0의 0제곱

3. 다항식과 멱급수

다항식을 평가할 때, 0⁰을 1로 정의하는 것이 편리하다. 다항식은 항별로 더해지고, 분배 법칙과 지수에 대한 일반적인 규칙을 적용하여 곱해진다. 다항식은 환을 형성하는데, 이 환의 곱셈 항등원은 다항식 x⁰이다. 즉, x⁰에 어떤 다항식 p(x)를 곱해도 p(x)이다. 또한, 다항식은 x를 실수로 특수화하여 평가할 수 있는데, 0을 포함한 각 실수 r에 대해 1 = r⁰ = 1이다. 같은 논리가 임의의 환으로 대체해도 적용된다.

많은 다항식 항등식을 위해 0⁰ = 1로 정의하는 것이 필요하다. 예를 들어, 이항 정리 $(1+x)^\{n\}=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\backslash binom\{n\}\{k\}x^\{k\}$은 x = 0일 때 0⁰ = 1인 경우에만 성립한다.

마찬가지로, 멱급수의 환은 x의 모든 특수화를 위해 x⁰을 1로 정의해야 한다. 예를 들어, $\backslash frac\{1\}\{1-x\}=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}x^n$ 및 $e^x=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{x^n\}\{n!\}$과 같은 항등식은 x = 0일 때 0⁰ = 1인 경우에만 성립한다.

미적분학에서, 거듭제곱 법칙 $\backslash frac\{d\}\{dx\}x^n=nx^\{n-1\}$은 n = 1일 때 x = 0에서 0⁰ = 1인 경우에만 유효하다.

컴퓨터 과학자 도널드 커누스는 0⁰은 1이어야 한다고 주장한다. 그에 따르면 0^x라는 함수는 수학적 의의가 적은 반면, x⁰는 다양한 공식에 빈번하게 나타나므로, 이쪽을 기준으로 삼는 쪽이 형식적으로 편리하다. 예를 들어, 이항 정리 공식은 0⁰ = 1로 했을 때만 x = 0에 대해 적용 가능해진다.

4. 연속 지수

대수 연산과 관련된 극한은 종종 부분식을 해당 극한으로 대체하여 평가할 수 있다. 결과 표현식이 원래 극한을 결정하지 못하면 해당 표현식은 부정형으로 알려져 있다. 0⁰은 이러한 부정형 중 하나이다.

와 가 모두 0으로 수렴하는 실수 값을 갖는 함수이고, 일 때, 의 극한은 함수 와 에 따라 0 이상의 실수, 가 되거나 발산할 수 있다. 예를 들어, 아래 각 극한은 형태를 가지며, ( (단측 극한))이지만, 그 값은 서로 다르다.

:$$\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; 0^+\}\; \{t\}^\{t\}\; =\; 1\; ,$$

:$$\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; 0^+\}\; \backslash left(e^\{-1/t^2\}\backslash right)^t\; =\; 0,$$

:$$\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; 0^+\}\; \backslash left(e^\{-1/t^2\}\backslash right)^\{-t\}\; =\; +\backslash infty,$$

:$$\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; 0^+\}\; \backslash left(e^\{-1/t\}\backslash right)^\{at\}\; =\; e^\{-a\}\; .$$

따라서, 두 변수 함수 는 }에서는 연속이지만, 0⁰을 어떻게 정의하든 }에서는 연속 함수로 확장될 수 없다.

하지만, 와 가 숫자 근처에서 해석 함수이고, 가 양수이면, 가 에 접근할 때 이다.

이는 $\backslash log(f(t)^\{g(t)\})=g(t)\backslash log\; f(t)$ 함수의 극한을 통해 알 수 있다.^[1][2]

• ''y'' 축 ()을 따라 접근하면:

• ''x'' 축 ()을 따라 접근하면:

5. 복소 지수

복소수 영역에서 z≠0일 때 z^w는 log z의 분기를 선택하고 z|z^영어w를 e|e^{영어w log z|w log z영어}로 정의하여 정의할 수 있다. z = 0에서 log z의 분기가 정의되지 않으므로, 0의 근방에서도 0^w는 정의되지 않는다.

6. 역사

18세기 오일러는 0⁰ = 1임을 명시했다. 19세기 초 코시는 0⁰을 부정형 목록에 포함시켰다. 뫼비우스는 f(x)ᵍ(x) (f(x), g(x) → 0)의 극한이 항상 1이라고 잘못 주장했다.

현재 0⁰은 문맥에 따라 1로 정의되거나 정의되지 않은 것으로 간주된다. 크누스는 0⁰의 ''값''은 1과 같아야 하지만, ''극한 형식'' 0⁰은 부정형이라고 구별했다.

7. 컴퓨터에서의 처리

IEEE 754 부동 소수점 표준은 대부분의 부동 소수점 라이브러리 설계에 사용되며, 거듭제곱 계산을 위한 여러 연산을 권장한다. 표준에서는 0⁰을 다음과 같이 처리한다.

`pow` 변형은 주로 C99의 `pow` 함수에서 영감을 받아 호환성을 위해 사용된다. `pown` 및 `powr` 변형은 거듭제곱 함수의 상충되는 사용법과 서로 다른 관점으로 인해 도입되었다.

C와 C++ 표준은 0⁰의 결과를 지정하지 않지만(도메인 오류가 발생할 수 있음), C의 경우 C99 이후부터 실수 부동 소수점 유형의 결과는 1로 요구된다. 자바 표준, .NET Framework 메서드 `System.Math.Pow`, 줄리아, 파이썬 또한 0⁰을 1로 취급한다. 루아의 `^` 연산자와 펄의 `` 연산자는 `00`의 결과가 플랫폼에 따라 다르다고 명시되어 있다.

R, SageMath, PARI/GP는 x⁰을 1로 계산한다. 매스매티카는 x⁰에 x에 대한 제약이 없더라도 1로 단순화하지만, 0⁰을 직접 입력하면 오류 또는 부정으로 처리한다. 매스매티카 및 PARI/GP는 정수 값과 부동 소수점 값을 구별하여, 지수가 정수 유형의 0이면 밑의 유형의 1을 반환하고, 값이 0인 부동 소수점 지수를 사용한 지수 연산은 정의되지 않거나, 부정 또는 오류로 처리한다.

8. 집합론적 관점

집합론에서 기수의 거듭제곱은 함수 집합의 크기로 정의된다. 공집합에서 공집합으로의 함수는 공집합 하나뿐이므로, 0⁰ = 1로 정의된다.^[8][9] 이는 서수의 거듭제곱에서도 마찬가지로 성립한다.

일반적으로 기수 κ^영어, λ^영어에 대해, 거듭제곱 λ^κ영어는 농도가 κ^영어, λ^영어인 임의의 집합을 각각 ''X'', ''Y''라 할 때, ''X''에서 ''Y''로의 사상의 개수(농도)로 정의된다.

:$\backslash lambda^\backslash kappa:=\backslash \#Y^X.$

여기서 ''Y''^''X''는 ''X''에서 ''Y''로의 사상 전체의 집합이며, #는 집합의 농도를 나타낸다. (이 정의는 ''X''와 ''Y''의 선택에 의존하지 않는다.) 따라서 0⁰는 ''X'' = ''Y'' = ∅ 의 경우에 해당하므로, $0^0=\backslash \#\backslash emptyset^\backslash emptyset$이다. 여기서 ∅에서 ∅로의 사상은 유일하게 존재하므로 (공사상), $\backslash \#\backslash emptyset^\backslash emptyset=1$이다. 따라서 0⁰ = 1이다.

9. 반군론적 관점

반군에서 원소 의 거듭제곱 (은 양의 정수)은 개의 를 곱한 것으로 정의된다.^[5] 모노이드(단위원을 갖는 반군)에서는 로 정의된다.^[6] 특히 가 영원을 갖는 경우 이다.^[7]

참조

_[1] 논문 Indeterminate Forms of Exponential Type https://www.jstor.or[...] 1978-06
_[2] 논문 On Indeterminate Forms of Exponential Type https://www.jstor.or[...] 2017-12
_[3] 문서 Lp空間#p = 0 の場合
_[4] 문서 math|''x'' {{=}} 0
_[5] 문서 この定義は半群における積の[[結合法則|結合性]]より意味を持つ。
_[6] 문서 さらに {{mvar|a}} が逆元を持つならば、それを {{math|''a''⁻¹}} と表記し、負の整数 {{math|−''n''}} に対して {{math|1=''a''^−''n'' = (''a''⁻¹)^''n''}} と表記する。
_[7] 문서 整数の全体や実数の全体など、あるいは一般に単位元を持つ[[結合環]]は、乗法について零元を持つモノイドをなす。
_[8] 서적 Theory of Sets Springer
_[9] 서적 Set Theory: A First Course Cambridge University Press
_[10] 문서 ここに、{{math|''x'' → +0}} は ''x'' が正の方向から 0 に近付くことを表す。なお、負の数 ''y'' に対して 0^''y'' は定義されない。
_[11] 웹사이트 sci.math FAQ: What is 0^0? http://www.faqs.org/[...]
_[12] 문서 "Since ln 0 does not exist, 0^''z'' is undefined. For {{nowrap|Re ''z'' > 0}}, we define it arbitrarily as 0."（ln 0 は存在しないから、0^''z'' は定義されていない。{{nowrap|Re ''z'' > 0}} に対しては、0 と定義する。）{{harv|Carrier|Krook|Pearson|2005|p={{google books quote|id=M2IwKL-_HQ8C|page=15|15}}}}
_[13] 문서 "For {{nowrap|1=''z'' = 0}}, {{nowrap|''w'' ≠ 0}}, we define {{nowrap|1=0^''w'' = 0}}, while 0⁰ is not defined."（{{nowrap|1=''z'' = 0}}, {{nowrap|''w'' ≠ 0}} に対しては、{{nowrap|1=0^''w'' = 0}} と定義するが、0⁰ は定義しない。）{{harv|Gonzalez|1991|p={{google books quote|id=ncxL7EFr7GsC|page=56|56}}}}.
_[14] 웹사이트 0^0の計算結果 https://www.google.c[...] Google전탁
_[15] 문서 具体的には、Visual Basic Editor (VBE) のイミディエイトウィンドウ上で ?0^0 と打ち、Enter を押すと 1 と出てくる。