ADHM 작도

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1. 개요
2. ADHM 데이터 및 방정식
- 2.1. ADHM 데이터
- 2.2. ADHM 방정식
3. ADHM 작도
- 3.1. 순간자 구성
- 3.2. 모듈러스 공간
4. 끈 이론에서의 해석
- 4.1. D-막과 순간자
- 4.2. 대응 관계
5. 일반화
- 5.1. 비가환 순간자
- 5.2. 소용돌이 (Vortices)
6. 역사
참조

1. 개요

ADHM 작도는 양-밀스 이론에서 인스턴톤을 구성하는 방법으로, 끈 이론에서 D3-막과 D(-1)-막의 상호작용을 설명하는 데 사용된다. ADHM 데이터(행렬 B1, B2, I, J)와 ADHM 방정식(실수 및 복소수 모멘트 맵)을 통해 인스턴톤을 구성하며, 이는 끈 이론에서의 D-막 간의 관계와 밀접한 관련이 있다. ADHM 작도는 비가환 인스턴톤 및 소용돌이 연구에도 활용되며, 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌에 의해 1978년에 개발되었다.

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ADHM 작도
개요
ADHM 작도 다이어그램
유형	수학적 구성
분야	수학, 물리학
관련 주제	순간자 게이지 이론 모듈라이 공간 대수기하학 미분기하학 끈 이론
상세 정보
설명	ADHM 작도는 순간자 해를 구성하는 방법
개발자	마이클 아티야 히친 블라디미르 드린펠트 나이절 히친 사이먼 도널드슨
발표 연도	1978년
응용 분야
물리학	양자장론, 끈 이론에서의 순간자 해 구성
수학	모듈라이 공간 연구 대수기하학 미분기하학

2. ADHM 데이터 및 방정식

ADHM 작도는 특정한 조건을 만족하는 행렬들의 집합으로 구성되며, 이를 통해 순간자의 게이지 퍼텐셜을 계산한다.

SU(''N'') 양-밀스 이론에서 순간자수가 $k$ 인 상태를 작도한다고 할 때, ADHM 작도는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$X_\mu\in\hom(\mathbb R^k,\mathbb R^k)$ . 이는 $X_{\alpha\dot\alpha}=\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}X_\mu$ 로 적을 수 있다.
$W_{\dot\alpha}\in\hom(\mathbb C^N,\mathbb C^k)$ . 이는 $k\times N$ 복소 행렬로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 '''ADHM 방정식'''(ADHM equation^영어)이라고 한다.

:

W_{\dot\alpha}(W_{\dot\beta})^\dagger=iC\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}+i\epsilon^{\alpha\beta}X_{\alpha\dot\alpha}(X_{\beta\dot\beta})^\dagger

여기서

C\in\mathfrak{u}(k)

는 임의의

k\times k

에르미트 행렬이다.

이러한 방식으로 모든 반 자기 쌍대 인스턴톤을 얻을 수 있으며, 이는 각 ''B''에 대해 수반 표현으로 작용하고 ''I''와 ''J''에 대해 기본 표현 및 반기본 표현으로 작용하는 U(''k'') 회전에 대한 해와 일대일 대응을 이룬다. 인스턴톤 모듈 공간에 대한 계량은 ''B'', ''I'' 및 ''J''에 대한 평탄한 계량에서 상속된다.

2. 1. ADHM 데이터

''k''차원 복소 벡터 공간 ''V''와 ''N''차원 복소 벡터 공간 ''W''를 정의한다. 또한, ''k'' × ''k'' 복소 행렬 ''B''₁, ''B''₂, ''k'' × ''N'' 복소 행렬 ''I'', ''N'' × ''k'' 복소 행렬 ''J''를 도입한다. 이는 끈 이론에서 D3-막과 D(-1)-막 사이의 상호작용을 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

2. 2. ADHM 방정식

ADHM 작도는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 '''ADHM 방정식'''(ADHM equation^영어)이라고 한다.

실수 모멘트 맵은 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_r = [B_1,B_1^\dagger]+[B_2,B_2^\dagger]+II^\dagger-J^\dagger J = 0

복소수 모멘트 맵은 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_c = [B_1,B_2]+IJ = 0

이 방정식들은 D(-1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜에서 D-항 및 F-항 조건에 해당한다.

3. ADHM 작도

ADHM 작도 방법을 통해 순간자(Instantons) 해를 명시적으로 구성할 수 있다. 구체적인 방법은 '순간자 구성' 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

4차원 유클리드 공간에서, 시공간 좌표 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$는 4차원 벡터로 표현 가능하다. 이는 파울리 행렬 ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$를 사용하여 나타낼 수 있다.

모듈러스 공간의 경우, ${\displaystyle X_{\mu }}$는 ${\displaystyle 4k^{2}}$개의 실수 매개변수를, ${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}}$는 ${\displaystyle 4Nk}$개의 실수 매개변수를 갖는다. ADHM 방정식은 ${\displaystyle 3k^{2}}$개의 제약을 가하며, 임의의 ${\displaystyle M\in \operatorname {U} (k)}$에 대하여 다음과 같은 변환을 하여도 같은 순간자를 얻는다.

${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}\to MW_{\dot {\alpha }}}$
${\displaystyle X_{\alpha {\dot {\alpha }}}\mapsto MX_{\alpha {\dot {\alpha }}}M^{-1}}$

따라서 모듈러스 공간의 차원은 ${\displaystyle 4Nk}$이다.

3. 1. 순간자 구성

시공간 좌표 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$는 4차원 벡터이므로, 파울리 행렬 ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:${\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}=x_{\mu }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }}$

${\displaystyle 2k\times (N+2k)}$ 복소행렬 ${\displaystyle \Delta }$를 다음과 같이 정의한다.

:${\displaystyle \Delta _}(x)=W_}}$

:${\displaystyle \Delta _{\alpha {\dot {\alpha }}}(x)=X_{\alpha {\dot {\alpha }}}+x_{\alpha {\dot {\alpha }}}\otimes I_{k\times k}}$

:${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}\Delta _}&\Delta _{1{\dot {1}}}&\Delta _{2{\dot {1}}}\\\Delta _}&\Delta _{1{\dot {2}}}&\Delta _{2{\dot {2}}}\end{pmatrix}}}$

위 조건에 따라서, ${\displaystyle 2k\times 2k}$ 행렬 ${\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)}$는 다음과 같은 꼴이다.

:${\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)={\begin{pmatrix}F^{-1}(x)&0_{k\times k}\\0_{k\times k}&F^{-1}(x)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \Delta (x)}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+2k}}$에 작용한다. 거의 모든 ${\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}}$에 대하여, ${\displaystyle \ker \Delta (x)}$는 ${\displaystyle N}$차원이다. 따라서, ${\displaystyle \Delta }$의 규칙화 영 모드들을 ${\displaystyle (2k+N)\times N}$ 행렬 ${\displaystyle U(x)}$로 적는다.

:${\displaystyle \Delta (x)U(x)=0}$

:${\displaystyle U^{\dagger }(x)U(x)=I_{N\times N}}$

그러면 순간자 게이지 퍼텐셜 ${\displaystyle A_{\mu }}$는 다음과 같다.

:${\displaystyle A_{\mu }=iU^{\dagger }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}U(x)}$

4차원 유클리드 시공간 좌표를 사원수 표기법으로 나타낸 것을 ''x''라고 하면, 다음과 같다.

:${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle 2k\times (N+2k)}$ 행렬은 다음과 같다.

:${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

그러면 조건 ${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$은 인수분해 조건과 동일하다.

:${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$ 여기서 ${\displaystyle f(x)}$는 ${\displaystyle k\times k}$ 에르미트 행렬이다.

에르미트 사영 연산자 ${\displaystyle P}$는 다음과 같이 구성할 수 있다.

:${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

Δ(''x'')의 영공간은 일반적인 ''x''에 대해 차원이 ''N''이다. 이 영공간의 기저 벡터는 ${\displaystyle (N+2k)\times N}$ 행렬 ${\displaystyle U(x)}$로 구성할 수 있으며, 정규 직교화 조건은 ${\displaystyle U^{\dagger }U=1}$이다.

Δ의 계수에 대한 정칙성 조건은 완전성 조건을 보장한다.

:${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.}$

자기 쌍대성이 없는 접속은 다음 공식으로 ''U''에서 구성된다.

:${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

3. 2. 모듈러스 공간

X_\mu

는

4k^2

개의 실수 매개변수를,

W_{\dot\alpha}

는

4Nk

개의 실수 매개변수를 갖는다. ADHM 방정식은

3k^2

개의 제약을 가하고, 임의의

M\in\operatorname{U}(k)

에 대하여

:

W_{\dot\alpha}\to MW_{\dot\alpha}

:

X_{\alpha\dot\alpha}\mapsto MX_{\alpha\dot\alpha}M^{-1}

와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은

4Nk

이다.

4. 끈 이론에서의 해석

ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다.^[1] ''N''개의 겹친 D3-막에 ''k''개의 D(−1)-막이 녹아 있는 상황을 고려하면, D(−1)-막에 존재하는 $\mathcal N=2$ (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서 쿨롱 상과 힉스 상, 두 가지 상이 나타난다. 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리되어 자유롭게 움직이며, 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아 D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다.

4. 1. D-막과 순간자

''N''개의 겹친 D3-막에 ''k''개의 D(−1)-막(인스턴톤)이 녹아 있는 상황을 고려한다. D(-1)-막은 D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다.^[1] 쿨롱 상에서는 D(-1)-막들이 D3-막에서 분리되어 자유롭게 움직인다. 힉스 상에서는 D(-1)-막들이 D3-막 속에 녹아 순간자를 형성한다.

기호	ADHM 작도	끈 이론 해석
N	게이지 군 SU(N)의 계수	겹친 D3-막의 수
k	순간자수	D(−1)-막의 수
	ADHM 방정식	D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
$W_{\dot\alpha}$		D3-막과 D(−1)-막을 잇는 끈으로 발생하는 스칼라장
$X_\mu$		D(−1)-막의 (비가환) 위치
	순간자 모듈러스 공간	D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간

4. 2. 대응 관계

ADHM 데이터와 끈 이론에서의 물리량 사이에는 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.^[1]

기호	ADHM 작도	끈 이론 해석
N	게이지 군 SU(N)의 계수	겹친 D3-막의 수
k	순간자수	D(−1)-막의 수
	ADHM 방정식	D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
$W_{\dot\alpha}$		D3-막과 D(−1)-막을 잇는 끈으로 발생하는 스칼라장
$X_\mu$		D(−1)-막의 (비가환) 위치
	순간자 모듈러스 공간	D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간

5. 일반화

ADHM 작도는 여러 형태로 일반화할 수 있다.

=== 비가환 순간자 ===

비가환 게이지 이론에서 ADHM 작도는 동일하지만, 모멘트 맵 $\vec\mu$ 는 시공간의 비가환 행렬의 자기 쌍대 투영에 항등 행렬을 곱한 것과 같게 설정된다. 이 경우, 게이지 군이 U(1)일 때에도 인스턴톤이 존재한다. 비가환 인스턴톤은 1998년 니키타 네크라소프와 알베르트 슈바르츠에 의해 발견되었다.

=== 소용돌이 (Vortices) ===

''B''₂와 ''J''를 0으로 설정하면, 초대칭 게이지 이론에서 비가환 소용돌이의 고전적인 모듈리 공간을 얻을 수 있다. 풍미의 수가 더 많은 경우로도 일반화할 수 있다.^[1] 두 경우 모두, Fayet–Iliopoulos 항은 스쿼크 톱 쿼크 응축물을 결정하며, 이는 실제 모멘트 맵에서 비가환성 매개변수의 역할을 한다.

5. 1. 비가환 순간자

비가환 게이지 이론에서 ADHM 작도는 동일하지만, 모멘트 맵

\vec\mu

는 시공간의 비가환 행렬의 자기 쌍대 투영에 항등 행렬을 곱한 것과 같게 설정된다. 이 경우, 게이지 군이 U(1)일 때에도 인스턴톤이 존재한다. 비가환 인스턴톤은 1998년 니키타 네크라소프와 알베르트 슈바르츠에 의해 발견되었다.

5. 2. 소용돌이 (Vortices)

''B''₂와 ''J''를 0으로 설정하면, 초대칭 게이지 이론에서 비가환 소용돌이의 고전적인 모듈리 공간을 얻을 수 있다. 풍미의 수가 더 많은 경우로도 일반화할 수 있다.^[1] 두 경우 모두, Fayet–Iliopoulos 항은 스쿼크 톱 쿼크 응축물을 결정하며, 이는 실제 모멘트 맵에서 비가환성 매개변수의 역할을 한다.

6. 역사

마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 발표하였다.^[2] ADHM은 이들의 이름 첫 글자를 딴 것이다.

참조

_[1] 저널 TASI lectures on solitons https://archive.org/[...] 2005
_[2] 저널 Construction of instantons 1978-03-06

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