오구라 가네노스케의 논문 (1920년)이 세계 최초의 표본화 정리 증명이라고 부처 등에 의해 발표되었다.

4. 증명

푸리에 급수 및 푸리에 변환을 사용하면 표본화 정리를 증명할 수 있다.

이상적인 표본화는 디랙 콤 함수(Dirac comb function)를 사용하여 표현할 수 있다. 입력 신호에 디랙 콤 함수를 곱하면, 표본화된 신호를 얻을 수 있다. 표본화된 신호의 푸리에 변환은, 원 신호의 푸리에 변환을 주기적으로 반복시킨 형태가 된다. 나이퀴스트 속도 이상으로 표본화하면, 반복되는 스펙트럼 사이에 겹침이 발생하지 않아, 로우패스 필터(low-pass filter)를 사용하여 원 신호를 완벽하게 복원할 수 있다.^[2]

표본화 정리는 푸리에 급수를 사용하면 간단하게 증명할 수 있다.

이상적인 표본화 펄스 열 ''s(t)''는 ''T''를 샘플링 주기, 델타 함수 $\delta(t)$ 를 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

: $s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)$

표본화 입력 신호를 ''g(t)''라고 하면, 출력 신호 ''p(t)''는 다음과 같다.

: $p(t) = g(t)s(t)$

따라서,

: $p(t) = g(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g(nT)\delta(t-nT)$

가 되어, ''g(nT)''의 계열이 된다.

여기서, 출력 신호 ''p(t)''의 주파수 성분을 계산하기 위해 ''s(t)''를 푸리에 급수 전개하면 다음과 같다.

: $s(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{jn\omega_0 t}$

단, $\omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T}$ 이다.

취급을 용이하게 하기 위해 입력 신호 ''g(t)''는 진폭 ''A'', 주파수 $f_a = \frac{\omega_a}{2\pi}$ 의 단일 정현파로 다음과 같이 둔다.

: $g(t) = A\cos(\omega_a t + \theta_a)=\frac{A}{2}e^{j(\omega_a t + \theta_a)} + \frac{A}{2}e^{-j(\omega_a t + \theta_a)}$

이에 대한 출력 신호 ''p(t)''는, 위의 식에서 다음과 같다.

: $p(t) = \frac{A}{2T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\{(n\omega_0+\omega_a)t+\theta_a\}} + \frac{A}{2T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\{(n\omega_0-\omega_a)t-\theta_a\}}$

이 식으로부터 주파수 스펙트럼의 그림을 그려 검토하면 증명이 가능하다.

5. 앨리어싱

표본화 주파수가 나이퀴스트 주파수보다 낮을 때 앨리어싱 현상이 발생한다. 앨리어싱은 고주파 성분이 저주파 성분으로 나타나는 왜곡을 일으킨다. 앨리어싱은 원 신호의 정보를 손실시키므로, 표본화 정리를 적용할 때 반드시 피해야 한다.

복잡한 무늬에서 동심원 모양으로 간섭이 일어나거나, 경계선이 흐릿하게 뭉개지는 경우가 앨리어싱의 예시이다.

$X(f)$ (상단 파란색)과 $X_A(f)$ (하단 파란색)는 두 개의 다른 함수인 $x(t)$ 와 $x_A(t)$ (표시되지 않음)의 연속 푸리에 변환이다. 함수가 $f_s$ 의 속도로 샘플링될 때, 시퀀스의 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)을 검사할 때 이미지(녹색)가 원래 변환(파란색)에 추가된다. 이 가상 예에서 DTFT는 동일하며, 이는 샘플링된 시퀀스가 동일함을 의미한다. 비록 원래의 연속 사전 샘플링 함수는 그렇지 않더라도 말이다. 이것들이 오디오 신호라면, $x(t)$ 와 $x_A(t)$ 는 동일하게 들리지 않을 수 있다. 그러나 샘플(속도 $f_s$ 로 취함)은 동일하며 동일한 재생된 소리로 이어진다. 따라서 $x_A(t)$ 는 이 샘플 속도에서 $x(t)$ 의 에일리어스이다.

f_s/2

보다 높은 모든 주파수 성분은 복사본 중 하나와 관련된 더 낮은 주파수 성분인 '에일리어스'와 구별할 수 없다. 이러한 경우 일반적인 보간 기술은 원래 성분 대신 에일리어스를 생성한다.

표본화 주파수가

2f_{max}

이하일 경우, 원 신호에는 없는 가짜 주파수

f_\mathrm{sampling} - f_\mathrm{max}

가 에일리어스 신호로 복원 신호에 나타난다. 따라서 연속 신호의 표본화에서는 나이퀴스트 주파수

2f_{max}

'''보다 높은''' 주파수로 표본화해야 한다.

샘플 속도가 미리 결정된 경우, 안티 에일리어싱 필터라고 불리는 로우패스 필터를 사용하여 높은 주파수를 허용 가능한 수준으로 줄일 수 있다.

6. 다양한 신호의 표본화

Non-baseband signals^영어(비기저대역 신호)의 경우, 기저대역(0 Hz 근처)에 주파수 성분이 집중되지 않더라도, 주파수 대역폭의 2배 이상의 표본화 주파수를 사용하면 표본화 정리가 적용된다.^[2] 예를 들어, 100–102 MHz 주파수 범위의 FM 라디오 신호는 204 MHz (최고 주파수의 두 배)가 아닌 4 MHz (주파수 간격의 폭의 두 배)로도 충분히 샘플링할 수 있다.

임계 주파수에서 일련의 사인파. 모두 +1과 –1을 번갈아 샘플 시퀀스가 동일하다. 즉, 주파수가 샘플링 속도의 절반보다 높지 않더라도 모두 서로의 에일리어스이다.

표본화 정리는 시간뿐만 아니라 공간 영역의 신호, 예를 들어 이미지에도 적용될 수 있다. 흑백 이미지는 행과 열의 표본 위치 교차점에 위치한 픽셀(화소)의 상대적 강도를 나타내는 2차원 배열로 표현될 수 있다. 컬러 이미지는 빨강, 녹색, 파랑(RGB) 등 세 가지 기본 색상 각각을 나타내는 세 개의 개별 흑백 이미지의 합성으로 구성된다. 이미지의 경우, 가로 및 세로 방향 각각에 대해 나이퀴스트 속도를 고려해야 한다.

1차원 이산 시간 신호와 유사하게 이미지는 표본 추출 해상도 또는 픽셀 밀도가 부적절할 경우 에일리어싱의 영향을 받을 수 있다. 예를 들어, 고주파수 줄무늬 셔츠의 디지털 사진을 찍으면 카메라의 이미지 센서로 샘플링될 때 셔츠의 에일리어싱이 발생하여 모아레 패턴으로 나타날 수 있다.

7. 불균등 표본화 (Nonuniform sampling)

섀넌의 표본화 정리는 시간상에서 균등하게 샘플링하지 않는, 즉 불균등 표본화의 경우로 일반화할 수 있다. 불균등 표본화를 위한 섀넌 표본화 정리는 평균 표본화율이 나이퀴스트 조건을 만족하면 대역 제한 신호를 표본으로부터 완벽하게 재구성할 수 있다고 명시한다.^[5] 따라서 균등하게 간격을 둔 표본은 더 쉬운 재구성 알고리즘을 만들 수 있지만, 완벽한 재구성을 위한 필요 조건은 아니다.

비베이스밴드 및 불균등 표본에 대한 일반적인 이론은 1967년 헨리 란다우에 의해 개발되었다.^[6] 그는 신호 스펙트럼의 어느 부분이 점유되었는지 사전에 알고 있다고 가정할 때, 평균 표본화율(균등 또는 기타)이 신호의 "점유된" 대역폭의 두 배가 되어야 함을 증명했다.

1990년대 후반에 이 연구는 점유된 대역폭의 양은 알려져 있지만 스펙트럼의 실제 점유 부분은 알려지지 않은 신호를 포함하도록 부분적으로 확장되었다.^[7] 2000년대에는 압축 센싱을 사용하여 완전한 이론이 개발되었다. 특히, 신호 처리 언어를 사용하는 이 이론은 Mishali와 Eldar의 2009년 논문에 설명되어 있다.^[8] 그들은 주파수 위치가 알려지지 않은 경우, 최소한 나이퀴스트 기준의 두 배로 샘플링해야 함을 보여준다. 즉, 스펙트럼 위치를 알지 못하는 대가로 최소 2배의 요소를 지불해야 한다. 최소 표본화 요구 사항이 반드시 안정성을 보장하는 것은 아니라는 점에 유의해야 한다.

8. 추가 제약 조건 하의 나이퀴스트 속도 미만 표본화

나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리는 대역 제한 신호의 표본화와 재구성을 위한 충분 조건을 제공한다. 휘태커-섀넌 보간 공식을 통해 재구성이 수행될 때, 나이퀴스트 기준은 에일리어싱을 피하기 위한 필요 조건이기도 하다. 즉, 샘플이 대역 제한의 두 배보다 느린 속도로 채취되면 일부 신호는 올바르게 재구성되지 않는다. 그러나 신호에 추가적인 제한이 가해지면 나이퀴스트 기준은 더 이상 필요 조건이 아닐 수 있다.

신호에 대한 추가 가정을 활용하는 중요한 예는 최근의 압축 센싱 분야에서 제공되며, 이는 나이퀴스트 속도 이하의 표본화 속도로도 완전한 재구성을 허용한다. 특히, 이는 어떤 도메인에서 희소(또는 압축 가능)한 신호에 적용된다. 예를 들어, 압축 센싱은 전체 대역폭이 낮을 수 있지만(예: "유효" 대역폭 EB^영어), 주파수 위치가 단일 대역에 모두 있는 것이 아니라 알려지지 않은 신호를 다룬다. 따라서 통과대역 기술이 적용되지 않는다. 즉, 주파수 스펙트럼은 희소하다. 전통적으로 필요한 샘플링 속도는 2B이다. 압축 센싱 기술을 사용하면 신호가 2EB보다 약간 낮은 속도로 샘플링된 경우 완벽하게 재구성할 수 있다. 이 접근 방식을 사용하면 재구성은 더 이상 공식으로 제공되지 않고, 대신 선형 최적화 프로그램의 해로 제공된다.

나이퀴스트 속도 이하의 샘플링이 최적인 또 다른 예는 샘플이 최적의 방식으로 양자화되는 추가 제약 조건 하에서 발생하며, 이는 샘플링과 최적의 손실 압축의 결합된 시스템에서와 같다.^[9] 이 설정은 샘플링과 양자화의 결합된 효과를 고려해야 하는 경우와 관련이 있으며, 랜덤 신호의 샘플링 및 양자화에서 얻을 수 있는 최소 재구성 오류에 대한 하한을 제공할 수 있다. 정지 가우시안 랜덤 신호의 경우, 이 하한은 일반적으로 나이퀴스트 속도 이하의 샘플링 속도에서 달성되므로, 최적의 양자화 하에서 이 신호 모델에 대해 나이퀴스트 속도 이하의 샘플링이 최적임을 나타낸다.^[10]

9. 응용

표본화 정리는 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 원 신호에 포함된 주파수가 최고 였을 경우, 보다 높은 주파수로 표본화하면, 로우패스 필터(하이컷 필터)로 고역 성분을 제거하여 원 신호를 완전히 복원할 수 있다. 이처럼 아날로그 신호를 디지털 신호로 변환하는 과정에는 표본화 외에도 양자화가 필요하다.

10. 저항과 전압의 요동에 대한 나이퀴스트 정리

저항 ${\displaystyle R}$과 전압의 요동 간의 비례 관계는 다음과 같다. 도체가 온도 ${\displaystyle T}$에 있을 때, 그 양단에는 전위차 ${\displaystyle V(t)}$가 발생한다. 이때 다음의 관계를 '''나이퀴스트 정리'''라고 한다.

:${\displaystyle \langle V(t)V(t')\rangle =2Rkt\delta (t-t')}$

이 관계식은 각진동수 ${\displaystyle \omega }$에 대한 전기 전도도 ${\displaystyle \sigma (\omega )}$가 ${\displaystyle \omega }$에 관계없이 ${\displaystyle \sigma (0)}$에 등치하는 영역에서 성립한다. 이는 일반적인 선형 응답 이론의 기초가 된다. 이것은 역사적으로 요동-산일 정리 발견의 한 예이다.^[28]

참조

_[1] arXiv Utilizing Bochners Theorem for Constrained Evaluation of Missing Fourier Data 2015
_[2] journal Communication in the presence of noise 1949-01
_[3] 서적 Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing https://books.google[...] Springer-Verlag 1975-07-10
_[4] 서적 Fourier Integrals for Practical Applications Bell Telephone System Laboratories 1942
_[5] 서적 Nonuniform Sampling, Theory and Practice Kluwer Academic/Plenum Publishers 2000
_[6] journal Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions
_[7] thesis Universal minimum-rate sampling and spectrum-blind reconstruction for multiband signals
_[8] journal Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals 2009-03
_[9] journal Distortion rate function of sub-Nyquist sampled Gaussian sources 2016-01
_[10] journal Analog-to-Digital Compression: A New Paradigm for Converting Signals to Bits 2018-04-26
_[11] journal Certain topics in telegraph transmission theory 1928-04
_[12] journal Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler
_[13] journal On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory https://zenodo.org/r[...] 1915
_[14] 서적 Interpolatory Function Theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1935
_[15] journal A Mathematical Theory of Communication 1948-07
_[16] journal A Mathematical Theory of Communication 1948-10
_[17] conference Some Historic Remarks On Sampling Theorem https://sites.bu.edu[...] 2006-09
_[18] journal The Shannon Sampling Theorem—Its Various Extensions and Applications: A Tutorial Review 1977-11
_[19] journal The Origins of the Sampling Theorem http://www.hit.bme.h[...] 1999-04
_[20] journal A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing http://bigwww.epfl.c[...] 2002-03
_[21] 간행물 On the transmission capacity of "ether" and wire in electrocommunications Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA 1933
_[22] 서적 Transmission Systems for Communications AT&T
_[23] 서적 Theory of Linear Physical Systems https://books.google[...] Wiley
_[24] 서적 Theory of Signal Detectability: Composite Deferred Decision Theory
_[25] journal Applied Electronics: A First Course in Electronics, Electron Tubes, and Associated Circuits
_[26] journal The measurement of power spectra from the point of view of communications engineering. I
_[27] 서적 Modulation Theory
_[28] 문서 『物理学辞典』培風館 1984

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