각운동량 결합

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1. 개요
2. 일반 이론 및 상세 기원
- 2.1. 각운동량 보존
- 2.2. 각운동량 결합의 예시
3. 스핀-궤도 결합
- 3.1. L-S 결합 (러셀-손더스 결합)
- 3.2. jj 결합
4. 스핀-스핀 결합
5. 항 기호
6. 상대론적 효과
7. 핵 결합
참조

1. 개요

각운동량 결합은 둘 이상의 물리적 계의 각운동량을 결합하여 전체 계의 보존된 특성인 총 각운동량을 얻는 방법이다. 각운동량 보존은 외부 토크가 없는 경우 계의 총 각운동량이 크기와 방향이 일정하다는 원리이며, 구면 대칭 또는 등방 공간에서 각운동량은 보존된다. 각운동량 결합은 하위 시스템 간의 상호 작용이 있을 때 유용하며, 상호 작용으로 인해 하위 시스템의 구면 대칭이 깨지더라도 총 시스템의 각운동량은 보존된다.

각운동량 결합에는 스핀-궤도 결합, L-S 결합(러셀-손더스 결합), jj 결합, 스핀-스핀 결합 등이 있다. 스핀-궤도 결합은 입자의 스핀과 궤도 운동 사이의 약한 자기적 상호 작용을 나타내며, L-S 결합은 가벼운 원자에서 전자의 스핀과 궤도 각운동량이 결합하여 총 각운동량을 형성하는 방식이다. jj 결합은 무거운 원자에서 개별 스핀 각운동량과 궤도 각운동량이 결합하여 총 각운동량을 형성하는 방식이며, 스핀-스핀 결합은 서로 다른 입자의 스핀 간의 결합이다. 항 기호는 원자의 상태와 스펙트럼 전이를 나타내는 데 사용되며, 각운동량 결합으로부터 얻을 수 있다. 상대론적 효과는 매우 무거운 원자에서 스핀-궤도 결합 효과를 증가시키며, 핵 결합은 핵 껍질 모형에 직접 통합된다.

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각운동량 결합
각운동량 결합 정보
개요	양자 역학에서 두 개 이상의 각운동량이 결합하여 총 각운동량을 형성하는 현상
총 각운동량	각 입자의 각운동량의 벡터 합 결합된 시스템의 총 각운동량을 나타냄
결합 규칙	개별 각운동량 양자수의 합과 차 사이의 값을 가짐
결합 방법
러셀-손더스 결합 (L-S 결합)	원자 물리학에서 주로 사용 각 전자의 궤도 각운동량을 먼저 결합하여 총 궤도 각운동량(L)을 구함 각 전자의 스핀 각운동량을 결합하여 총 스핀 각운동량(S)을 구함 L과 S를 결합하여 총 각운동량(J)을 얻음
j-j 결합	무거운 원자에서 주로 사용 각 전자의 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 먼저 결합하여 각 전자의 총 각운동량(j)을 구함 개별 j들을 결합하여 총 각운동량(J)을 얻음
응용 분야
원자 물리학	원자의 전자 구조 및 스펙트럼 설명
핵물리학	원자핵의 구조 및 반응 연구
분자 물리학	분자의 회전 및 진동 스펙트럼 분석
고체 물리학	결정체의 자기적 성질 연구
관련 개념
클렙슈-고르단 계수	각운동량 결합 계산에 사용되는 수학적 계수
스핀-궤도 상호작용	전자의 스핀 각운동량과 궤도 각운동량 사이의 상호작용

2. 일반 이론 및 상세 기원

각운동량 보존은 계가 외부 토크를 받지 않을 경우 계의 총 각운동량이 크기와 방향이 일정하다는 원리이다. 일반적으로 각운동량 보존은 완전한 회전 대칭(SO(3) 및 SU(2) 그룹으로 설명)을 의미하며, 반대로 구면 대칭은 각운동량 보존을 의미한다. 둘 이상의 물리적 계가 보존된 각운동량을 갖는 경우, 이 운동량을 결합하여 결합된 계의 총 각운동량(총 계의 보존된 특성)을 얻는 것이 유용할 수 있다. 개별 하위 시스템의 각운동량 고유 상태로부터 총 보존된 각운동량의 고유 상태를 구성하는 것을 ''각운동량 결합''이라고 한다.

각운동량 결합은 하위 시스템 간의 상호작용이 있을 때 유용하며, 상호작용이 없으면 각운동량이 보존된다. 상호작용으로 인해 하위 시스템의 구면 대칭이 깨지지만, 총 시스템의 각운동량은 운동의 상수로 유지된다.

예를 들어 헬륨 원자와 같이 두 개의 전자를 가진 원자를 생각해 보자. 각 전자는 = 1, 2로 표시된다. 전자-전자 상호작용이 없고 전자-핵 상호작용만 있는 경우, 두 전자는 서로 독립적으로 핵 주위를 회전하며 에너지는 변하지 않는다. 이때 두 연산자 ''''''₁과 ''''''₂의 기대값은 보존된다.

그러나 전자의 거리 (1,2)에 의존하는 전자-전자 상호작용을 고려하면, 두 전자가 동시에 같은 회전을 할 때만 (1,2)가 변하지 않는다. 이 경우 ''''''₁과 ''''''₂의 기대값은 일반적으로 보존되지 않지만, 총 궤도 각운동량 연산자 '''''' = ''''''₁ + ''''''₂의 기대값은 보존된다. ''''''₁과 ''''''₂의 고유 상태가 주어졌을 때, (여전히 보존되는) ''''''의 고유 상태를 구성하는 것이 전자 1 ''과'' 2의 ''각운동량 결합''이다.

총 궤도 각운동량 양자수 은 정수 값으로 제한되며,

|l_1 - l_2| \leq L \leq l_1 + l_2

조건을 만족해야 한다. 이는 세 개의 음이 아닌 정수 값이 삼각형의 세 변에 해당할 수 있다는 것을 의미한다.^[3]

양자역학에서 결합은 단일 객체의 서로 다른 힐베르트 공간에 속하는 각운동량 사이에도 존재한다. 예를 들어 스핀과 궤도 각운동량이 있다.

2. 1. 각운동량 보존

각운동량 보존은 계가 외부 토크를 받지 않을 경우 계의 총 각운동량이 크기와 방향이 일정하다는 원리이다. 각운동량은 다음 두 가지 상황에서 운동의 상수(또는 "보존"된 특성, 시간 독립적이며 잘 정의됨)이다.

# 계가 구면 대칭 포텐셜 장을 경험한다.

# 계가 등방성 공간에서 (양자 역학적 의미에서) 움직인다.

두 경우 모두 각운동량 연산자는 계의 해밀토니안과 교환한다. 하이젠베르크 불확정성 원리에 따르면 이는 각운동량과 에너지(해밀토니안의 고유값)를 동시에 측정할 수 있음을 의미한다.

첫 번째 상황의 예는 전자가 원자핵의 쿨롱력만 경험하는 원자이다. 전자-전자 상호작용(및 스핀-궤도 결합과 같은 다른 작은 상호작용)을 무시하면 각 전자의 ''궤도 각운동량''은 총 해밀토니안과 교환한다. 이 모델에서 원자 해밀토니안은 전자의 운동 에너지와 구면 대칭 전자-핵 상호작용의 합이다. 개별 전자 각운동량은 이 해밀토니안과 교환한다. 즉, 원자의 이 근사 모델의 보존된 속성이다.

두 번째 상황의 예는 장이 없는 공간에서 움직이는 강체 회전체이다. 강체 회전체는 잘 정의된 시간 독립적인 각운동량을 갖는다.

이 두 가지 상황은 고전 역학에서 유래한다. 스핀과 관련된 세 번째 종류의 보존된 각운동량은 고전적인 대응 관계가 없다. 그러나 각운동량 결합의 모든 규칙은 스핀에도 적용된다.

일반적으로 각운동량 보존은 완전한 회전 대칭(SO(3) 및 SU(2) 그룹으로 설명)을 의미하며, 반대로 구면 대칭은 각운동량 보존을 의미한다. 둘 이상의 물리적 계가 보존된 각운동량을 갖는 경우, 이 운동량을 결합하여 결합된 계의 총 각운동량(총 계의 보존된 특성)을 얻는 것이 유용할 수 있다. 개별 하위 시스템의 각운동량 고유 상태로부터 총 보존된 각운동량의 고유 상태를 구성하는 것을 ''각운동량 결합''이라고 한다.

각운동량 결합의 적용은 하위 시스템 간의 상호작용이 있을 때 유용하며, 상호작용이 없으면 각운동량이 보존된다. 바로 그 상호작용으로 인해 하위 시스템의 구면 대칭이 깨지지만, 총 시스템의 각운동량은 운동의 상수로 유지된다. 후자의 사실을 이용하면 슈뢰딩거 방정식을 푸는 데 도움이 된다.

2. 2. 각운동량 결합의 예시

헬륨 원자와 같이 두 개의 전자를 가진 원자를 예로 들어 보자. 각 전자는 = 1, 2로 표시된다. 전자-전자 상호작용이 없고 전자-핵 상호작용만 있는 경우, 두 전자는 서로 독립적으로 핵 주위를 회전하며 에너지는 변하지 않는다. 이때 두 연산자 ''''''₁과 ''''''₂의 기대값은 보존된다.

그러나 전자의 거리 (1,2)에 의존하는 전자-전자 상호작용을 고려하면, 두 전자가 동시에 같은 회전을 할 때만 (1,2)가 변하지 않는다. 이 경우 ''''''₁과 ''''''₂의 기대값은 일반적으로 보존되지 않지만, 총 궤도 각운동량 연산자 '''''' = ''''''₁ + ''''''₂의 기대값은 보존된다. ''''''₁과 ''''''₂의 고유 상태가 주어졌을 때, (여전히 보존되는) ''''''의 고유 상태를 구성하는 것이 전자 1 ''과'' 2의 ''각운동량 결합''이다.

총 궤도 각운동량 양자수 은 정수 값으로 제한되며,

|l_1 - l_2| \leq L \leq l_1 + l_2

조건을 만족해야 한다. 이는 세 개의 음이 아닌 정수 값이 삼각형의 세 변에 해당할 수 있다는 것을 의미한다.^[3]

양자역학에서 결합은 단일 객체의 서로 다른 힐베르트 공간에 속하는 각운동량 사이에도 존재한다. 예를 들어 스핀과 궤도 각운동량이 있다. 스핀이 전자와 같이 와 같은 반정수 값을 가지면, 총 (궤도 더하기 스핀) 각운동량 또한 반정수 값으로 제한된다.

3. 스핀-궤도 결합

원자 물리학에서 '''스핀-궤도 결합'''(스핀-페어링)은 입자의 스핀과 궤도 운동 간의 약한 자기적 상호작용을 말한다. 예를 들어 전자 스핀과 원자의 원자핵 주위의 움직임에서 이러한 상호작용이 나타난다. 이 효과로 인해 원자의 내부 상태는 에너지 측면에서 분리되며, 이는 원자 구조의 세부 사항을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

고체 물리학에서는 궤도 운동과의 스핀 결합이 드레셀하우스 효과 또는 라슈바 효과를 통해 에너지 밴드를 분리시킬 수 있다.

천체역학의 거시적 세계에서 "스핀-궤도 결합"이라는 용어는 스핀-궤도 공명과 같은 의미로 사용되기도 한다.

3. 1. L-S 결합 (러셀-손더스 결합)

헨리 노리스 러셀과 프레더릭 앨버트 손더스가 연구한 것으로 러셀-손더스(R-S) 결합이라고도 한다.^[4] 가벼운 원자(일반적으로 ''Z'' ≤ 30)에서 주로 나타나는 결합 방식이다.

L-S 결합의 그림. 총 각운동량 '''J'''는 녹색, 궤도 '''L'''은 파란색, 스핀 '''S'''는 빨간색으로 표시되어 있습니다.

L-S 결합. 전체 각운동량 '''J''' (자주색), 궤도 각운동량 '''L''' (파란색), 스핀 각운동량 '''S''' (녹색).

이 결합에서는 먼저 전자들의 스핀 '''s'''_''i''이 서로 상호작용하여 총 스핀 각운동량 '''S'''를 형성한다.

:

\mathbf S = \sum_i \mathbf{s}_i. \,

마찬가지로, 궤도 각운동량 '''ℓ'''_''i''도 서로 상호작용하여 총 궤도 각운동량 '''L'''을 형성한다.

:

\mathbf L = \sum_i \boldsymbol{\ell}_i, \,

이렇게 형성된 총 스핀 각운동량 '''S'''와 총 궤도 각운동량 '''L''' 사이의 상호작용을 '''러셀-손더스 결합''' 또는 '''LS 결합'''이라고 부른다.

이후 '''S'''와 '''L'''이 결합하여 총 각운동량 '''J'''를 만든다.^[5]^[6]

:

\mathbf J = \mathbf L + \mathbf S, \,

이러한 ''L, S, J''로 지정되는 상태를 '''러셀-손더스 상태'''라고 한다. 스핀-궤도 상호 작용까지 고려하면, ''L''과 ''S''는 좋은 양자수가 아니며, ''J''와 ''M''만 좋은 양자수가 된다. 이 경우 하나의 에너지 준위는 같은 ''J'', ''M''을 갖는 러셀-손더스 상태의 선형 결합으로 나타낸다. 그래서 원자의 에너지 준위는 종종 가장 크게 기여하는 러셀-손더스 상태를 사용하여 ''^2S+1L_J''와 같이 표기하여 구별한다.

LS 결합은 외부 자기장이 약한 경우에 잘 맞는 근사이다. 강한 자기장에서는 두 각운동량이 분리되어 에너지 준위에서 다른 분할 패턴(파센-바크 효과)이 나타나고, LS 결합 항의 크기가 작아진다.^[7]

LS 결합이 실제로 어떻게 적용되는지에 대한 자세한 예는 항 기호 문서를 참조하면 된다.

3. 2. jj 결합

무거운 원자에서는 핵 전하가 커서 스핀-궤도 상호작용이 스핀-스핀 상호작용이나 궤도-궤도 상호작용만큼 크거나 더 큰 경우가 많다. 이러한 상황에서 각 궤도 각운동량 '''ℓ'''_''i''는 해당 개별 스핀 각운동량 '''s'''_''i''와 결합하여 개별 총 각운동량 '''j'''_''i''를 생성하는 경향이 있다. 그런 다음 이들은 결합하여 총 각운동량 '''J'''를 형성한다.

:

\mathbf J = \sum_i \mathbf j_i = \sum_i (\boldsymbol{\ell}_i + \mathbf{s}_i).

이러한 종류의 상호작용 계산을 용이하게 하는 이러한 설명을 ''jj 결합''이라고 한다.

4. 스핀-스핀 결합

'''스핀-스핀 결합'''은 서로 다른 입자의 고유 각운동량(스핀)의 결합이다. J-결합은 쌍을 이루는 핵 스핀 간의 결합으로, 핵자기 공명 (NMR) 분광법의 중요한 특징이며, 분자의 구조와 형태에 대한 상세한 정보를 제공할 수 있다. 핵 스핀과 전자 스핀 간의 스핀-스핀 결합은 원자 스펙트럼에서 초미세 구조의 원인이다.^[8]

5. 항 기호

항 기호는 원자의 상태와 스펙트럼 전이를 나타내는 데 사용되며, 위에 언급된 각운동량 결합으로부터 얻을 수 있다. 원자의 상태가 항 기호로 지정되면, 어떤 전이가 선택 규칙에 의해 허용되는지를 고려하여 각운동량을 보존하는 전이를 찾을 수 있다. 광자는 스핀 1을 가지며, 광자의 방출 또는 흡수를 동반하는 전이가 있을 때 원자는 각운동량을 보존하기 위해 상태를 변경해야 한다. 항 기호 선택 규칙은 다음과 같다:^[9]

:Δ''S'' = 0; Δ''L'' = 0, ±1; Δ''l'' = ±1; Δ''J'' = 0, ±1.

"항 기호"라는 표현은 원자의 리드베리 상태 및 그들의 에너지 준위와 관련된 "항 계열"에서 파생되었다. 리드베리 공식에서 수소 유사 원자에 의해 방출되는 빛의 주파수 또는 파수는 전이의 두 항 간의 차이에 비례한다. 초기 분광학에 알려진 계열은 ''sharp''(예리한), ''principal''(주요), ''diffuse''(확산), ''fundamental''(기본)으로 지정되었으며, 결과적으로 문자 S, P, D, 및 F가 원자의 궤도 각운동량 상태를 나타내는 데 사용되었다.^[9]

6. 상대론적 효과

매우 무거운 원자에서는 전자의 에너지 준위가 상대론적으로 이동하면서 스핀-궤도 결합 효과가 커진다. 따라서, 예를 들어 우라늄 분자 궤도 도표는 다른 원자와의 상호작용을 고려할 때 상대론적 기호를 직접 포함해야 한다.

7. 핵 결합

원자핵에서 스핀-궤도 상호작용은 원자 전자에 비해 훨씬 강하며 핵 껍질 모형에 직접 통합된다. 또한 원자-전자 항 기호와 달리 가장 낮은 에너지 상태는 ''ℓ''+''s''이다. 따라서 궤도 각운동량 ''ℓ'' 값이 0보다 큰 모든 핵 준위는 껍질 모형에서 ''ℓ''+''s''와 ''ℓ''-''s''로 지정된 상태를 생성하도록 분리된다. 핵 껍질 모형은 중심적인 쿨롱 퍼텐셜이 아닌 평균 퍼텐셜을 가정하므로, ''ℓ''+''s'' 및 ''ℓ''-''s'' 핵 상태로 들어가는 핵자들은 각 궤도 내에서 축퇴 에너지 준위로 간주된다(예: 2p_3/2는 4개의 핵자를 포함하며 모두 동일한 에너지를 갖는다. 에너지적으로 더 높은 것은 2p_1/2이며 두 개의 동일한 에너지 핵자를 포함한다).

참조

_[1] 서적 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[2] 서적 Quanta: A handbook of concepts Oxford University Press
_[3] 서적 Quantum Mechanics John Wiley
_[4] 웹사이트 The Russell Saunders Coupling Scheme http://chemwiki.ucda[...] 2015-12-26
_[5] 서적 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[6] 서적 Physics of Atoms and Molecules https://archive.org/[...] Longman
_[7] 서적 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[8] 서적 Quanta: A handbook of concepts Oxford University Press
_[9] 서적 Atomic Spectra and Atomic Structure https://archive.org/[...] Dover
_[10] 간행물 Atomic Spectra and Atomic Structure Dover

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