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계수 (선형대수학)

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목차

1. 개요

계수는 선형대수학에서 선형 변환 또는 행렬의 중요한 속성으로, 선형 변환의 상의 차원 또는 행렬의 열공간(또는 행공간)의 차원을 의미한다. 체 K 위의 벡터 공간 V에서 V로의 선형 변환 T의 계수는 T(V)의 차원이며, m×n 행렬 A의 계수는 여러 가지 방법으로 정의되며 열공간, 행공간, 열벡터의 선형 독립 집합, 행벡터의 선형 독립 집합, 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수 등으로 정의될 수 있다. 선형 사상의 계수는 상의 차원으로 정의되며, 계수-퇴화 차수 정리가 성립한다. 계수는 가우스 소거법, 특이값 분해, QR 분해 등을 통해 계산할 수 있으며, 선형 방정식의 해의 개수, 제어 가능성 및 관측 가능성, 통신 복잡도 등 다양한 분야에 응용된다.

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계수 (선형대수학)
정의
정의행렬의 열 공간의 차원
기호rank(A)
rk(A)
rank A
속성
행렬의 계수행 공간의 차원과 같음
계산가우스 소거법을 사용하여 계산 가능
선형 방정식선형 방정식의 해 공간과 관련됨
영어
영어 명칭rank

2. 정의

체 K 위의 벡터 공간 V 위의 선형 변환 T\colon V\to V의 '''계수''' \operatorname{rank}T는 T의 상의 차원이다.

:\operatorname{rank}T=\dim T(V)\in\operatorname{Card}

체 K 위의 m\times n 행렬 A의 '''계수''' \operatorname{rank}A는 다음과 같은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.


  • 열벡터의 왼쪽에 A를 곱하는 선형 변환 A\cdot\colon K^n\to K^m의 계수. 즉, 열공간의 차원.
  • :\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\cdot)=\dim\{Ax\colon x\in K^n\}=\dim\operatorname{Span}\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n
  • 행벡터의 오른쪽에 A를 곱하는 선형 변환 \cdot A\colon K^m\to K^m의 계수. 즉, 행공간의 차원.
  • :\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(\cdot A)=\dim\{x^\operatorname TA\colon x\in K^m\}=\dim\operatorname{Span}\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m
  • 열벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수. 즉, 열벡터로 이루어진 선형 독립 집합 가운데, 열벡터를 하나라도 더 추가하면 선형 종속 집합이 되는 것의 원소 개수. 이러한 집합은 항상 존재하며, 일반적으로 유일하지 않다. 그러나 이러한 집합들의 원소 개수는 항상 같다.
  • :\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\}),\;\forall s\in\{(A_{1j},\dots,A_{mj})\}_{j=1}^n\colon s\in\operatorname{Span}(S))
  • 행벡터 집합의 극대 선형 독립 집합의 원소 개수.
  • :\operatorname{rank}A=|S|\qquad(S\subseteq\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m,\;\forall s\in S\colon s\not\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\}),\;\forall s\in\{(A_{i1},\dots,A_{in})\}_{i=1}^m\colon s\in\operatorname{Span}(S))
  • 0이 아닌 소행렬식의 최대 차수
  • :\operatorname{rank}A=\max\

2. 1. 선형 사상의 계수

체 K 위의 벡터 공간 V에서 W로의 선형 사상 f의 '''계수'''(rank)는 f의 상 f(V)의 차원으로 정의된다.[6][7][8][9] V나 W가 유한 차원이라면, 행렬 표현을 통해 f는 표현 행렬 A_f의 공액류에 대응된다. 이때, 선형 사상의 계수와 행렬의 계수는 다음 관계를 갖는다.

:\operatorname{rank} f = \operatorname{rank} A_f

이는 정칙 행렬을 곱하는 것에 대해 불변이므로, 표현 행렬 A_f의 선택에 의존하지 않는다.

벡터 공간 V, W에 대해 V가 n 차원일 때, 선형 사상 f\colon V \to W의 계수는 n 이하이다. 만약 \operatorname{rank} f = n이면, 선형 사상 f는 '''비퇴화'''(non-degenerate, full rank)라고 불린다. 그렇지 않은 경우, 상 f(V)는 f에 의해 0으로 사상되는 원소만큼 "뭉개져" 있다고 생각할 수 있다. 이때, 선형 사상 f의 핵

:\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\}

의 차원 \dim \ker f를 f의 '''퇴화 차수'''라고 부르며, \operatorname{nl} f나 \operatorname{null} f 등으로 나타낸다. 다음의 '''계수-퇴화 차수 공식'''이 성립한다.

: \dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f.

3. 성질


  • m \times n 행렬의 계수는 음이 아닌 정수이며 \min(m, n) 이하이다.
  • 영행렬의 계수는 0이다.
  • A가 나타내는 선형 사상이 단사 함수이기 위한 필요충분조건은 \operatorname{rank}A=n이다.
  • A가 나타내는 선형 사상이 전사 함수이기 위한 필요충분조건은 \operatorname{rank}A=m이다.
  • A가 정사각 행렬일 때, A가 가역 행렬이기 위한 필요충분조건은 \operatorname{rank}A=n이다.
  • 행렬의 곱의 계수는 각 행렬의 계수의 최솟값을 넘지 않는다. 즉, m \times n 행렬 A 및 n \times p 행렬 B에 대하여, 다음이 성립한다.

:\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}

  • 실베스터 부등식(실베스터 부등식): m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B에 대하여, 다음이 성립한다.[22]

:\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n

  • 프로베니우스 부등식(프로베니우스 부등식): m\times n 행렬 A 및 n\times p 행렬 B 및 p\times q 행렬 C에 대하여, 다음이 성립한다.
  • :\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B
  • 실수체 \mathbb R 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다.
  • :\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^\operatorname T

=\operatorname{rank}(A^\operatorname TA)=\operatorname{rank}(AA^\operatorname T)

  • 복소수체 \mathbb C 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음이 성립한다.
  • :\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\bar A=\operatorname{rank}A^\operatorname T=\operatorname{rank}A^*

=\operatorname{rank}(A^*A)=\operatorname{rank}(AA^*)

3. 1. 계수-퇴화차수 정리

체 K 위의 m\times n 행렬 A에 대하여, 다음의 계수-퇴화차수 정리(en)가 성립한다.

:\dim\ker A+\operatorname{rank}A=n

계수-퇴화차수 정리는 선형 매핑의 계수는 n에서 f의 커널의 차원을 뺀 값과 같다는 것을 의미한다.

벡터 공간 V, W에 대해 V가 n 차원이라고 하면, 선형 사상 f\colon V \to W의 계수는 n 이하이다. 실제로, \operatorname{rank} f = n이 될 때, 선형 사상 f는 '''비퇴화'''(en)라고 한다. 그렇지 않을 때에는, 상 f(V)는 f에 의해 0으로 사상되는 원소만큼 "뭉개져" 있다고 생각할 수 있으며, 선형 사상 f의 핵

:\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\}

의 차원 \dim \ker f를 f의 '''퇴화 차수'''라고 부른다. f의 퇴화 차수는 \operatorname{null} f 등으로 나타낸다. 다음 공식

: \dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f

가 성립하며, '''계수와 퇴화 차수의 관계식''' 또는 간단히 '''계수-퇴화 차수 공식''' 등으로 불린다.[1]

4. 계산

가우스 소거법은 행렬의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법 중 하나이다. 가우스 소거법을 통해 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 변하지 않는다. 이때 0이 아닌 행의 개수가 행렬의 계수가 된다.

예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬을 보자.

:

A =

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 1 & 3 \\


  • 1 & -2 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 2 \\

3 & 6 & 2 & 5 \\

\end{bmatrix}



이 행렬에서 첫 번째 열과 세 번째 열은 선형독립이지만, 두 번째 열은 첫 번째 열의 두 배이고, 네 번째 열은 첫 번째 열과 세 번째 열의 합과 같다. 따라서 A의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}



여기서 0이 아닌 행이 두 개임을 확인할 수 있다.

컴퓨터에서 부동소수점 연산을 할 때 가우스 소거법은 오차가 발생할 수 있다. 이런 문제를 해결하기 위해 특이값 분해(SVD)를 사용하여 계수를 계산하거나, 가우스 소거법보다 안정적이고 특이값 분해보다는 빠른 QR 분해를 사용할 수도 있다.

5. 응용

행렬의 계수는 선형 방정식계의 해의 개수를 계산하는 데 사용될 수 있다. 루셰-카펠리 정리에 따르면, 첨가 행렬의 계수가 계수 행렬의 계수보다 크면 그 시스템은 모순된다. 반면에 이 두 행렬의 계수가 같으면 시스템은 적어도 하나의 해를 가져야 한다. 해는 계수가 변수의 수와 같을 때에만 유일하다. 그렇지 않으면 일반 해는 k개의 자유 매개변수를 가지는데, 여기서 k는 변수의 수와 계수의 차이이다. 이 경우 (그리고 선형 방정식계가 실수 또는 복소수라고 가정하면) 선형 방정식계는 무한히 많은 해를 갖는다.

제어 이론에서 행렬의 계수는 선형 시스템이 제어 가능하거나 관측 가능한지 여부를 결정하는 데 사용할 수 있다.

통신 복잡도 분야에서 함수의 통신 행렬의 계수는 두 당사자가 함수를 계산하는 데 필요한 통신의 양에 대한 경계를 제공한다.

참조

[1] Harvard citation text
[2] Harvard citation text
[3] 서적 Algebra
[4] 간행물 A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix
[5] Harvard citation text
[6] Harvard citation text
[7] Harvard citation text
[8] Harvard citation text
[9] Harvard citation text
[10] 간행물 Row Rank Equals Column Rank
[11] 서적 Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics Chapman and Hall/CRC 2014
[12] 문서
[13] 문서
[14] 서적 An introduction to linear algebra Dover Publications
[15] 서적 Algebra
[16] 간행물 A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix
[17] 서적 なっとくする数学記号 講談社 2021
[18] 간행물 Row Rank Equals Column Rank
[19] 서적 Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics Chapman and Hall/CRC 2014
[20] 서적 An introduction to linear algebra Dover Publications
[21] 서적 최신선형대수 학술정보 2004
[22] 문서


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