형태학적 기울기

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1. 개요
2. 수학적 정의와 종류
3. 추가 설명
참조

1. 개요

형태학적 기울기는 이미지 처리에서 사용되는 연산으로, 이미지의 가장자리를 감지하는 데 활용된다. 회색조 이미지의 팽창과 침식의 차이로 정의되며, 내부 기울기, 외부 기울기 등 여러 종류가 존재한다. 내부 및 외부 기울기는 형태학적 기울기보다 얇지만, 기울기 정점이 가장자리의 양쪽에 위치하는 특징을 갖는다.

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형태학적 기울기
개요
형태학적 기울기 연산의 시각적 표현. 검정색 영역은 원본 이미지, 빨간색 영역은 팽창된 이미지, 파란색 영역은 침식된 이미지입니다.
정의	팽창과 침식의 차이
분야	수학적 형태학
적용 분야	이미지 처리 컴퓨터 비전
정의
수식	gradient = dilation - erosion
설명	gradient: 형태학적 기울기 dilation: 팽창 연산 erosion: 침식 연산
응용
이미지 처리	엣지 검출 특징 추출
연산
팽창	객체의 경계를 확장
침식	객체의 경계를 축소
추가 정보
관련 연산	열림 연산 닫힘 연산

2. 수학적 정의와 종류

$f:E\mapsto R$ 를 (''R''²나 ''Z''²같은) 유클리드 공간이나 이산 격자 ''E''의 점에서 수직선으로 맵핑하는 회색조 이미지라고 하고, $b(x)$ 를 회색조 구조적 요소라고 하자. 보통, ''b''는 대칭이고 짧은 지지를 가지는 함수로 표현된다. 그 예시는 다음과 같다.

: $b(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq 1,\\-\infty,&\mbox{otherwise}\end{array}\right.$

형태학적 기울기는 팽창과 침식의 차이로 정의되며, 내부 기울기와 외부 기울기로 나눌 수 있다. 내부 기울기는 원본 이미지와 침식 연산의 차이이고, 외부 기울기는 팽창 연산과 원본 이미지의 차이이다.

내부 기울기와 외부 기울기는 형태학적 기울기보다 "얇게" 나타난다. 형태학적 기울기의 정점은 윤곽선 위에 있지만, 내부 및 외부 기울기의 정점은 윤곽선의 양쪽에 위치한다. 내부 기울기와 외부 기울기의 합은 형태학적 기울기와 같다( $G_i + G_e = G$ ).

$b(0)\geq 0$ 이면, 세 가지 기울기(형태학적 기울기, 내부 기울기, 외부 기울기)는 모든 픽셀에서 음수가 아닌 값을 갖는다.

2. 1. 기본 정의

f:E\mapsto R

를(''R''²나 ''Z''²같은) 유클리드 공간이나 이산 격자 ''E''의 점에서 수직선으로 맵핑하는 회색조 이미지라고 하고,

b(x)

를 회색조 구조적 요소라고 하자. 보통, ''b''는 대칭이고 짧은 지지를 가진다.

그러면, ''f''의 형태학적 기울기는 다음과 같이 주어진다:

:

G(f)=f\oplus b-f\ominus b

,

여기서

\oplus

와

\ominus

는 각각 팽창과 침식을 의미한다.

'''내부 기울기'''는 다음과 같다:

:

G_i(f)=f-f\ominus b

,

그리고 '''외부 기울기'''는 다음과 같다:

:

G_e(f)=f\oplus b-f

.

내부 및 외부 기울기는 기울기보다 "얇"지만, 기울기 정점은 ''윤곽선에'' 있는 반면, 내부 및 외부 기울기 정점은 윤곽선의 양쪽에 있다.

G_i+G_e=G

이다.

만약

b(0)\geq 0

이면, 세 기울기는 모든 픽셀에서 음수가 아닌 값을 가진다.

2. 2. 내부 기울기

f:E\mapsto R

를 유클리드 공간이나 이산 격자 ''E'' (''R''²나 ''Z''²)의 점에서 수직선으로 매핑하는 회색조 이미지라고 하고,

b(x)

를 회색조 구조적 요소라고 하자.

'''내부 기울기'''는 다음과 같이 정의된다.

:

G_i(f)=f-f\ominus b

여기서

\ominus

는 침식을 의미한다.

내부 기울기는 형태학적 기울기보다 "더 얇지만", 형태학적 기울기 정점이 ''윤곽선에'' 위치하는 반면 내부 기울기 정점은 윤곽선의 안쪽에 있다.

만약

b(0)\geq 0

이면, 내부 기울기는 모든 픽셀에서 음이 아닌 값을 가진다.

2. 3. 외부 기울기

f:E\mapsto R

를 (R²나 Z²같은) 유클리드 공간이나 이산 격자 ''E''의 점에서 수직선으로 맵핑하는 회색조 이미지라고 하고,

b(x)

를 회색조 구조적 요소라고 하자.

'''외부 기울기'''는 다음과 같이 정의된다.

:

G_e(f)=f\oplus b-f

여기서

\oplus

는 팽창을 의미한다.

내부 및 외부 기울기는 형태학적 기울기보다 "얇지만", 형태학적 기울기 피크는 가장자리에 위치하는 반면, 내부 및 외부 기울기는 가장자리의 각 측면에 위치한다.

3. 추가 설명

$b(0)\geq 0$ 이면, 형태학적 기울기, 내부 기울기, 외부 기울기는 모두 모든 픽셀에서 음수가 아닌 값을 갖는다.

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