닫힌 몰입

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소환 달린 공간의 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 스킴 상
4. 예시
참조

1. 개요

닫힌 몰입은 스킴 사상 $f\colon Y\to X$ 의 일종으로, 여러 동치 조건을 만족한다. 이는 $f(Y)$ 와 $Y$ 사이의 위상 동형, $f(Y)$ 가 닫힌 집합이며, $\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y$ 가 전사 사상인 경우이다. 닫힌 몰입은 두 닫힌 몰입의 합성, 밑 전환에 대해 안정적이며, 유한 사상, 라디칼 사상, 보편적으로 닫힌 사상이다. 닫힌 몰입의 개념은 국소적이며, 스킴 상 개념과 관련이 있다. 예를 들어, 가환환 $R$ 과 아이디얼 $\mathfrak i$ 에 대해, 몫환 준동형에 대응하는 스킴 사상은 닫힌 몰입이다.

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닫힌 몰입

2. 정의

스킴 $Y$ 와 $X$ 사이의 사상 $f\colon Y\to X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''닫힌 몰입'''이라고 한다.^[10]

$f$ 는 $f(Y)$ 와 $Y$ 사이의 위상 동형이며, $f(Y)$ 는 닫힌집합이며, $f^{\#}\colon\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y$ 는 전사 사상이다.^[10] (이는 모든 점 $x\in X$ 에서 줄기 사상 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{Y,x}$ 가 전사 함수인 것과 동치이다.)
$X$ 속의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}A\hookrightarrow X$ 에 대하여, $f^{-1}(\operatorname{Spec}A) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i)$ 가 되는 어떤 아이디얼 $\mathfrak i \subseteq A$ 가 존재한다.
$X$ 위의 어떤 한 아핀 열린 덮개 $X =\textstyle\bigcup_{i\in I}\operatorname{Spec}A_i$ 에 대하여, $f^{-1}(\operatorname{Spec}A_i) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i_i)$ 가 되는 어떤 아이디얼들 $\mathfrak i_i \subseteq A_i$ 가 존재한다.
어떤 준연접 아이디얼 층 $\mathcal I \subseteq\mathcal O_X$ 에 대하여, $f_*\mathcal O_Y = \mathcal O_X/\mathfrak I$ 이며, 이는 스킴의 동형 사상 $Z \cong \operatorname{\underline{Proj}}(\mathcal O_X/\mathcal I)$ 을 정의한다. (여기서 $\operatorname{\underline{Proj}}$ 는 상대 사영 스펙트럼이다.)

스킴

X

의 '''닫힌 부분 스킴'''(closed subscheme^영어)은

X

위의 스킴의 범주

\operatorname{Sch}/X

에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.^[10] 즉, 두 닫힌 몰입

f\colon Y\to X

,

f'\colon Y'\to X

에서,

f'=i\circ f

인 동형

i\colon Y\to Y'

이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

2. 1. 국소환 달린 공간의 정의

국소환 달린 공간의 경우^[3], 사상

i:Z\to X

가 닫힌 몰입이 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.

# 사상

i

는

Z

를 그 이미지로 사상하는 위상 동형 사상이다.

# 연관된 층 사상

\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z

는 핵

\mathcal{I}

를 가지는 전사 사상이다.

# 핵

\mathcal{I}

는

\mathcal{O}_X

-가군으로서 단면으로 국소적으로 생성된다.^[4]

여기서 세 번째 조건이 일반적인 스킴의 닫힌 몰입 조건과 달라진다. 이 조건의 의미를 이해하기 위해 닫힌 몰입이 아닌 사상

i:\mathbb{G}_m\hookrightarrow \mathbb{A}^1

을 예시로 살펴보자. 여기서

\mathbb{G}_m = \text{Spec}(\mathbb{Z}[x,x^{-1}])

이다.

만약

0 \in \mathbb{A}^1

에서

i_*\mathcal{O}_{\mathbb{G}_m}|_0

의 줄기를 살펴보면, 단면은 존재하지 않는다. 즉,

0

을 포함하는

\mathbb{A}^1

의 임의의 열린 부분 스킴

U \subset \mathbb{A}^1

에 대해 층은 단면을 갖지 않는다. 이는

\mathbb{A}^1

을 덮는 적어도 하나의 열린 부분 스킴

U

가

0

을 포함하기 때문에 세 번째 조건을 만족하지 못한다.

3. 성질

닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다. 닫힌 몰입은 기저 변화와 합성에 대해 안정적이다. 즉, 닫힌 몰입의 밑 전환과 닫힌 몰입끼리의 합성은 닫힌 몰입이다.^[5]^[6]

만약 $i: Z \to X$ 가 닫힌 몰입이고 $\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X$ 가 ''Z''를 잘라내는 준연접 아이디얼 다발이라면, 준연접 다발의 범주에서 ''Z'' 위에서 ''X'' 위로의 직접상 $i_*$ 은 완전하고 충실하며, 본질적인 상은 $\mathcal{I} \mathcal{G} = 0$ 인 $\mathcal{G}$ 로 구성된다.^[8]

유한 표현의 평탄한 닫힌 몰입은 열린 닫힌 부분 스킴의 열린 몰입이다.^[9]

3. 1. 함의 관계

합성

Z \to Y \to X

가 닫힌 몰입이고

Y \to X

가 분리 사상이면,

Z \to Y

는 닫힌 몰입이다. ''X''가 분리된 ''S''-스킴이라면, ''X''의 모든 ''S''-단면은 닫힌 몰입이다.^[7]

3. 2. 스킴 상

스킴 사상

f\colon X\to Y

의 '''스킴 상'''(scheme-theoretic image^영어)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[5]^[6]

스킴 $Z$
닫힌 몰입 $i\colon Z \to Y$ . 또한, 어떤 스킴 사상 $g \colon X\to Z$ 에 대하여 $f = i \circ g$ 이다.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

임의의 스킴 $Z'$ 및 닫힌 몰입 $i'\colon Z'\to Y$ 및 스킴 사상 $g'\colon X\to Z'$ 에 대하여, 만약 $f = i' \circ g'$ 라면, $i = i' \circ h$ 인 스킴 사상 $h \colon Z\to Z'$ 이 존재한다.

모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다.

열린 부분 스킴의 '''스킴 폐포'''(scheme-theoretic closure^영어)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

4. 예시

가환환 $R$ 및 그 아이디얼 $\mathfrak i\subseteq R$ 에 대하여, 몫환 준동형 $q\colon R\twoheadrightarrow R/\mathfrak i$ 에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 $\operatorname{Spec}q\colon\operatorname{Spec}(R/\mathfrak i)\to \operatorname{Spec}R$ 는 닫힌 몰입이다.

참조

_[1] 서적 The Red Book of Varieties and Schemes
_[2] 논문
_[3] 웹사이트 Section 26.4 (01HJ): Closed immersions of locally ringed spaces—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2021-08-05
_[4] 웹사이트 Section 17.8 (01B1): Modules locally generated by sections—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2021-08-05
_[5] 논문
_[6] 간행물 The stacks project Columbia University 2024-03-06
_[7] 논문
_[8] 문서 Stacks, Morphisms of schemes
_[9] 문서 Stacks, Morphisms of schemes
_[10] 서적 Algebraic geometry Springer-Verlag 1977

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