해석 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 해석 다양체
- 2.2. 해석 공간
3. 기본 성질
- 3.1. 차원
- 3.2. 접공간
4. 매끄러움
- 4.1. 환원성
- 4.2. 정규성
5. 코히어런트 층
6. 일반화
참조

1. 개요

해석 공간은 완비체 위의 정칙 함수를 사용하여 정의되는 국소환 달린 공간이다. 해석적 다양체는 해석 공간의 국소 모델이며, 해석 공간은 이러한 다양체와 동형인 열린 이웃을 갖는 공간으로 정의된다. 해석 공간은 스킴과 유사한 정의를 가지며, 국소 차원, 접선 공간, 매끄러움, 정규성 등의 기본 성질을 갖는다. 해석 공간의 구조층이 코히어런하면 코히어런하다고 하며, 부분해석 공간과 같은 일반화된 개념도 존재한다.

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해석 공간

2. 정의

'''해석 공간'''(analytic space^영어)은 대수기하학과 복소기하학에서 다루는 기하학적 대상의 한 종류이다. 이는 국소적으로 '''해석 다양체'''(analytic variety^영어)라고 불리는 기본적인 공간 조각들로 이루어진 구조를 가진다. 해석 다양체는 여러 해석 함수들의 공통 영점으로 정의되는 집합에 특정 수학적 구조(구조층)를 부여한 것이다.

해석 공간은 모든 점 $x$ 근방에서 어떤 해석 다양체와 국소환 달린 공간으로서 동형인 열린 근방을 갖는 특별한 종류의 국소환 달린 공간 $(X, \mathcal{O}_X)$ 으로 정의된다. 즉, 해석 공간은 국소적으로는 해석 다양체의 모습을 하고 있으며, 이러한 국소적 모델을 통해 전체 공간의 성질을 연구한다.

해석 공간의 정의는 대수기하학의 중심 대상인 스킴의 정의와 유사하다. 주된 차이점은 스킴이 국소적으로 환의 스펙트럼을 모델로 삼는 반면, 해석 공간은 해석 다양체를 국소 모델로 삼는다는 점이다. 이 유사성 때문에 두 대상의 기본적인 이론은 많은 부분을 공유한다. 하지만 해석 다양체는 스킴의 국소 모델보다 더 구체적인 구조(예: 체 위에서 정의되고 유한 차원)를 가지므로, 해석 공간은 체 위의 유한 타입 스킴과 비슷한 성질을 보이기도 한다.

2. 1. 해석 다양체

체

k

를 고정한다. 이 체는 평가에 대해 완비이며 이산적이지 않다고 가정한다. 예를 들어, 일반적인 절댓값을 갖는 실수('''R''')나 복소수('''C'''), 또는 자연스러운 평가를 갖는 퓌죄 계열 체가 이에 해당한다.

k^n

의 열린 집합

U

와

U

위의 해석 함수 모임

f_1, \dots, f_k

를 생각하자. 이 함수들의 공통 영점(zero locus) 집합, 즉

:

Z = \{ x \in U \mid f_1(x) = \dots = f_k(x) = 0 \}

으로 정의되는 집합

Z

를 '''해석 다양체'''(analytic variety^영어)라고 부른다.

U

위의 구조층을

\mathcal{O}_U

라고 할 때, 해석 다양체

Z

는

\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_U / \mathcal{I}_Z

라는 구조층을 가진다. 여기서

\mathcal{I}_Z

는 함수

f_1, \dots, f_k

에 의해 생성된 아이디얼 층이다. 이는

Z

의 구조층이

Z

외부에서는 달라질 수 있는 함수들을 무시하고

U

위의 모든 함수들로 구성됨을 의미한다.

다른 관점에서,

K

가 값매김환의 분수체이고 값매김에 대해 완비체라고 하자.

K^n

의 열린 집합

U\subset K^n

과

U

위의 정칙 함수의 집합

F\subset\mathcal O_U(U)

에 대하여,

:

V=\{x\in U\colon f(x)=0\forall f\in F\}

의 꼴의 집합

V

역시 '''해석 다양체'''라고 정의할 수 있다. 이 다양체 위에는 층

:

\mathcal O_V=\mathcal O_U/(F)

가 존재한다. 여기서

(F)

는

F

에 의해 생성된 아이디얼 층을 의미한다.

2. 2. 해석 공간

K

가 값매김환의 분수체이고, 이 값매김에 대해 완비체라고 가정하자. 이 값매김을 기준으로 정칙함수 개념을 정의할 수 있다.

K^n

의 열린 집합

U\subset K^n

위에 정의된 정칙함수들의 층을

\mathcal O_U

라고 하자.

열린 집합

U\subset K^n

와

U

위의 정칙 함수들의 집합

F\subset\mathcal O_U(U)

가 주어졌을 때,

:

V=\{x\in U\colon f(x)=0\forall f\in F\}

와 같은 형태의 집합

V

를 '''해석 다양체'''(analytic variety^영어)라고 부른다. 이 위에는 층

\mathcal O_V=\mathcal O_U/(F)

가 존재한다. 여기서

(F)

는

F

에 의해 생성된 아이디얼 층이다. 예를 들어, 체

k

를 고정하고 이 체가 특정 평가(값매김)에 대해 완전하며 이산적이지 않다고 가정하자(예: 일반적인 절댓값을 갖는 실수('''R''')나 복소수('''C'''), 또는 자연스러운 평가를 갖는 퓌죄 급수 체).

k^n

의 열린 부분 집합

U

와

U

위의 해석 함수 모임

f_1, \dots, f_k

가 있을 때, 이 함수들의 공통 영점 집합

Z = \{ x \in U \mid f_1(x) = \dots = f_k(x) = 0 \}

은 해석 다양체의 한 예시이다. 이 경우 구조층은

\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_U / \mathcal{I}_Z

이며,

\mathcal{I}_Z

는

f_1, \dots, f_k

에 의해 생성된 아이디얼 층이다.

'''해석 공간'''은 다음 조건을 만족하는 국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

이다.

모든 점 $x\in X$ 에 대해, 어떤 해석 다양체 $(U,\mathcal O_U)$ 와 (국소환 달린 공간으로서) 동형인 $x$ 의 열린 근방 $U$ 가 존재해야 한다. 이러한 동형 사상을 $x$ 에서의 $X$ 에 대한 '''국소 모델'''이라고 한다.

해석 공간 사이의 '''해석적 사상''' 또는 '''사상'''은 국소환 달린 공간 사이의 사상을 의미한다.

이 정의는 스킴의 정의와 유사하다. 주요 차이점은 스킴의 국소 모델이 환의 스펙트럼인 반면, 해석 공간의 국소 모델은 해석 다양체라는 점이다. 이 때문에 해석 공간과 스킴의 기본 이론은 상당히 비슷하다. 또한, 해석 다양체는 임의의 가환환보다 훨씬 단순한 성질을 가지므로(예를 들어, 해석 다양체는 체 위에서 정의되고 항상 유한 차원이다), 해석 공간은 체 위의 유한 타입 스킴과 매우 유사하게 작동한다.

3. 기본 성질

해석 공간이 ''x''에서 매끄럽다는 것은 ''x''에서 어떤 ''n''에 대해 ''k''^''n''의 열린 부분 집합인 국소 모형을 가지고 있을 경우를 말한다. 해석 공간이 모든 점에서 매끄러울 경우 이를 매끄럽다고 하며, 이 경우 이는 해석 다양체이다. 해석 공간이 매끄럽지 않은 점들의 부분 집합은 닫힌 해석 부분 집합이다.

해석 공간이 환원적이라는 것은 공간에 대한 모든 국소 모형이 근본 이상 다발에 의해 정의될 경우를 말한다. 환원적이지 않은 해석 공간 ''X''는 동일한 기저 위상 공간을 가진 환원적 해석 공간인 환원 ''X''_red을 가진다. 표준 사상 ''r'' : ''X''_red → ''X''가 존재한다. ''X''에서 환원적 해석 공간으로의 모든 사상은 ''r''을 통해 인수분해된다.

해석 공간이 정규라는 것은 구조 층의 모든 줄기가 정규 환(즉, 정수적으로 닫힌 정역)일 경우를 말한다. 정규 해석 공간에서 특이점 궤적은 적어도 2 이상의 코드차원을 갖는다. ''X''가 ''x''에서 국소 완비 교차일 경우, ''X''는 ''x''에서 정규이다.

비정규 해석 공간은 표준적인 방법으로 정규 공간으로 매끄럽게 만들 수 있다. 이 구성을 정규화라고 한다. 해석 공간 ''X''의 정규화 ''N''(''X'')는 표준 사상 ν : ''N''(''X'') → ''X''를 갖는다. 정규 해석 공간에서 ''X''로의 모든 우세 사상은 ν를 통해 인수분해된다.

해석 공간이 구조층 $\mathcal{O}$ 가 코히어런 층이면 코히어런하다고 한다. $\mathcal{O}$ -가군의 코히어런 층을 코히어런 해석 층이라고 한다. 예를 들어, 코히어런 공간에서 국소 자유 층과 아이디얼 층은 코히어런 해석 층이다.

대수적으로 닫힌 체 위의 해석 공간은 코히어런하다. 복소수체인 경우에는 이것이 오카 코히어런 정리로 알려져 있다. 이는 대수적으로 닫히지 않은 체에서는 성립하지 않는데, 코히어런하지 않은 실수 해석 공간의 예가 있다.

3. 1. 차원

해석 공간의 모든 점은 국소 차원을 갖는다. 점 ''x''에서의 차원은 ''x''에서 국소 모델을 선택하고, ''x''에 해당하는 점에서의 해석적 다양체의 국소 차원을 결정하여 찾는다.

해석 공간의 모든 점은 접선 공간을 갖는다. ''x''가 ''X''의 점이고 ''m_x''가 ''x''에서 사라지는 모든 함수들의 아이디얼 묶음이면, ''x''에서의 코탄젠트 공간은 ''m_x'' / ''m_x''²이다. 접선 공간은 (''m_x'' / ''m_x''²)^*, 즉 코탄젠트 공간의 쌍대 벡터 공간이다. 해석적 사상은 접선 공간에 대한 푸시포워드 사상과 코탄젠트 공간에 대한 풀백 사상을 유도한다.

''x''에서의 접선 공간의 차원을 ''x''에서의 '''매입 차원'''이라고 한다. 국소 모델을 보면 차원이 항상 매입 차원보다 작거나 같다는 것을 쉽게 알 수 있다.

3. 2. 접공간

해석 공간의 모든 점은 국소 차원을 갖는다. 점 ''x''에서의 차원은 ''x''에서 국소 모델을 선택하고, ''x''에 해당하는 점에서의 해석적 다양체의 국소 차원을 결정하여 찾는다.

해석 공간의 모든 점은 접선 공간을 갖는다. ''x''가 ''X''의 점이고 ''m_x''가 ''x''에서 사라지는 모든 함수들의 아이디얼 묶음이면, ''x''에서의 코탄젠트 공간은 ''m_x'' / ''m_x''²이다. 접선 공간은 (''m_x'' / ''m_x''²)^*, 즉 코탄젠트 공간의 쌍대 벡터 공간이다. 해석적 사상은 접선 공간에 대한 푸시포워드 사상과 코탄젠트 공간에 대한 풀백 사상을 유도한다.

''x''에서의 접선 공간의 차원을 ''x''에서의 '''매입 차원'''이라고 한다. 국소 모델을 보면 차원이 항상 매입 차원보다 작거나 같다는 것을 쉽게 알 수 있다.

4. 매끄러움

해석 공간이 점 ''x''에서 '''매끄럽다'''(smooth)는 것은, 그 점 ''x''를 포함하는 어떤 열린 집합이 어떤 자연수 ''n''에 대해 ''k''^''n'' (여기서 ''k''는 체)의 열린 부분 집합과 동형인 국소 모형(local model)을 가질 때를 의미한다. 만약 해석 공간의 모든 점에서 매끄러움이 성립한다면, 그 해석 공간 전체를 매끄럽다고 하며, 이 경우 해당 공간은 해석 다양체(analytic manifold)가 된다. 해석 공간 내에서 매끄럽지 않은 점들, 즉 특이점들의 집합은 닫힌 해석 부분 집합(analytic subset)을 형성한다.

4. 1. 환원성

해석 공간이 '''환원적'''(reduced)이라는 것은, 그 공간에 대한 모든 국소 모형(local model)이 근본 이상 다발(radical ideal sheaf)에 의해 정의될 경우를 말한다.

만약 어떤 해석 공간 ''X''가 환원적이지 않다면, 이 공간과 동일한 기저 위상 공간을 가지면서 환원적인 성질을 만족하는 해석 공간인 '''환원'''(reduction) ''X''_red가 존재한다. 이때, 환원 공간에서 원래 공간으로 가는 표준적인 사상 ''r'' : ''X''_red → ''X''가 정의된다. 원래 공간 ''X''에서 다른 어떤 환원적 해석 공간으로 가는 모든 사상은 반드시 이 표준 사상 ''r''을 통해 인수분해(factor)된다. 즉, 해당 사상은 ''X''에서 ''X''_red를 거쳐 다른 환원적 해석 공간으로 가는 형태로 표현될 수 있다.

4. 2. 정규성

해석 공간이 '''정규'''라는 것은 구조 층의 모든 줄기가 정규환(즉, 정수적으로 닫힌 정역)일 경우를 말한다. 정규 해석 공간에서 특이점 궤적은 적어도 2 이상의 여차원을 갖는다. 이는 특이점이 전체 공간에 비해 상대적으로 '작은' 부분에만 존재한다는 것을 의미한다. 만약 해석 공간 ''X''가 어떤 점 ''x''에서 국소 완비 교차일 경우, ''X''는 그 점 ''x''에서 정규이다.

정규가 아닌 해석 공간은 표준적인 방법으로 정규 공간으로 변환할 수 있는데, 이 과정을 '''정규화'''라고 한다. 해석 공간 ''X''의 정규화 ''N''(''X'')는 원래 공간 ''X''로 가는 표준적인 사상 ν : ''N''(''X'') → ''X''를 가진다. 다른 정규 해석 공간에서 ''X''로 가는 모든 우세 사상은 이 정규화 사상 ν를 통해 인수분해된다.

5. 코히어런트 층

해석 공간의 구조층 ''O''가 코히어런 층일 때, 해당 해석 공간을 '''코히어런'''하다고 한다. ''O''-가군의 코히어런 층은 '''코히어런 해석 층'''이라고 불린다. 예를 들어, 코히어런 공간에서 국소 자유 층과 아이디얼 층은 코히어런 해석 층에 해당한다.

대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 해석 공간은 코히어런하다. 특히, 복소수체 위에서의 이러한 성질은 오카 코히어런 정리로 알려져 있다. 그러나 이 정리는 대수적으로 닫히지 않은 체에서는 일반적으로 성립하지 않으며, 코히어런하지 않은 실수 해석 공간의 예시도 존재한다.

6. 일반화

어떤 상황에서는 해석 공간의 개념이 지나치게 제한적일 수 있다. 이는 종종 기저 체(ground field)가 해석 집합(analytic sets)에 의해 포착되지 않는 추가적인 구조를 가지고 있기 때문이다. 이러한 상황에서, 지역 모델 공간에서 더 많은 유연성을 허용하는 해석 공간의 일반화가 존재한다.

예를 들어, 실수에 대해 원 ''x''² + ''y''² = 1을 생각해 보자. 원은 해석 공간 '''R'''²의 해석 부분 집합이다. 그러나 ''x''축으로의 투영은 닫힌 구간 [−1, 1]인데, 이는 해석 집합이 아니다. 따라서 해석 맵 아래의 해석 집합의 이미지는 반드시 해석 집합일 필요는 없다. 이는 해석 집합보다 훨씬 덜 엄격하지만 임의의 체 위에서는 정의되지 않은 부분해석 집합으로 작업함으로써 피할 수 있다. 이에 해당하는 해석 공간의 일반화는 부분해석 공간이다. (그러나, 가벼운 점-집합 위상 가설 하에서는, 부분해석 공간이 본질적으로 부분해석 집합과 동일하다는 것이 밝혀졌다.)

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