할선

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1. 개요
2. 원의 할선
3. 곡선의 할선
- 3.1. 할선과 접선
- 3.2. 국소적 성질과 전역적 성질
4. 집합과 n-할선
- 4.1. 이산 기하학과 결합 기하학에서의 응용
5. 할선의 응용
- 5.1. 유클리드 원론과의 관계
- 5.2. 다양한 비례 관계
참조

1. 개요

할선은 원 또는 곡선과 두 개 이상의 점에서 교차하는 직선을 의미한다. 원의 경우, 할선은 원의 서로 다른 두 점을 지나는 직선이며, 모든 현은 유일한 할선에 포함된다. 곡선의 경우, 할선은 곡선과 두 개 이상의 점에서 교차하는 직선으로 정의되며, 접선을 근사하는 데 사용될 수 있다. 할선의 개념은 유클리드 공간뿐만 아니라 더 일반적인 기하학적 환경으로 확장되어 n-할선으로 정의될 수 있으며, 이산 기하학과 결합 기하학에서 중요한 개념으로 사용된다. 할선은 원과 접선의 관계, 유클리드 원론과의 관계, 다양한 비례 관계를 통해 응용된다.

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할선
정의
설명	평면에서 주어진 곡선과 둘 이상의 점에서 교차하는 직선
특징
관련 개념	접선 (할선의 극한)

2. 원의 할선

원에서 할선은 원과 두 점에서 만나는 직선을 의미한다. 현은 이 할선의 일부로, 원 내부의 두 점을 연결하는 선분이다.^[1]

유클리드 원론 제2권 법칙6에 따르면, 원의 할선과 접선은 반지름에 의해 다음과 같은 비례 관계를 갖는다.

임의의 선분

\overline {AB}

을 이등분하는 점

C

를 가정하고,^[16]

즉, $\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \overline {CD}^2-\overline {CB}^2$ 이고, $\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2= \overline {CD}^2$ 이다.

피타고라스의 정리에서 $\overline {CT}^2 + \overline {DT}^2= \overline {CD}^2$ 일 때, $\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2= \overline {CT}^2 + \overline {DT}^2$ 이다. 따라서 $\overline {CB}^2= \overline {CT}^2$ 이므로, $\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \overline {DT}^2$ 이다.

2. 1. 할선과 현

직선은 원과 0개, 1개 또는 2개의 점에서 교차할 수 있다. 두 점에서 교차하는 선을 '''할선'''이라 하고, 한 점에서 교차하는 선을 접선, 교차점이 없는 선을 '''외선'''이라고 한다. '''현'''은 원의 서로 다른 두 점을 잇는 선분이다. 따라서 현은 고유한 할선에 포함되며, 각 할선은 고유한 현을 결정한다.^[4]

어떤 상황에서는 현 대신 할선으로 결과를 표현하면 진술을 통일하는 데 도움이 될 수 있다. 다음은 그 예시이다.^[5]

: 두 할선이 원 안에 현 와 를 포함하고, 원 위에 있지 않은 점 에서 교차하면, 선분 길이는 를 만족한다.

점 가 원 안에 있으면 이것은 유클리드 원론 III.35이지만, 점이 원 밖에 있으면 그 결과는 원론에 포함되어 있지 않다. 그러나 로버트 심슨은 크리스토퍼 클라비우스를 따라 유클리드에 대한 해설에서 이 결과, 때로는 할선 교차 정리라고 불리는 이 결과를 증명했다.^[6]

2. 2. 기본 원형 연속성 정리

유클리드가 원론에서 명시하지 않았지만, 현대 기하학에서는 원과 직선의 교점에 대한 엄밀한 증명을 제공한다. 예를 들어, 원 내부의 점과 외부의 점을 지나는 직선은 반드시 원과 두 점에서 만난다(즉, 할선이다)는 정리가 있다.^[4]^[11]

2. 3. 할선 교차 정리

두 할선이 원 안에 현 와 를 포함하고, 원 위에 있지 않은 점 에서 교차하면, 선분 길이는 를 만족한다.^[5] 점 가 원 안에 있으면 이것은 유클리드의 원론 III.35이지만, 점이 원 밖에 있으면 그 결과는 원론에 포함되어 있지 않다. 그러나 로버트 심슨은 크리스토퍼 클라비우스를 따라 유클리드에 대한 해설에서 이 결과, 때로는 할선 교차 정리라고 불리는 이 결과를 증명했다.^[6]

3. 곡선의 할선

원뿐만 아니라 일반적인 곡선에서도 할선을 정의할 수 있다. 곡선의 할선은 곡선과 두 개 이상의 서로 다른 점에서 만나는 직선이다. 곡선의 할선은 원의 할선만큼 단순하지 않으며, 서로 다른 두 점에서 곡선과 교차하는 직선은 추가적으로 다른 점에서도 해당 곡선과 교차할 수 있기 때문에 더욱 복잡하다.

3. 1. 할선과 접선

할선은 어떤 점에서 접선을 근사하는 데 사용될 수 있다. 곡선 위의 두 점 P와 Q로 할선을 정의할 때, P는 고정하고 Q는 움직인다고 가정한다. Q가 곡선을 따라 P에 접근할 때, 할선의 기울기가 극한값에 가까워지면, 그 극한값은 P에서의 접선의 기울기를 정의한다.^[1] 할선 는 접선에 대한 근사값이다. 미분적분학에서 이 개념은 도함수의 기하학적 정의와 연결된다.

어떤 점 P에서의 접선은 P 외에 곡선과 적어도 한 점에서 만나는 경우, 그 곡선의 할선이 될 수 있다. 점 P에서의 접선은 P 근처의 곡선에만 의존하는 '국소적' 성질인 반면, 할선은 곡선을 만드는 함수 전체를 살펴봐야 하는 '전역적' 성질이다.

3. 2. 국소적 성질과 전역적 성질

곡선 위의 점 에서의 접선은 이외에 곡선과 적어도 한 점에서 만나는 경우 해당 곡선에 대한 할선일 수 있다.^[1] 이를 다른 방식으로 보면, 점 에서의 접선이 되는 것은 의 인접 영역 내의 곡선에만 의존하는 ''국소적'' 성질인 반면, 할선이 되는 것은 곡선을 생성하는 함수의 전체 영역을 검사해야 하므로 ''전역적'' 성질임을 알 수 있다.

4. 집합과 n-할선

할선의 개념은 유클리드 공간뿐만 아니라 더 일반적인 기하학적 환경으로 확장될 수 있다. 어떤 기하학적 환경에서 $k$개의 점으로 이루어진 유한 집합 $K$가 있을 때, 어떤 선이 $K$의 정확히 $n$개의 점을 포함하고 있다면, 그 선을 $n$-할선이라고 부른다.^[7] 예를 들어, $K$가 유클리드 평면상의 원에 배열된 50개의 점의 집합이라면, 그중 두 점을 잇는 선은 2-할선(또는 ''이할선'')이 되고, 그중 한 점만을 지나는 선은 1-할선(또는 ''단할선'')이 될 것이다. 이 예에서 단할선은 원의 접선일 필요는 없다.

4. 1. 이산 기하학과 결합 기하학에서의 응용

어떤 기하학적 환경에서 $K$를 $k$개의 점으로 이루어진 유한 집합이라고 할 때, 어떤 선이 $K$의 정확히 $n$개의 점을 포함하고 있다면, 그 선을 $n$-할선이라고 부른다.^[7] 이러한 용어는 사건 기하학과 이산 기하학에서 자주 사용된다.

예를 들어, 사건 기하학의 실베스터-갈라이 정리는 유클리드 기하학의 $n$개의 점이 모두 한 직선 위에 있지 않다면, 그 점들의 2-할선(두 점을 지나는 직선)이 반드시 존재해야 함을 보장한다. 그리고 이산 기하학의 원래 과수원 심기 문제는 유한 점 집합의 3-할선(세 점을 지나는 직선)의 수에 대한 상한을 구하는 문제였다.

각 선이 집합과 유한 개의 점으로만 교차할 수 있는 한, 점 집합의 유한성은 이 정의에 필수적이지 않다.

5. 할선의 응용

할선은 원과 관련된 여러 성질, 특히 비례 관계를 설명하는 데 사용된다. 유클리드 기하학에서는 이러한 할선의 성질이 중요하게 다루어진다.

직선은 원과 두 점에서 만나거나(할선), 한 점에서 만나거나(접선), 만나지 않을 수 있다. 현은 원의 두 점을 잇는 선분으로, 할선에 의해 결정된다.

현대 평면 기하학에서는 유클리드가 언급 없이 가정했던 결과들을 엄밀하게 증명한다. 예를 들어, 원 ''C''와 직선 ''l''이 주어졌을 때, ''l''이 ''C'' 내부의 점 A와 외부의 점 B를 포함하면, ''l''은 ''C''의 할선이다.(기본 원형 연속성)^[4]^[11]

할선은 현과 관련된 결과를 표현할 때 유용하다. 예를 들어, 두 할선이 원 안에 현 AB와 CD를 포함하고, 원 위에 있지 않은 점 P에서 교차하면, 선분 길이는 AP⋅PB = CP⋅PD를 만족한다.^[5] 점 P가 원 밖에 있는 경우, 이 결과는 로버트 심슨이 크리스토퍼 클라비우스를 따라 증명한 할선 정리로 알려져 있다.^[6]^[12]^[13]

thumb

5. 1. 유클리드 원론과의 관계

원에서 할선

\overline{AD}

와 접선

\overline{TD}

가 서로 연관될 때,^[15] 반지름

\overline{CT}

에 의해 다음과 같은 비례 관계를 갖는다. 유클리드 원론 제2권 법칙6에서, 임의의 선분

\overline {AB}

을 이등분하는 점

C

를 가정하고,^[16]

:

\overline {AD}= \overline {AC}+\overline {CD}= \overline {CD}+\overline {CB}

:

\overline {BD}= \qquad  \qquad  \qquad   \overline {CD}-\overline {CB}

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \left(\overline {CD}+\overline {CB} \right) \left(\overline {CD}-\overline {CB} \right)= \overline {CD}^2-\overline {CB}^2

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2=  \overline {CD}^2

이므로,

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \overline {CD}^2-\overline {CB}^2

이고,

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2= \overline {CD}^2

이고,

피타고라스의 정리에서,

\overline {CT}^2 + \overline {DT}^2= \overline {CD}^2

일때,

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2=  \overline {CT}^2 + \overline {DT}^2

이다.

따라서,

:

\overline {CB}^2=  \overline {CT}^2

이므로,

:

\overline {AD}\cdot\overline {BD}=  \overline {DT}^2

이다.

5. 2. 다양한 비례 관계

원에서 할선

\overline{AD}

와 접선

\overline{TD}

가 서로 연관될 때,^[15] 반지름

\overline{CT}

에 의해 다음과 같은 다양한 비례 관계를 갖게 된다.

:

\overline{AD} \cdot \overline{BD}

는 유클리드 원론 제2권 법칙6에서,

이므로,

: $\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \overline {CD}^2-\overline {CB}^2$ 이고,

: $\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2= \overline {CD}^2$ 이고,

:피타고라스의 정리에서, $\overline {CT}^2 + \overline {DT}^2= \overline {CD}^2$ 일 때,

: $\overline {AD}\cdot\overline {BD}+\overline {CB}^2= \overline {CT}^2 + \overline {DT}^2$ 이다.

따라서,

: $\overline {CB}^2= \overline {CT}^2$ 이므로,

: $\overline {AD}\cdot\overline {BD}= \overline {DT}^2$ 이다.

참조

_[1] 서적 Calculus with Analytic Geometry https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning
_[2] 서적 Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry https://books.google[...] Van Nostrand
_[3] 서적 Mathematics: From the Birth of Numbers https://books.google[...] W. W. Norton & Company
_[4] 서적 Foundations of Geometry Pearson/Prentice-Hall
_[5] 서적 Geometry W. H. Freeman & Co.
_[6] 서적 The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2) Dover
_[7] 서적 Projective Geometries over Finite Fields https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[8] 서적 Calculus with Analytic Geometry Jones & Bartlett Learning
_[9] 서적 Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry Van Nostrand
_[10] 서적 Mathematics: From the Birth of Numbers W. W. Norton & Company
_[11] 서적 Foundations of Geometry Pearson/Prentice-Hall
_[12] 서적 Geometry W. H. Freeman & Co.
_[13] 서적 The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2) Dover
_[14] 서적 Projective Geometries over Finite Fields Oxford University Press
_[15] 웹사이트 유클리드 기하학 원론 3권 법칙36 http://www.gutenberg[...] John Casey, 퍼블릭 도메인
_[16] 웹사이트 유클리드 기하학원론 2권 법칙5및6 http://www.gutenberg[...] John Casey, 퍼블릭 도메인

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