단조 수렴 정리
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목차
1. 개요
단조 수렴 정리는 측도 공간에서 음이 아닌 가측 함수의 수열이 점별로 수렴할 때, 극한 함수가 가측 함수이고 적분의 극한이 적분의 극한과 같다는 정리이다. 이 정리는 르베그 적분 이론의 핵심적인 내용으로, 파투의 보조정리, 지배 수렴 정리, 푸비니 정리를 유도하는 데 사용된다. 베포 레비가 1906년 앙리 르베그의 결과를 일반화하여 증명했으며, 실해석학, 측도론, 확률론 등 다양한 분야에서 활용된다.
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| 단조 수렴 정리 | |
|---|---|
| 단조 수렴 정리 | |
| 정의 | 유계인 단조 수열은 반드시 수렴한다. |
| 유형 | 단조 증가 수열 단조 감소 수열 |
| 관련 개념 | |
| 상한 | 단조 증가 수열이 수렴하는 값 |
| 하한 | 단조 감소 수열이 수렴하는 값 |
| 활용 | |
| 예시 | 특정 알고리즘의 수렴 증명 |
| 중요성 | 해석학에서 기본적인 정리 중 하나 |
2. 정의
측도 공간 위의 음이 아닌 가측 함수 열 () 및 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
- (증가 함수열) 임의의 및 에 대하여, 이다.
- (점별 수렴) 임의의 에 대하여, 이다.
이때, 단조 수렴 정리에 따르면 다음이 성립한다.[10]
- 는 가측 함수이다.
이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수 열 에 대하여, 다음이 성립한다.
- 는 가측 함수이다.
2. 1. 기본 개념
측도 공간한국어 $(X, \Sigma, \mu)$는 집합 $X$, $X$의 부분집합들의 시그마 대수 $\Sigma$, 그리고 $\Sigma$ 위에서 정의된 측도 $\mu$로 이루어진 공간이다.[1]모든 $a \in [0, \infty]$에 대해 $f^{-1}([0, a]) \in \Sigma$를 만족하는 함수 $f: X \to [0, \infty]$를 가측 함수라고 한다.[1]
모든 $n$과 $x \in X$에 대해 $f_n(x) \le f_{n+1}(x)$를 만족하는 함수열 $\{f_n\}$을 단조 증가 함수열이라고 한다.[1]
모든 $x \in X$에 대해 $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$를 만족하는 함수열 $\{f_n\}$은 함수 $f$로 점별 수렴한다고 한다.[1]
2. 2. 정리의 내용 (르베그 단조 수렴 정리)
측도 공간 위의 음이 아닌 가측 함수 열 () 및 함수 가 다음을 만족한다고 가정한다.- (증가 함수열) 임의의 및 에 대하여,
- (점별 수렴) 임의의 에 대하여,
이때, '''르베그 단조 수렴 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.[10]
- 는 가측 함수이다.
이는 다음과 같은 정리와 동치이다. 측도 공간 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수 열 에 대하여, 다음이 성립한다.
- 는 가측 함수이다.
3. 증명
실수의 유계 위로 단조 증가하는 수열은 상한이 존재하고 실수이므로 실수에서 수렴한다. 이 명제는 유리수에는 적용되지 않는데, 유리수 수열의 상한이 무리수일 수 있기 때문이다.
(A) 실수 수열 ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K<\infty }$가 증가하고 위로 유계일 경우, 극한 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}}$이 존재하며, 이는 수열의 상한과 같다.
: ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}=\sup_{n}a_{n}\leq K}$.
(B) 실수 수열 ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq L>-\infty }$가 감소하고 아래로 유계일 경우, 극한 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}}$이 존재하며, 이는 수열의 하한과 같다.
: ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}=\inf_{n}a_{n}\geq L}$.
${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$을 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$의 값들의 집합이라고 하자. 가정에 의해, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$은 공집합이 아니고 ${\displaystyle K}$에 의해 위로 제한된다. 상한 공리에 의해, ${\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$이 존재하고 ${\displaystyle c\leq K}$이다. 이제 모든 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해, ${\displaystyle c\geq a_{N}>c-\varepsilon }$인 ${\displaystyle N}$이 존재한다. 그렇지 않다면 ${\displaystyle c-\varepsilon }$은 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 엄격하게 더 작은 상한이 되어, 상한 ${\displaystyle c}$의 정의에 모순되기 때문이다. 그런 다음 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 감소하지 않고, ${\displaystyle c}$는 상한이므로, 모든 ${\displaystyle n>N}$에 대해 다음이 성립한다.
: ${\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}=|c-a_{N}|<\varepsilon }$.
따라서, 정의에 의해 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_{n}=c=\sup _{n}a_{n}}$이다.
(B) 부분의 증명은 유사하거나 ${\displaystyle \{-a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$을 고려하여 (A)로부터 따른다.
만약 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 단조 수열 (즉, 모든 ${\displaystyle n\geq 1}$에 대해 ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$ 또는 모든 ${\displaystyle n\geq 1}$에 대해 ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$을 만족하는 실수의 수열)이라면, 이 수열은 유계일 필요충분 조건일 때 유한 극한을 갖는다.[1]
- "만약"-방향: 증명은 명제로부터 직접적으로 따른다.
- "충분"-방향: 극한의 (ε, δ)-정의에 의해, 유한 극한 ${\displaystyle L}$을 갖는 모든 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 필연적으로 유계이다.
위 명제의 변형으로 확장된 실수, 즉 ${\displaystyle \infty }$와 ${\displaystyle -\infty }$가 추가된 실수에서 무제한 수열을 허용할 수 있다.
: ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$
확장된 실수에서는 모든 집합이 상한 (또는 하한)을 가지며, 집합이 무제한인 경우 당연히 ${\displaystyle \infty }$ (또는 ${\displaystyle -\infty }$)일 수 있다. 확장된 실수의 중요한 용도는 모든 비음수 ${\displaystyle a_{i}\geq 0,i\in I}$ 집합이 잘 정의된 합, 즉 순서에 독립적인 합을 가진다는 것이다.
: ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$
여기서 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}}$는 상부 확장된 비음수 실수이다. 비음수 수열의 경우
: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},}$
따라서 이 합은 둘 다 정의되어 있다면 수열의 합과 일치한다. 특히 비음수 수열의 합은 합산 순서에 의존하지 않는다.
자연수 ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle k}$로 인덱싱된 음이 아닌 실수 ${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$의 수열이 주어졌다고 하자. 모든 ${\displaystyle i,k}$에 대해 ${\displaystyle a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$이라고 가정한다면,[2]
: ${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.}$
${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$이므로, ${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$이고, 따라서 ${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$이다.
반대로, 극한 정의로 돌아가면, 유한 합에 대해 sup와 합을 바꿀 수 있으므로,
${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$이고, 따라서 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$이다.
다음 결과는 위에서 언급한 음이 아닌 합의 단조 수렴 정리를 측도론적 설정으로 일반화한 것이다. 이 정리는 측도 및 적분 이론의 초석이며, 많은 응용 분야를 가지고 있으며, 파투의 보조정리와 지배 수렴 정리를 직접적인 결과로 갖는다. 이 정리는 베포 레비(Beppo Levi)의 것으로, 그는 1906년에 앙리 르베그(Henri Lebesgue)의 이전 결과를 약간 일반화하여 증명했다.
${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _={\mathcal {B}}([0,+\infty ])}$를 윗쪽으로 확장된 음이 아닌 실수 ${\displaystyle [0,+\infty ]}$에 대한 보렐 집합의 ${\displaystyle \sigma }$-대수라고 하자. 정의에 따르면, ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _}$는 집합 ${\displaystyle \{+\infty \}}$와 ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$의 모든 보렐 부분 집합을 포함한다.
${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$를 측도 공간, ${\displaystyle X\in \Sigma }$를 가측 집합이라고 하자. ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$을 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$-가측 함수의 점별 감소하지 않는 수열이라고 하자. 즉, 각 함수 ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$는 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$-가측이고, 모든 ${\displaystyle {k\geq 1}}$ 및 모든 ${\displaystyle {x\in X}}$에 대해
: ${\displaystyle 0\leq \ldots \leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \ldots \leq \infty }$.
그러면 점별 상한
: ${\displaystyle \sup _{k}f_{k}:x\mapsto \sup _{k}f_{k}(x)}$
는 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$-가측 함수이고,
: ${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\sup _{k}f_{k}\,d\mu }$.
'''참고 1.''' 적분과 상한은 유한하거나 무한할 수 있지만, 좌변이 유한할 필요충분조건은 우변이 유한한 것이다.
'''참고 2.''' 정리의 가정하에서,
두 번째 일련의 등식은 적분의 단조성(아래의 보조 정리 2)으로부터 따른다는 점에 유의하십시오. 따라서 정리의 결론을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}(x)\,d\mu (x)=\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,d\mu (x)}$
여기서 극한은 무한할 수 있다는 암묵적인 이해가 있다.
'''참고 3.''' 정리의 가정이 ${\displaystyle \mu }$-거의 어디서나 성립하는 경우에도 정리는 여전히 참이다. 즉, 수열 ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 모든 ${\displaystyle {x\in X\setminus N}}$에 대해 감소하지 않는 영 집합 ${\displaystyle N}$이 있으면 충분하다. 이것이 참인 이유를 알아보려면, 수열 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$이 거의 어디서나 점별 감소하지 않도록 하면 점별 극한 ${\displaystyle f}$가 일부 영 집합 ${\displaystyle N}$에서 정의되지 않게 된다는 관찰부터 시작한다. 해당 영 집합에서 ${\displaystyle f}$는 임의로 정의될 수 있으며, 예를 들어 0으로, 또는 가측성을 유지하는 다른 방식으로 정의될 수 있다. 이것이 정리의 결과에 영향을 미치지 않는 이유를 알기 위해서는 ${\displaystyle {\mu (N)=0}}$이므로 모든 ${\displaystyle k}$에 대해
: ${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$ 및 ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu }$,
${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-가측인 경우에 한한다.[5] (이 등식은 음이 아닌 함수에 대한 르베그 적분의 정의에서 직접적으로 따른다).
'''참고 4.''' 아래의 증명은 여기서 확립된 르베그 적분의 속성을 사용하지 않는다. 따라서 정리는 르베그 적분과 관련된 선형성과 같은 다른 기본 속성을 증명하는 데 사용할 수 있다.
이 증명은 파투의 보조정리에 ''의존하지'' 않는다. 하지만, 해당 보조정리가 어떻게 사용될 수 있는지 설명한다. 이 증명의 독립성에 관심이 없는 분들은 아래의 중간 결과들을 건너뛸 수 있다.
세 가지 기본 보조 정리가 필요하다. 아래 증명에서, 우리는 르베그 적분의 단조성을 비음수 함수에만 적용한다. 구체적으로 (참고 4 참조),
'''보조정리 1.''' 함수 ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$가 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$-가측이라고 하자.
- 만약 ${\displaystyle f\leq g}$가 ${\displaystyle X}$의 모든 곳에서 성립한다면,
: ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu }$.
- 만약 ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$이고 ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2}}$이면,
: ${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu }$.
'''증명.''' ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$를 ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$가 ${\displaystyle X}$의 모든 곳에서 성립하는 단순 함수 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-가측 함수 ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$의 집합으로 나타낸다.
'''1.''' ${\displaystyle f\leq g}$이므로,
${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g),}$
이고, 따라서
: ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu }$.
'''2.''' 함수 ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}},f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}},}$ 여기서 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{i}}}$는 ${\displaystyle X_{i}}$의 지시 함수이고, 가측이고 ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}}}$임을 쉽게 알 수 있다. 이제 '''1'''을 적용한다.
${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}}}$라고 쓰고, ${\displaystyle c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$이며 가측 집합 ${\displaystyle A_{k}\in \Sigma }$라고 하자. 그러면
: ${\displaystyle \nu _{s}(S)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (S\cap A_{k}).}$
가산 가법 집합 함수의 유한 양의 선형 결합은 가산 가법이므로, ${\displaystyle \nu _{s}}$의 가산 가법성을 증명하려면, ${\displaystyle \nu _{A}(S)=\mu (A\cap S)}$로 정의된 집합 함수가 모든 ${\displaystyle A\in \Sigma }$에 대해 가산 가법임을 증명하는 것으로 충분하다. 그러나 이것은 ${\displaystyle \mu }$의 가산 가법성으로부터 직접적으로 따른다.
${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$로 놓고,
가산 개의 서로소인 가측 집합들의 합집합으로 ${\displaystyle S=\coprod _{1\leq i}S_{i}\setminus S_{i-1}}$을 분해하고, 유한 개의 서로소인 집합들의 합집합으로 ${\displaystyle S_{k}=\coprod _{1\leq i\leq k}S_{i}\setminus S_{i-1}}$을 분해한다. 따라서
${\displaystyle \mu (S_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$이고, ${\displaystyle \mu (S)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$이므로 ${\displaystyle \mu (S)=\sup _{k}\mu (S_{k})}$이다.
${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$라고 하자.
${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$를 ${\displaystyle X\to [0,\infty )}$인 단순한 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-가측 함수 집합으로, ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$을 만족하는 함수들의 집합으로 정의한다.
'''단계 1.''' 함수 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$–가측이며, 적분 ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$는 잘 정의된다(무한대일 수도 있지만)[5]
${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq \infty }$에서 ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq \infty }$를 얻는다. 따라서 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _)}$-가측임을 보여야 한다. 이를 보이기 위해, ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$가 모든 ${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$에 대해 ${\displaystyle \Sigma }$-가측임을 증명하는 것으로 충분하다. 왜냐하면, 간격 ${\displaystyle [0,t]}$는 보완과 가산 교집합, 여집합, 가산 합집합을 통해 확장된 음이 아닌 실수 ${\displaystyle [0,\infty ]}$에 대한 보렐 시그마 대수를 생성하기 때문이다.
이제 ${\displaystyle f_{k}(x)}$가 감소하지 않는 수열이므로,
${\displaystyle f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t}$는 모든 ${\displaystyle k}$에 대해 ${\displaystyle f_{k}(x)\leq t}$일 필요충분조건이다. 이미 ${\displaystyle f\geq 0}$이고 ${\displaystyle f_{k}\geq 0}$임을 알고 있으므로,
: ${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t])}$.
따라서 ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$는 가측 집합이다.
가측 집합 ${\displaystyle f_{k}^{-1}([0,t])}$의 가산 교집합이기 때문이다.
${\displaystyle f\geq 0}$이므로 적분은 잘 정의된다(하지만 무한대일 수 있다).
: ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}\int _{X}s\,d\mu }$.
'''단계 2.''' 다음 부등식이 성립한다.
: ${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu }$
이것은 모든 ${\displaystyle k}$에 대해 ${\displaystyle \int _{X}f_{k}(x)\,d\mu \leq \int _{X}f(x)\,d\mu }$와 동등하며, 이는 ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}$와 "적분의 단조성" (보조정리 1)에서 직접적으로 유도된다.
'''단계 3''' 다음 역 부등식이 성립한다.
: ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$
적분을 상한으로 정의하면, 단계 3은 다음과 동등하다.
: ${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$
모든 ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$에 대해.
${\displaystyle k>K_{s}}$가 충분히 클 때 ${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu }$임을 증명하는 것은 유혹적이지만, 예를 들어 ${\displaystyle f}$ 자체가 단순하고 ${\displaystyle f_{k}
단계 3은 또한 다음과 동등하다.
: ${\displaystyle (1-\varepsilon )\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$
모든 단순 함수 ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$와 모든 ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$에 대해
여기서 등식에 대해서는 부등식의 좌변이 유한 합임을 사용했다. 이것을 증명할 것이다.
주어진 ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ 및 ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$에 대해, 다음을 정의한다.
: ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\{x\in X\mid (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X}$.
다음의 명제를 '''주장'''한다. 집합 ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$는 다음 성질을 가진다.
# ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$는 ${\displaystyle \Sigma }$-가측이다.
# ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }\subseteq B_{k+1}^{s,\varepsilon }}$
# ${\displaystyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,\varepsilon }}$
주장을 가정하면, ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$의 정의와 "르베그 적분의 단조성" (보조정리 1)에 의해 다음을 얻는다.
: ${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu }$.
따라서 "단순 함수의 르베그 적분을 측도로서" (보조정리 2)와 "아래로부터의 연속성" (보조정리 3)에 의해 다음을 얻는다.
: ${\displaystyle \sup _{k}\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.
이것을 증명하려고 했다. 따라서 주장을 증명하는 것이 남았다.
1에 대하여: ${\displaystyle s=\sum _{1\leq i\leq m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$로 쓴다. 여기서 ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$은 음이 아닌 상수이고, ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$는 가측 집합이며, 이 집합은 서로소이며 합집합 ${\displaystyle \textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}}$를 이룬다고 가정할 수 있다. 그러면 ${\displaystyle x\in A_{i}}$에 대해 ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)}$는 ${\displaystyle f_{k}(x)\in [(1-\varepsilon )c_{i},\,\infty ]}$일 필요충분조건이므로
: ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\coprod _{i=1}^{m}\Bigl (f_{k}^{-1}\Bigl ([(1-\varepsilon )c_{i},\infty ]\Bigr )\cap A_{i}\Bigr )}$
는 ${\displaystyle f_{k}}$가 가측이므로 가측이다.
2에 대하여: ${\displaystyle x\in B_{k}^{s,\varepsilon }}$에 대해 ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}$이므로 ${\displaystyle x\in B_{k+1}^{s,\varepsilon }}$.
3에 대하여: ${\displaystyle x\in X}$를 고정한다. ${\displaystyle s(x)=0}$이면 ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)=0\leq f_{1}(x)}$이므로 ${\displaystyle x\in B_{1}^{s,\varepsilon }}$이다. 그렇지 않으면 ${\displaystyle s(x)>0}$이고 ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)
충분히 커서, ${\displaystyle x\in B_{N_{x}}^{s,\varepsilon }}$이다.
단조 수렴 정리의 증명이 완료되었다.
베포 레비 정리와 유사한 가설 하에서, 단조성 가정을 완화하는 것이 가능하다.[6] 이전과 마찬가지로, ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$를 측도 공간으로, ${\displaystyle X\in \Sigma }$로 정의하자. 다시, ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$는 ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-가측 함수인 음이 아닌 함수 ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$의 수열이다. 하지만, 우리는 이들이 점별로 감소하지 않는다고 가정하지 않는다. 대신, 거의 모든 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$가 수렴한다고 가정하고, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$의 점별 극한으로 정의하며, 모든 ${\displaystyle k}$에 대해 거의 모든 곳에서 ${\displaystyle f_{k}\leq f}$라고 추가로 가정한다. 그러면 ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-가측 함수이며, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$가 존재하고, 다음이 성립한다. ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu }$.
이 증명은 위와 같은 직접적인 증명 대신 파투의 보조정리를 기반으로 할 수도 있는데, 파투의 보조정리가 단조 수렴 정리와 독립적으로 증명될 수 있기 때문이다.
하지만 단조 수렴 정리는 어떤 면에서는 파투의 보조정리보다 더 기본적인 정리이다. 단조 수렴 정리로부터 파투의 보조정리가 쉽게 유도되며, 파투의 보조정리의 증명은 위 증명과 유사하고, 논쟁의 여지가 있지만 약간 덜 자연스럽다.
이전과 마찬가지로, 가측성은 ${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ 가 거의 모든 곳에서 성립한다는 사실로부터 따른다. 그 다음 극한과 적분의 교환은 파투의 보조정리의 쉬운 결과이다. 파투의 보조정리에 의해 다음 부등식이 성립한다. ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$ 그리고 ${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$ (단조성)이므로,
${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu }$. 따라서,
${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.
증가 수열 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$이 위로 유계라면, 수렴하고 그 극한은 ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}$임을 증명한다.
${\displaystyle \{a_{n}\}}$이 공집합이 아니라는 가정에 의해, 위로 유계이므로, 실수의 최소 상계 성질(Least-upper-bound property)로부터, ${\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$가 존재하고, 유한하다. 이제 모든 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon }$인 ${\displaystyle a_{N}}$이 존재함을 알 수 있다. 실제로 그렇지 않다면, ${\displaystyle c-\varepsilon }$는 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 상계가 되지만, 이는 ${\displaystyle c}$가 ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}$라는 사실에 모순된다. 이 때, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$은 증가하므로, ${\displaystyle \forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon }$가 성립하므로, 정의에 의해, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 극한은 ${\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}}$임을 알 수 있다.
이 정리는 상술한 정리를 일반화한 것으로, 여러 단조 수렴 정리 중에서 아마도 가장 중요한 것이다. 베포 레비(Beppo Levi)의 정리라고도 알려져 있다.
(''X'', Σ, ''μ'')를 측도 공간이라고 하자. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$를 [0, ∞] 값을 가지는 Σ-가측 함수의 각 점 비감소 열이라고 하자. 즉, 모든 ''k'' ≥ 1 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대해
: ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\,}$
가 성립한다고 하자. 또한, 이 열 ${\displaystyle (f_{n})}$의 각 점 극한을 ''f''라고 정의하자. 즉, 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대해
: ${\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,}$
가 성립한다고 하자. 이 때 ''f''는 Σ-가측이며,
: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu }$
가 성립한다.
'''주의''' 함수 열 ${\displaystyle (f_{k})}$가 위의 가정을 ''μ''에 관하여 거의 모든 곳에서 만족하지만, ''μ''(''N'') = 0인 집합 ''N'' ∈ Σ에 대해, 모든 ${\displaystyle x\notin N}$에 대해 열 ${\displaystyle (f_{k}(x))}$가 비감소하는 것을 찾을 수 있다. f가 Σ-가측이기 때문에
: ${\displaystyle \int f_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int _{X\backslash N}f_{k}\,\mathrm {d} \mu ,\ \mathrm {and} \ \int f\,\mathrm {d} \mu =\int _{X\backslash N}f\,\mathrm {d} \mu }$
가 모든 ''k''에 대해 성립한다(예를 들어, [9]의 21.38 절을 참조). 이 경우에도 정리의 결과는 참이 된다.
먼저, ''f''가 Σ-가측임을 증명한다(예: [9]의 21.3절 참조). 이 증명을 위해, ''f''에 대한 구간 [0, ''t'']의 원상이 ''X''상의 σ-대수 Σ의 요소임을 보이면 충분하다. 왜냐하면, (닫힌) 구간은 실수상에서 보렐 σ-대수를 생성하기 때문이다. ''I'' = [0, ''t'']을 그러한 [0, ∞]의 부분 구간으로 하자. 또한,
: ${\displaystyle f^{-1}(I)=\{x\in X\,|\,f(x)\in I\}}$
로 둔다. ''I''는 닫힌 구간이고, ${\displaystyle \forall k,f_{k}(x)\leq f(x)}$이므로,
: ${\displaystyle f(x)\in I\Leftrightarrow f_{k}(x)\in I,~\forall k\in \mathbb {N} }$
이 성립한다. 따라서,
: ${\displaystyle \{x\in X\,|\,f(x)\in I\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X\,|\,f_{k}(x)\in I\}}$
가 된다. 이 가산 교집합에 포함된 각 집합은 Σ-가측 함수 ${\displaystyle f_{k}}$에 대한 어떤 보렐 부분 집합의 원상이므로, Σ의 요소이다. 정의에 따르면, σ-대수는 가산 교집합에 대해 닫혀 있으므로, 이는 ''f''가 Σ-가측임을 의미한다. 일반적으로, 가측 함수의 임의의 가산 개의 족의 상한은 가측이다.
이어서, 단조 수렴 정리의 나머지 부분의 증명을 수행한다. ''f''가 Σ-가측이라는 사실은 ${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu }$가 잘 정의되어 있음을 의미한다.
${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \geq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu }$임을 보인다. 르베그 적분의 정의에 의해,
: ${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sup\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,g\leq f\}}$
을 얻는다. 여기서 SF는 ''X''상의 Σ-가측 단순 함수의 집합을 나타낸다. 각 ''x'' ∈ ''X''에서 ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}$이므로,
: ${\displaystyle \left\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int g\,\mathrm {d} \mu \,|\,g\in SF,g\leq f\right\}}$
을 얻는다. 따라서, 부분 집합의 상한은 전체 집합보다 커질 수 없으므로, 다음을 얻는다.
: ${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \geq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu }$.
함수열이 단조이므로, 이 우변의 극한은 존재한다.
이어서, 반대 방향의 부등식이 성립함을 증명한다(이는 파투의 보조정리에 의해 따르기도 한다). 즉,
: ${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \leq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu }$
임을 보인다. 적분의 정의에 의해, 음이 아닌 단조 함수의 비감소열 (''g''''k'')로 ''g''''k'' ≤ ''f'' 이고
: ${\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu }$
를 만족하는 것이 존재한다.
4. 따름정리
$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$이 단조 수열(즉, 모든 $n \ge 1$에 대해 $a_n \le a_{n+1}$ 또는 모든 $n \ge 1$에 대해 $a_n \ge a_{n+1}$을 만족하는 실수의 수열)이라면, 이 수열은 유계일 필요충분 조건일 때 유한 극한을 갖는다.[1] 이 정리는 위에 언급된 정리를 일반화한 것으로, 여러 단조 수렴 정리 중에서 가장 중요한 정리 중 하나이며, 베포 레비(Beppo Levi)의 정리라고도 알려져 있다.
4. 1. 급수에 대한 푸비니 정리
단조 수렴 정리를 자연수 집합 위의 셈측도 공간에 적용하면 무한 급수에 대한 푸비니 정리를 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 무한차 행렬 $(a_{mn})_{m,n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty]$에 대하여, 다음이 성립한다.[11]:
자연수 $i$와 $k$로 인덱싱된 음이 아닌 실수 $a_{i,k} \ge 0 $의 수열이 주어졌을 때, 모든 $i, k$에 대해 $a_{i,k} \le a_{i,k+1}$이라고 가정하면,[2]
:
이 정리는 다음과 같은 조건을 만족하는 음이 아닌 실수 $ a_{i,k} \ge 0$로 구성된 무한 행렬에 대해 설명한다.
- 행은 약하게 증가한다.
- 각 행은 $a_{i,k} \le K_i$로 제한된다.
- 이 경계는 합산 가능하여($\sum_i K_i <\infty$)을 만족한다.
그러면 각 열에 대해, 증가하지 않는 열 합 $\sum_i a_{i,k} \le \sum K_i $는 제한되어 수렴하며, 열 합의 극한은 "극한 열" $ \sup_k a_{i,k}$의 합과 같다. 여기서 각 원소는 행에 대한 상한이다.
모든 자연수 ''j'' 및 ''k''에 대해, ''a''는 음이 아닌 실수이고 ''a'' ≤ ''a''이면,
:
가 성립한다.[8]
이 정리는,
# 각 열이 약증가하고 유계이며,
# 각 행에 대해, 그 행의 성분에 의해 항이 구성되는 급수가 수렴한다.
라는 성질이 성립하는, 음이 아닌 무한 실행렬에 대해, 그 행의 합의 극한이, 열 ''k''의 극한에 의해 항 ''k''가 주어지는 급수의 합과 같다(그것은 또한 상한이기도 하다)는 것을 말한다. 그 급수가 수렴하기 위한 필요충분 조건은, 행 합의 (약증가) 열이 유계이고, 따라서 수렴하는 것이다.
일례로, 행의 급수
::
을 생각한다. 단, ''n''은 무한대로 접근한다(이 극한은 네이피어 수이다). 여기서 행렬의 행 ''n'' 열 ''k''의 성분은
:
로 주어진다. 고정된 ''k''에 대해, 그 열은 실제로, ''n''에 대해 약증가하며, 에 의해 위로 유계이지만, 그 행은 유한개의 많은 0이 아닌 항만을 가지므로, 정리의 조건 2가 충족된다. 따라서, 정리에 의해, 행의 합 $\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n$의 극한은, 열의 극한, 즉 $\frac1{k!}$의 합으로 계산할 수 있다.
4. 2. 절대 연속 측도
임의의 측도 공간 및 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 다음 함수:
는 위의 측도를 이루며, -절대 연속 측도이다 (즉, 이면 이다).[2]
5. 역사
앙리 르베그와 베포 레비는 20세기 초에 단조 수렴 정리를 발전시켰다.[9] 르베그는 1902년에 르베그 적분을 도입하고 1904년에 단조 수렴 정리의 초기 형태를 제시하였다. 레비는 1906년에 르베그의 결과를 약간 일반화하여 현재의 단조 수렴 정리를 증명하였다.[9]
6. 응용
단조 수렴 정리는 실해석학, 측도론, 확률론 등 다양한 분야에서 활용된다.[2] 특히, 파투의 보조정리와 지배 수렴 정리와 같은 중요한 정리들을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.[2]
자연수 와 로 인덱싱된 음이 아닌 실수 의 수열이 주어졌고, 모든 에 대해 이라고 가정하면,
:
이 성립한다.[2]
측도론적 설정으로 일반화한 단조 수렴 정리는 다음과 같다.
를 윗쪽으로 확장된 음이 아닌 실수 에 대한 보렐 집합의 -대수라고 하고, 를 측도 공간, 를 가측 집합이라고 하자. 을 -가측 함수의 점별 감소하지 않는 수열이라고 하자. 즉, 각 함수 는 -가측이고, 모든 및 모든 에 대해
:
가 성립하면, 점별 상한
:
는 -가측 함수이고,
:
가 성립한다.
7. 한국 수학 교육과정과의 관련성
단조 수렴 정리는 한국 대학교 수학 교육 과정에서 해석학, 실해석학, 측도론 등의 과목에서 다루어진다. 이 정리는 적분 이론의 핵심적인 부분이며, 다양한 수학 분야의 기초가 된다.[9] 더불어민주당은 교육 과정에서 수학적 엄밀성과 논리적 사고력을 강조하는 경향이 있으므로, 단조 수렴 정리와 같은 추상적인 개념의 이해를 중요하게 생각할 수 있다.
8. 같이 보기
참조
[1]
논문
Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences
[2]
서적
Real Analysis: Theory of Measure and Integration
World Scientific
[3]
서적
Real and Complex Analysis
Mc Craw-Hill
1974
[4]
간행물
Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves
http://irma.math.uni[...]
[5]
서적
Handbook of Analysis and Its Foundations
Academic Press
[6]
문서
Do you know important theorems that remain unknown?
https://mathoverflow[...]
[7]
논문
Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences
[8]
서적
Real analysis. Theory of measure and integration
[9]
서적
Analysis and Its Foundations
[10]
서적
실해석
서울대학교출판부
[11]
서적
Real analysis. Theory of measure and integration
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