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프로베니우스 대수

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목차

1. 개요

프로베니우스 대수는 체 K 위의 유한 차원 결합 대수 A가 왼쪽 및 오른쪽 가군 동형 조건을 만족하는 경우를 의미한다. 프로베니우스 대수는 비퇴화 쌍선형 형식을 가지며, 이를 프로베니우스 형식이라고 한다. 대칭 프로베니우스 대수, 가환 프로베니우스 대수, 프로베니우스 대상 등의 개념이 파생된다. 프로베니우스 대수는 유한 차원 호프 대수, 군환, 행렬환 등 다양한 예시를 가지며, 2차원 위상 양자장론과 밀접한 관련이 있다. 프로베니우스 대수는 1937년 리하르트 브라우어와 세실 네스빗에 의해 도입되었으며, 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 명명되었다.

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프로베니우스 대수
개요
분야수학, 대수학
하위 분야환 이론, 표현론, 호몰로지 대수학
명명 유래게오르크 페르디난트 프로베니우스
관련 항목대수, 모듈, 쌍선형 형식
정의
정의가환환 $R$ 위의 결합 대수 $A$
조건$A$가 유한 생성 자유 $R$-모듈
$R$-선형 사상 $psilon: A o R$ 존재
$A imes A o R$가 비퇴화 쌍선형 형식인 $R$-쌍선형 사상 $ = psilon(ab)$를 가짐
참고위 조건들을 만족하는 대수 $A$를 프로베니우스 대수라고 함.
$psilon$을 프로베니우스 대수의 프로베니우스 형태라고 함.
성질
자기 주입적프로베니우스 대수는 자기 주입적이다.
유사 프로베니우스 대수프로베니우스 대수의 정의에서 $A$가 유한 생성 자유 $R$-모듈이라는 조건을 약화시킨 것을 유사 프로베니우스 대수라고 한다.
예시
군환유한군 $G$에 대한 군환 $R[G]$는 프로베니우스 대수이다.
행렬환가환환 $R$ 위의 $n imes n$ 행렬환 $M_n(R)$은 프로베니우스 대수이다.
호프 대수유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.
블록 대수유한군의 블록 대수는 프로베니우스 대수이다.

2. 정의

체 K 위의 유한 차원 결합 대수 A가 다음 조건들을 만족하면 '''프로베니우스 대수'''라고 한다.


  • A-왼쪽 가군의 동형 _AA \cong {}_AA^\vee이 존재한다.
  • A-오른쪽 가군의 동형 A_A \cong {A^\vee}_A이 존재한다.


이는 스스로 위의 쌍가군 _AA_A을 이루며, 그 쌍대 가군

:A^\vee = \hom_K(A,K)

역시 스스로 위의 쌍가군 _A{A^\vee}_A을 이룬다. 구체적으로,

:a\cdot \phi \cdot b \colon x \mapsto \phi(bxa)

이다.

이러한 동형이 존재할 필요 조건은 A가 유한 차원 K-벡터 공간인 것이다.

프로베니우스 대수 (A,\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee)가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다.

:\langle a,b\rangle = \lambda(1)(ab)

를 정의하면,

:\langle ac,b\rangle = \lambda(1)(acb) = \langle a,cb\rangle

이 성립한다. \lambda가 벡터 공간의 동형이므로, \langle-,-\rangle는 비퇴화 쌍선형 형식이며, 이를 '''프로베니우스 형식'''이라고 한다.

또한, '''대각합'''

:\operatorname{tr} \colon A \to k

:\operatorname{tr}\colon a \mapsto \lambda(1)(a)

을 정의할 수 있다.

체 ''k'' 위의 유한 차원 단위적 결합 대수가 주입 오른쪽 가군이 오른쪽 정칙 표현과 동형이라는 조건이 만족되면, 비퇴화 쌍선형 형식

:

를 만족하는 것이 존재한다는 것과 동치이다.

2. 1. 대칭 프로베니우스 대수

\operatorname{tr}(ab) = \operatorname{tr}(ba) 또는 \lambda(ab) = \lambda(ba)를 만족하는 프로베니우스 대수를 대칭 프로베니우스 대수(symmetric Frobenius algebra영어)라고 한다. 벡터 공간의 대칭 대수와는 다른 개념이다.

2. 2. 가환 프로베니우스 대수

가환환인 프로베니우스 대수를 '''가환 프로베니우스 대수'''(commutative Frobenius algebra영어)라고 한다.

2. 3. 프로베니우스 대상

모노이드 범주 (\mathcal C, \otimes,1)가 주어졌을 때, 그 반대 범주 (\mathcal C^{\operatorname{op}}, \otimes,1) 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다.

\mathcal C 속의 '''프로베니우스 대상'''(Frobenius object영어)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 모노이드 대상 (A,\mu\colon A\otimes A\to1,\eta\colon 1\to A)
  • 쌍대 모노이드 대상 (즉, \mathcal C^{\operatorname{op}}의 모노이드 대상) (A,\delta\colon A\to A\otimes A,\eta\colon A\to1)

이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.

:\begin{matrix}

& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\

&{\!\!\!\!^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\color{White}^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!\!\!\!\!} & & {\color{White}\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!}\searrow{\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!} \\

A^{\otimes2} \!\!\!\!& \!\!\!\!\underset\mu\to \!\!\!\!& \!\!\!\!A\!\!\!\! & \!\!\!\!\underset\delta\to\!\!\!\!& \!\!\!\!A^{\otimes2} \\

& {\!\!\!\!_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!}\searrow {\color{White}_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!\!\!\!\!}& & {\color{White}\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!} \\

& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\

\end{matrix}

(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등은 생략하였다.)

프로베니우스 대상은 범주론에서 프로베니우스 대수의 추상적인 정의이다. 모노이드 범주 (C,\otimes,I)에서 프로베니우스 대상 (A,\mu,\eta,\delta,\varepsilon)는 ''C''의 대상 ''A''와 다음과 같은 네 개의 사상으로 구성된다.

:\mu:A\otimes A\to A,\qquad \eta:I\to A,\qquad\delta:A\to A\otimes A\qquad\mathrm{and}\qquad\varepsilon:A\to I

이때 다음 조건을 만족한다.

  • (A,\mu,\eta)\,는 ''C''에서 모노이드 대상이다.
  • (A,\delta,\varepsilon)는 ''C''에서 코모노이드 대상이다.
  • 다음 그림


가 가환하며 (편의상 그림은 모노이드 범주 ''C''가 엄격한 경우에 주어진다) '''프로베니우스 조건'''이라고 한다.[5]

더 간결하게 말하면, '''C'''에서의 프로베니우스 대수는 이른바 프로베니우스 모노이드 함자 A:'''1''' → '''C'''인데, 여기서 '''1'''은 하나의 대상과 하나의 화살표로 구성된 범주이다.

프로베니우스 대수는 \mu\circ\delta = \mathrm{Id}_A일 때 '''등거리''' 또는 '''특수'''라고 한다.

3. 나카야마 자기 동형 사상

프로베니우스 대수 ''A''와 프로베니우스 형식 ''σ''에 대해, ''σ''(''a'', ''b'') = ''σ''(''ν''(''b''), ''a'')를 만족하는 ''A''의 자기 동형 사상 ''ν''를 Nakayama automorphism|나카야마 자기 동형 사상영어이라고 한다.

4. 성질


  • 프로베니우스 대수의 직접곱과 텐서 곱은 프로베니우스 대수이다.
  • 체 위의 유한 차원 가환 국소 대수는 오른쪽 정규 가군이 단사이면, 즉 대수가 유일한 극소 아이디얼을 가지는 경우에만 프로베니우스 대수이다.
  • 가환 국소 프로베니우스 대수는 정확히 0차원 국소 고렌스타인 환으로서, 그들의 잉여류체를 포함하고, 유한 차원인 경우이다.
  • 프로베니우스 대수는 준 프로베니우스 환이며, 특히 왼쪽 및 오른쪽 아르틴 환이고 왼쪽 및 오른쪽 자기 단사 환이다.
  • 체 ''k''에 대해, 유한 차원, 유니탈, 결합 대수는 단사 오른쪽 ''A''-가군 Hom''k''(''A'',''k'')이 ''A''의 오른쪽 정규 표현과 동형인 경우에만 프로베니우스 대수이다.
  • 무한 체 ''k''에 대해, 유한 차원, 유니탈, 결합 ''k''-대수는 유한 개의 극소 오른쪽 아이디얼만 있는 경우 프로베니우스 대수이다.
  • 만약 ''F''가 ''k''의 유한 차원 확대 체이면, 유한 차원 ''F''-대수는 스칼라의 제한을 통해 자연스럽게 유한 차원 ''k''-대수가 되며, 프로베니우스 ''F''-대수인 것은 프로베니우스 ''k''-대수인 경우에만 해당한다. 즉, 대수가 유한 차원 대수로 유지되는 한, 프로베니우스 속성은 체에 의존하지 않는다.
  • 마찬가지로, 만약 ''F''가 ''k''의 유한 차원 확대 체이면, 모든 ''k''-대수 ''A''는 자연스럽게 ''F'' 대수 ''F'' ⊗''k'' ''A''를 생성하며, ''A''가 프로베니우스 ''k''-대수인 것은 ''F'' ⊗''k'' ''A''가 프로베니우스 ''F''-대수인 경우에만 해당한다.
  • 오른쪽 정규 표현이 단사인 유한 차원, 유니탈, 결합 대수 중에서, 프로베니우스 대수 ''A''는 정확히 그들의 단순 가군 ''M''이 ''A''-쌍대, Hom''A''(''M'',''A'')와 같은 차원을 갖는 경우이다. 이러한 대수 중에서 단순 가군의 ''A''-쌍대는 항상 단순하다.
  • 유한 차원 ''이중 프로베니우스 대수'' 또는 ''엄격한 이중 프로베니우스 대수''는 유니탈 프로베니우스 대수 (''A'', • , 1)와 (''A'', \star , \iota)로서 두 개의 곱셈 구조를 가진 ''k''-벡터 공간 ''A''이다. 곱셈 준동형 사상 \phi와 \varepsilon가 ''A''에서 ''k''로 존재하여 \phi(a\cdot b)와 \varepsilon(a\star b)가 비퇴화적이며, 두 구조 모두에 대한 반자기 동형 사상인 ''A''에서 자체로의 ''k''-동형 사상 ''S''가 존재하여 \phi(a\cdot b) = \varepsilon(S(a)\star b).가 성립해야 한다. 이것은 정확히 ''A''가 ''k'' 위의 유한 차원 호프 대수이고 ''S''가 그 안티포드인 경우이다. 유한군의 군대수는 예시를 제공한다.[1][2][3][4]

5. 예


  • 체 K 위의 행렬환 \operatorname{Mat}(n;K)은 프로베니우스 형식 \langle a,b\rangle = \operatorname{tr}(ab)를 가지는 프로베니우스 대수이다. 여기서 tr은 대각합을 나타낸다.
  • 모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.
  • 유한군 G의 군환 K[G]는 프로베니우스 형식 \langle a,b\rangle = \operatorname{proj}_{K1_G} (ab)를 가지는 프로베니우스 대수이다. 여기서 \operatorname{proj}_{K1_G} \colon K[G] \to K는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다.
  • 유한군 G의 유리수 계수 유니터리 표현환 A = \operatorname{RU}(G) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q는 프로베니우스 형식 \langle \rho,\rho'\rangle = \operatorname{proj}_1 \rho\otimes \rho'를 가지는 프로베니우스 대수이다. 여기서 \operatorname{proj}_1 \colon A\to \mathbb Q는 자명한 표현으로의 사영 사상이다.
  • 체 ''k''에 대해, 4차원 ''k''-대수 ''k''[''x'',''y'']/ (''x''2, ''y''2)는 프로베니우스 대수이다.
  • 체 ''k''에 대해, 3차원 ''k''-대수 ''A''=''k''[''x'',''y'']/ (''x'', ''y'')2는 프로베니우스 대수가 '''아니다'''.

6. 위상 양자장론과의 관계

2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.[8][9] 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

기호가환 프로베니우스 대수2차원 위상 양자장론
V프로베니우스 대수원 S^1의 힐베르트 공간 E(S^1)
\langle\cdot,\cdot\rangle프로베니우스 형식힐베르트 공간의 내적
\cdot\colon V\times V\to V곱셈바지 곡면(:en:pair of pants (mathematics))의 분배 함수
1\in V곱셈의 단위원원판의 분배 함수 Z(D^2)\in E(\partial D^2)=E(S^1)



프로베니우스 대수에서의 곱과 코곱은 (1+1)차원 위상 양자장론의 바지에 적용된 펀터로 해석될 수 있다.


가환 프로베니우스 대수는 (동형 사상까지) (1+1)차원 TQFT를 고유하게 결정한다. 보다 정확하게는, 가환 프로베니우스 K-대수의 범주는 2-\textbf{Cob}(1차원 다양체 사이의 2차원 코보디즘의 범주)에서 \textbf{Vect}_K(K 위의 벡터 공간의 범주)로의 대칭 강한 모노이드 펀터의 범주와 동치이다.

TQFT와 프로베니우스 대수 사이의 대응 관계는 다음과 같다.

  • 1차원 다양체는 원의 분리된 합집합이다. TQFT는 원에 벡터 공간을, 원의 분리된 합집합에 벡터 공간의 텐서 곱을 연결한다.
  • TQFT는 다양체 사이의 각 코보디즘에 (함수적으로) 벡터 공간 사이의 사상을 연결한다.
  • 바지 (1개의 원과 2개의 원 사이의 코보디즘)에 연결된 사상은 경계 성분이 어떻게 그룹화되는지에 따라 곱 사상 V \otimes V \to V 또는 코곱 사상 V \to V \otimes V를 제공하며, 이는 가환 또는 코가환이다.
  • 디스크와 관련된 사상은 경계의 그룹화에 따라 코단위(트레이스) 또는 단위(스칼라)를 제공한다.


프로베니우스 대수와 (1+1)차원 TQFT 사이의 이러한 관계는 호바노프의 존스 다항식의 범주화를 설명하는 데 사용될 수 있다.[6][7]

7. 역사 및 어원

리하르트 브라우어와 세실 네스빗(Cecil J. Nesbitt영어)이 1937년에 프로베니우스 대수를 도입하였고,[10] 이 대수는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 따서 지어졌다.

참조

[1] 논문 Group-like algebras and Hadamard matrices
[2] 논문 On algebras with two multiplications, including Hopf algebras and Bose-Mesner algebras https://core.ac.uk/d[...]
[3] 논문 Double Frobenius algebras
[4] 서적 New trends in Hopf algebra theory (La Falda, 1999) American Mathematical Society
[5] 간행물 Monoidal computer I: Basic computability by string diagrams
[6] 간행물 Khovanov's homology for tangles and cobordisms
[7] 간행물 Five Lectures on Khovanov Homology
[8] 저널 Geometry of 2d topological field theories 1994
[9] 저널 Les Houches lectures on fields, strings and duality
[10] 저널 On the regular representations of algebras


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