단사 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 매장 (Embedding)
6. 역사
참조

1. 개요

단사 함수는 두 집합 X, Y 사이의 함수 f: X → Y에 대해, f(x) = f(x')이면 x = x'이거나, x ≠ x'이면 f(x) ≠ f(x')인 함수를 의미한다. 이는 "다른 것은 사상 후에도 다르다" 또는 "같은 것은 사상되기 전부터 같다"는 의미를 갖는다. 단사 함수는 기호 ↣ 또는 ↪으로 표시하며, 합성 함수의 성질과 집합의 크기 관계를 통해 특징지을 수 있다. 또한, 왼쪽 역함수를 가지며, 매장(embedding)과 밀접한 관련이 있다.

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항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
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단사 함수
정의
설명	수학에서 단사 함수(單射函數, 영어: injective function, one-to-one function)는 정의역의 서로 다른 원소에 대해 공역에서 서로 다른 상(像)을 갖는 함수이다. 다시 말해, 정의역의 임의의 두 원소 x1과 x2에 대해, f(x1) = f(x2)이면 x1 = x2인 함수이다. 단사 함수는 일대일 함수라고도 불린다.
성질
특징	함수 f가 단사 함수일 필요충분조건은 f가 왼쪽 소거 법칙을 만족시키는 것이다. 즉, 함수 g와 h에 대해 f ∘ g = f ∘ h이면 g = h이다. 함수 f가 단사 함수일 필요충분조건은 f가 단사 사상인 것이다. 함수 f: X → Y가 단사 함수라면, X의 크기는 Y의 크기보다 작거나 같다. X와 Y가 유한 집합이라면, 함수 f: X → Y가 단사 함수일 필요충분조건은 f가 전사 함수인 것이다. 함수 f: X → Y가 단사 함수이고, 함수 g: Y → Z가 단사 함수라면, 합성 함수 g ∘ f: X → Z 역시 단사 함수이다. 함수 f: X → Y에 대해, 함수 g: Y → X가 존재하여 g ∘ f가 X 위의 항등 함수라면, f는 단사 함수이다. 이 경우 g를 f의 왼쪽 역함수라고 한다.
관련 용어
다른 이름	injection (영어) injective mapping (영어) one-to-one mapping (영어) 일대일 함수 단사 사상
반대 개념	전사 함수
관련 개념	전단사 함수
예시
예시 1	실수 집합에서 실수 집합으로의 함수 f(x) = x²는 단사 함수가 아니다. 왜냐하면 f(1) = f(-1)이지만 1 ≠ -1이기 때문이다.
예시 2	실수 집합에서 실수 집합으로의 함수 f(x) = x³는 단사 함수이다. 왜냐하면 f(x1) = f(x2)이면 x1³ = x2³이고, 따라서 x1 = x2이기 때문이다.
예시 3	집합 X에서 집합 Y로의 함수 f가 상수 함수라면, 즉 Y의 어떤 원소 y에 대해 모든 x ∈ X에 대하여 f(x) = y라면, \|X\| > 1일 경우 f는 단사 함수가 아니다.

2. 정의

두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 '''단사 함수'''라고 한다.

임의의 $x,x'\in X$ 에 대하여, 만약 $f(x)=f(x')$ 이라면, $x=x'$ 이다.
임의의 $x,x'\in X$ 에 대하여, 만약 $x\ne x'$ 이라면, $f(x)\ne f(x')$ 이다.
$f$ 를 그 치역 $f(X)$ 에 국한시킨다면, $f$ 는 정의역 $X$ 와 치역 $f(X)$ 사이의 전단사 함수를 정의한다.
$f$ 는 집합의 범주에서의 단사 사상이다. 즉, 임의의 집합 $Z$ 및 함수 $g_1,g_2\colon Z\to X$ 에 대하여, 만약 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 라면 $g_1=g_2$ 이다.
$f$ 는 집합의 범주에서의 분할 단사 사상이다. 즉, $g\circ f$ 가 $X$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다.

f

를 정의역이 집합

X

인 함수라고 하자. 함수

f

는

X

에 있는 모든

a

와

b

에 대해,

f(a) = f(b)

이면

a = b

일 경우, 즉,

f(a) = f(b)

는

a=b

를 의미할 경우 '''단사 함수'''라고 한다. 동등하게,

a \neq b

이면, 대우 명제에서

f(a) \neq f(b)

이다.

기호로,

:

\forall a,b \in X, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b,

는 대우 명제와 논리적으로 동일하며,^[4]

:

\forall a, b \in X, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b).

3. 성질

임의의 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때:
f와 g가 모두 단사 함수라면, g∘f 역시 단사 함수이다.
g∘f가 단사 함수라면, f 역시 단사 함수이다. 하지만 g가 단사 함수일 필요는 없다.
두 집합 X, Y에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
단사 함수 f: X → Y가 존재한다.
|X|≤|Y|이다. 여기서 |·|는 집합의 크기이다.
정의역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.
임의의 집합 X와 임의의 부분 집합 S ⊆ X에 대해, 포함 사상 S → X (임의의 원소 s ∈ S를 그 자체로 보냄)은 단사 함수이다. 특히, 항등 함수 X → X는 항상 단사 함수이며 (사실 전단사 함수이다).
함수의 정의역이 공집합이면, 그 함수는 공함수이며, 단사 함수이다.
함수의 정의역이 하나의 원소를 가지면 (즉, 단일 집합이면), 그 함수는 항상 단사 함수이다.
f(x) = 2x + 1로 정의된 함수 f : ℝ → ℝ는 단사 함수이다.
g(x) = x²로 정의된 함수 g : ℝ → ℝ는 단사 함수가 아니다. 예를 들어, g(1) = 1 = g(-1)이기 때문이다. 그러나 g의 정의역이 음이 아닌 실수 [0,+∞)로 재정의되면, g는 단사 함수가 된다.
exp(x) = e^x로 정의된 지수 함수 exp : ℝ → ℝ는 단사 함수이다 (그러나 전사 함수는 아니다. 왜냐하면 음수에 대응되는 실수 값이 없기 때문이다).
x ↦ ln x로 정의된 자연 로그 함수 ln : (0, ∞) → ℝ는 단사 함수이다.
g(x) = xⁿ - x로 정의된 함수 g : ℝ → ℝ는 단사 함수가 아니다. 예를 들어, g(0) = g(1) = 0이기 때문이다.
왼쪽 역함수를 갖는 함수는 항상 단사 함수이다.
단사의 제한은 단사이다.
두 단사 합성은 단사이다.^[8]
두 사상의 합성 f∘g가 단사이면, g는 단사이다.^[8]
사상 f가 단사라는 것은 다음의 보편성에 의해 특징지어진다.
f∘g = f∘h를 만족하는 임의의 사상 g, h: Z → X에 대해, g = h이다.
만약 X와 Y가 모두 같은 수의 원소를 가진 유한 집합이면, f : X → Y는 f가 전사 함수일 필요충분조건이다 (이 경우 f는 전단사 함수이다).

4. 예

항등 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
임의의 집합 $X$ 및 그 부분 집합 $Y\subset X$ 에 대하여, 포함 함수 $Y\to X$ 는 단사 함수이다. 포함 사상은 '자연 단사' 또는 '표준 단사'라고도 불린다.
$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x+1$ 로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
$g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g(x)=x^2$ 으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 $g(1)=1=g(-1)$ 이다. 그러나 $g$ 의 정의역을 음이 아닌 실수 $[0,+\infty)$ 로 제한한다면 $g$ 는 단사 함수이다.
지수 함수 $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto e^x$ 는 단사 함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 전사 함수가 아니다.)
자연 로그 함수 $\ln\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ x\mapsto\ln x$ 는 단사 함수이다.
집합 $X$ 에서 그 멱집합 $\mathcal{P}(X)$ 으로의 사상을 $x \mapsto \{x\}$ 로 정의하면, 이 사상은 단사가 된다.

5. 매장 (Embedding)

대수적 구조를 갖는 두 집합 ''A'', ''B'' 사이의 준동형 사상 ''f''의 상 ''f''(''A'')는 ''B''의 부분계가 된다. 만약 ''f'': ''A'' → ''B''가 단사 함수라면, 공역을 제한하여 얻는 사상 ''f'': ''A'' → ''f''(''A'')는 전단사 함수가 되므로, 그 역함수가 정해진다. 이것이 또한 준동형 사상이라면, ''A''는 ''B''의 부분계와 동형이 됨을 의미한다. 이 동형을 동일시하여 ''A''가 원래 ''B''의 부분계인 것처럼 취급할 때, '''매장'''이라고 부른다. 군·환 등의 준동형 사상은 전단사 함수라면 동형이므로, 단사 준동형 사상을 구하는 것과 매장을 생각하는 것은 같다. 더 일반적인 수학적 구조와 그들 사이의 준동형 사상·사상을 생각할 때에는 역함수의 준동형성을 신경 쓸 필요가 있다. 예를 들어 위상 공간 사이의 전단사 연속 사상은 위상 동형 사상이라고는 할 수 없다(역함수가 연속이라고는 할 수 없다).

''A''에서 ''B''로의 매장은 일반적으로 하나로 정해지지 않는다. 예를 들어 ''A''가 처음부터 ''B''의 부분계일 때, 포함 함수는 하나의 매장을 제공하지만, 그 외의 사상에 의해 ''A''가 ''B''에 매장될 수도 있다.

6. 역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"(injection^영어), "앵젝시옹"(injection^프랑스어) 등은 "이니엑티오"(iniectiō^la)에서 유래하였으며, 이는 "인"(in|^la, 안에) + "야키오"(iaciō^la, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

참조

_[1] 웹사이트 Chapter 1:Relations and functions https://ncert.nic.in[...] 2023-12-26
_[2] 웹사이트 Injective, Surjective and Bijective https://www.mathsisf[...] 2019-12-07
_[3] 웹사이트 Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves https://stacks.math.[...] 2019-12-07
_[4] 웹사이트 Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections 2019-12-06
_[5] 웹사이트 What are usual notations for surjective, injective and bijective functions? https://math.stackex[...] 2024-11-24
_[6] 웹사이트 Proving Functions One-to-One http://www.math.csus[...] 1996-08-21
_[7] 문서 後者から前者は[[直観主義論理]]においても導くことができるが、前者から後者を導くには[[背理法]]（もしくは[[排中律]]や[[二重否定除去]]など）を必要とする。
_[8] 간행물 Bourbaki 2004
_[9] 서적 Discrete Mathematics with Applications 4th Edition 2010

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