도메인 이론

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 람다 대수와 표시적 의미론
- 2.2. 부분 함수와 정보의 순서
3. 핵심 개념
4. 영역의 종류
5. 주요 결과
6. 한국 정보과학회 및 관련 학계의 기여
참조

1. 개요

도메인 이론은 1960년대 후반 람다 대수의 표시적 의미론을 연구하기 위해 다나 스콧에 의해 시작된 연구 분야이다. 이 이론은 계산의 중간 결과와 미완료 상태를 나타내는 '부분 함수'의 개념을 도입하여, 정보 또는 지식의 계층 구조를 부분 순서로 표현한다. 핵심 개념으로 유향 집합, 완비성, 연속 함수, 근사 관계, 유한 원소, 기저, 연속성 등이 있으며, 계산은 단조 함수를 반복 적용하여 고정점에 도달하는 방식으로 모델링된다. 도메인 이론은 평탄 영역, 스콧 영역, SFP-영역, L-영역, Bifinite 영역 등 다양한 영역의 종류를 포함하며, 클레이니 고정점 정리를 통해 최소 고정점을 찾을 수 있다.

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도메인 이론
기본 정보
도메인 이론 격자
분야	수학, 전산학
하위 분야	위상수학, 순서 이론, 범주론
관련 개념	데노테이션 의미론, 프로그래밍 언어 의미론, 람다 계산, 프로그래밍 언어
역사
창시자	데이나 스콧
개발 시기	1960년대 후반
주요 개념
부분 순서 집합 (Poset)	부분적으로 정렬된 집합
완비 부분 순서 집합 (CPO)	모든 데니스 힉스 체인이 최소 상한을 가지는 부분 순서 집합
스콧 연속	CPO 사이의 함수로, 데니스 힉스 체인의 최소 상한을 보존함
도메인	CPO와 스콧 연속 함수의 범주
바닥 원소	모든 원소보다 작은 원소
컴팩트 원소	최소 상한 아래의 원소
스콧 위상	CPO의 부분 집합으로, 데니스 힉스 체인의 최소 상한을 보존함
응용 분야
프로그래밍 언어 의미론	프로그래밍 언어의 의미를 수학적으로 정의하고 분석하는 데 사용됨
데노테이션 의미론	프로그램의 의미를 도메인으로 표현하고, 프로그램의 실행을 도메인 사이의 함수로 표현함
동시성 이론	동시성 시스템의 의미를 모델링하고 분석하는 데 사용됨
형식 검증	프로그램의 정확성을 수학적으로 증명하는 데 사용됨
관련 인물
고든 플로킨	전산학자
칼 구스타프 슈미트	전산학자
로비 쿠퍼스	전산학자
라인홀트 힌츠	전산학자

2. 역사적 배경

도메인 이론에 대한 연구는 1960년대 후반 다나 스콧이 람다 대수의 지시적 의미론을 찾으려는 시도에서 시작되었다. 람다 대수는 함수를 추상적으로 다루는 형식 체계인데, 스콧은 이 람다 대수의 각 항에 대응하는 수학적 모델을 만들고자 했다.

그러나 람다 대수에는 고정점 결합자와 같이 모든 입력에 대해 결과가 정의되는 일반적인 함수(전체 함수)로는 설명하기 어려운 요소들이 있었다. 특히 Y 결합자는 임의의 함수 ''f''에 대해 ''f''('''Y'''(''f'')) = '''Y'''(''f'')라는 고정점 속성을 만족해야 했지만, 모든 함수가 수학적으로 고정점을 가지는 것은 아니었기 때문에 문제가 되었다.

이러한 어려움을 극복하기 위해 스콧은 계산이 아직 완료되지 않았거나 결과를 반환하지 않는 상태를 나타내는 '부분적' 또는 '불완전한' 정보라는 개념을 형식화했다. 이는 부분 함수의 개념과, 정보의 양에 따라 순서를 매기는 아이디어로 이어졌으며, 도메인 이론 발전의 중요한 토대가 되었다.

2. 1. 람다 대수와 표시적 의미론

도메인 이론 연구는 1960년대 후반 다나 스콧에 의해 시작되었으며, 주된 동기는 람다 대수의 표시적 의미론을 정립하는 것이었다. 람다 대수는 함수를 정의하고 적용하는 과정을 추상화한 형식 체계로, 순수한 구문론적 방법을 통해 간단한 함수로부터 다른 함수를 입력 인수로 사용하는 고차 함수를 만들 수 있다.

람다 대수에는 고정점 결합자(fixed point combinator^영어)라는 특별한 종류의 항이 존재하는데, 가장 잘 알려진 예는 '''Y''' 결합자이다. 이 결합자는 정의에 따라 임의의 함수 ''f''에 대해 ''f''('''Y'''(''f'')) = '''Y'''(''f'')라는 속성을 만족시킨다. 람다 대수의 표시적 의미론을 구축하려는 초기 시도는 각 람다 항에 실제 수학적 함수를 대응시키는 '모델'을 구성하는 것이었다. 그러나 이러한 모델을 만드는 데에는 어려움이 따른다. 특히 '''Y''' 결합자에 해당하는, 즉 '모든' 입력 함수 ''f''에 대해 고정점을 계산해주는 완전한 함수(total function)는 존재할 수 없다. 왜냐하면 수학적으로 모든 함수가 고정점을 가지는 것은 아니기 때문이다. 따라서 '''Y''' 결합자에 대응하는 함수는 필연적으로 일부 입력에 대해 값이 정의되지 않는 부분 함수여야만 한다.

스콧은 이러한 문제를 해결하기 위해 '부분적' 또는 '불완전한' 정보라는 개념을 형식화하여, 아직 결과를 반환하지 않은 계산 상태를 나타내는 방법을 고안했다. 이는 각 계산 영역(예: 자연수)에 '미정의' 출력을 나타내는 새로운 원소를 추가하고, 이 '미정의' 원소를 최소 원소로 하는 순서 관계를 도입하는 방식으로 이루어진다. 이 순서 관계는 정보나 지식의 계층 구조로 해석될 수 있는데, 순서상 위에 있는 원소일수록 더 구체적이고 많은 정보를 포함하며, 아래에 있는 원소는 불완전한 지식이나 계산의 중간 결과를 나타낸다.

람다 대수의 모델을 성공적으로 구성하기 위한 핵심 단계는 최소 고정점을 가지는 것이 보장되는 함수들만을 고려하는 것이다. 이러한 성질을 만족하는 함수들의 집합에 적절한 순서를 부여하면, 그 자체로 다시 하나의 '도메인'이 된다. 이처럼 다루는 함수를 모든 가능한 함수가 아닌 특정 부분 집합으로 제한하는 것은 또 다른 중요한 이점을 제공한다. 즉, 자기 자신의 함수 공간을 포함하는 도메인을 구성할 수 있게 되어, 함수가 자기 자신에게 적용될 수 있는 강력한 표현력을 가진 모델을 만들 수 있다.

이러한 수학적 특성 외에도, 도메인 이론은 계산 과정을 직관적으로 이해할 수 있는 틀을 제공한다. 계산은 정보의 계층을 나타내는 순서화된 도메인 위에서 단조 함수를 반복적으로 적용하여 점진적으로 결과를 개선해 나가는 과정으로 모델링된다. 고정점에 도달하는 것은 계산이 완료되었음을 의미한다. 도메인은 단조 함수의 고정점 존재를 보장하고, 특정 조건 하에서는 아래로부터 고정점을 근사할 수 있게 해주므로, 이러한 계산 모델을 수학적으로 뒷받침하는 훌륭한 기반이 된다.

2. 2. 부분 함수와 정보의 순서

다나 스콧은 람다 대수의 지시적 의미론을 구축하는 과정에서 중요한 문제에 직면했다. 람다 대수의 모든 람다 항을 일반적인 수학 함수, 즉 모든 입력에 대해 항상 결과값을 내는 '전체 함수'로 해석하는 모델을 만들고자 했으나, 이는 고정점 결합자(예: Y 결합자)와 같은 특정 항 때문에 불가능했다. 고정점 결합자는 어떤 함수 ''f''가 주어지면 그 함수의 고정점을 찾아야 하는데 (즉, ''f''('''Y'''(''f'')) = '''Y'''(''f'')를 만족), 모든 함수가 고정점을 가지는 것은 아니기 때문이다. 따라서 고정점 결합자에 해당하는 전체 함수는 존재할 수 없었다.

이러한 어려움을 해결하기 위해 스콧은 '부분 함수'라는 개념을 도입했다. 부분 함수는 특정 입력에 대해 결과값이 정의되지 않을 수 있는 함수이다. 계산이 아직 완료되지 않았거나, 영원히 끝나지 않아 결과를 반환하지 않는 경우를 표현하기 위해, 스콧은 각 계산 영역(예: 자연수)에 '정의되지 않음'을 나타내는 특별한 원소(종종 ⊥ 기호로 표시됨)를 추가했다. 이 원소는 해당 영역에서 정보가 가장 부족한 상태를 의미하며, 최소 원소로 취급된다.

또한 스콧은 이 최소 원소를 포함하여 계산 영역의 원소들 사이에 정보의 양에 따른 '순서 관계'를 정의했다. 이를 정보 순서(Information Order^eng)라고 부르기도 한다. 이 순서 관계에서 한 원소가 다른 원소보다 '작거나 같다'는 것은 정보가 더 적거나 같다는 의미이다. 예를 들어, '정의되지 않음'(⊥)은 가장 작은 원소이며, 계산이 진행되어 구체적인 값(예: 숫자 5)이 나오면 이는 ⊥보다 더 많은 정보를 가지므로 순서상 더 '크다'. 이처럼 정보 순서는 계산 과정을 불완전한 정보에서 점차 더 완전한 정보로 나아가는 과정으로 이해할 수 있게 해준다. 이러한 부분 순서가 주어진 집합 구조는 람다 대수의 의미론을 성공적으로 설명하는 기반이 되었다.

3. 핵심 개념

이 절에서는 도메인 이론의 핵심 개념과 정의를 소개한다. 이론의 수학적 형식화를 유도하기 위해, 도메인을 '정보의 순서'라는 직관적 해석에 중점을 둔다. 정확한 형식적 정의는 각 개념에 대한 전용 문서에서 찾을 수 있다. 일반적인 순서 이론 정의 목록은 순서 이론 용어집에서 확인할 수 있다. 도메인 이론의 가장 중요한 개념은 아래 하위 섹션에서 소개한다.

3. 1. 유향 집합과 완비성

도메인 이론은 계산 영역을 모델링하기 위해 부분 순서 집합을 다룬다. 이러한 순서 집합의 원소는 '정보 조각' 또는 '계산의 (부분적) 결과'로 해석될 수 있으며, 순서에서 더 높은 원소는 그 아래 원소의 정보를 일관된 방식으로 확장한다. 이러한 직관에 따르면, 도메인은 종종 최대 원소를 갖지 않는다. 최대 원소는 모든 다른 원소의 정보를 포함하는 원소를 의미하는데, 이는 이론적으로 덜 흥미로운 경우이기 때문이다.

이론에서 중요한 역할을 하는 개념은 도메인의 '''유향 부분 집합'''(directed subset|^eng)이다. 이는 임의의 두 원소에 대해 그 상계를 갖는 비어있지 않은 부분 집합을 의미한다. 도메인에 대한 직관적 해석에 따르면, 유향 부분 집합 내의 임의의 두 정보 조각은 그 집합 안의 다른 어떤 원소에 의해 일관되게 확장될 수 있음을 의미한다. 따라서 유향 부분 집합은 '모순 없는 명세', 즉 어떤 두 원소도 모순되지 않는 부분적인 계산 결과의 집합으로 볼 수 있다. 이 해석은 해석학에서 각 항이 이전 항보다 더 구체적인 정보를 제공하는 수렴 수열 개념과 비교할 수 있다. 실제로 거리 공간 이론에서 수열은 도메인 이론에서 유향 집합이 수행하는 역할과 여러 면에서 유사하다.

수열의 경우처럼, 유향 집합의 '''극한'''(limit|^eng)에 관심을 갖게 된다. 이는 유향 집합의 모든 원소 정보를 포함하면서 가장 일반적인 정보 조각, 즉 유향 집합에 담긴 정보를 정확히 반영하며 그 이상을 넘지 않는 유일한 원소를 의미한다. 순서론의 형식화에서는 이것이 바로 유향 집합의 '''최소 상계'''(least upper bound|^eng, lub)이다. 하지만 수열의 극한처럼, 유향 집합의 최소 상계가 항상 존재하는 것은 아니다.

자연스럽게 모든 '모순 없는 명세'가 수렴하는 경우, 즉 모든 유향 집합이 최소 상계를 갖는 순서에 특별한 관심이 주어진다. 이러한 속성을 가진 순서를 '''유향 완비 부분 순서'''(directed complete partial order|^eng, '''dcpo''')라고 정의한다. 실제로 도메인 이론에 대한 대부분의 고찰은 최소한 dcpo인 순서만을 고려한다.

불완전한 지식을 나타내는 부분적 결과라는 기본 아이디어로부터 또 다른 바람직한 속성, 즉 '''최소 원소'''(⊥, bottom element|^eng)의 존재가 도출된다. 이 원소는 정보가 없는 상태, 즉 대부분의 계산이 시작되는 지점을 모델링한다. 또한 어떤 결과도 반환하지 않는 계산의 출력으로 간주될 수도 있다. 이론에서의 중요성 때문에 최소 원소를 갖는 dcpo는 '''완비 부분 순서'''(complete partial order|^eng, '''cpo''')라고 불린다.

3. 2. 계산과 연속 함수

계산 영역이 무엇이어야 하는지에 대한 기본적인 형식적 설명을 갖추었으므로, 이제 계산 자체로 넘어갈 수 있다. 분명히, 이러한 계산은 어떤 계산 영역으로부터 입력을 받아들여, (아마도 다른) 영역에서 출력을 반환하는 함수여야 한다. 하지만, 입력의 정보 내용이 증가하면 함수의 출력에도 더 많은 정보가 포함될 것이라고 예상할 수도 있다. 형식적으로 이것은 함수가 '''단조 함수'''여야 함을 의미한다. 즉, 입력값이 순서 관계에 따라 커지면 출력값도 작아지지 않는 성질을 가져야 한다.

완비 부분 순서(dcpo)를 다룰 때, 계산이 유향 집합의 상한 형성과 호환되기를 원할 수도 있다. 형식적으로, 이것은 어떤 함수 ''f''에 대해, 유향 집합 ''D''의 이미지 ''f''(''D'') (즉, ''D''의 각 요소의 이미지 집합)가 다시 유향 집합이고 ''D''의 상한의 이미지로 상한을 갖는다는 것을 의미한다. 또한, ''f''가 '유향 상한을 보존한다'고 말할 수도 있다. 두 개의 원소로 구성된 유향 집합을 고려함으로써, 이러한 함수가 단조 함수여야 한다는 점에 유의해야 한다. 이러한 속성은 '''스콧 연속 함수'''(Scott-continuous)라는 개념을 낳는다. 이것이 종종 모호하지 않기 때문에, 단순히 '연속 함수'라고 말할 수도 있다. 도메인 이론에서 '계산'은 주로 이러한 스콧 연속 함수를 통해 표현된다.

3. 3. 근사 관계와 유한 원소

정보 상태의 구조를 모델링할 때, 단순히 어떤 것이 더 많은 정보를 포함하는지를 넘어, 어떤 정보 상태가 다른 상태보다 훨씬 더 단순하거나 불완전한지를 구별해야 할 필요가 있다. 예를 들어, 멱집합에서 부분 집합 포함 관계를 생각해보면, 무한 집합은 그것의 모든 유한 부분 집합보다 훨씬 더 많은 정보를 담고 있다고 할 수 있다.

이러한 관계를 표현하기 위해 단순한 순서 관계 ≤에서 유도된 엄격한 순서 <를 사용하는 것은 충분하지 않다. 특히 부분 순서 집합에서는, 단 하나의 원소만 더 포함하는 집합도 원래 집합보다 엄격하게 크지만, 이것이 "훨씬 더 단순하다"는 직관적인 개념을 잘 나타내지는 못한다.

보다 정교한 접근 방식은 근사 순서(approximation order) 또는 way-below relation^eng이라고 불리는 관계를 정의하는 것이다. 어떤 원소 ''x''가 다른 원소 ''y''보다 way below^eng 하다는 것은, 상한(supremum)을 가지는 모든 유향 집합 ''D''에 대해 다음 조건이 성립하는 것을 의미한다:

만약

y \sqsubseteq \sup D

이면, ''D'' 안에

x \sqsubseteq d

를 만족하는 원소 ''d''가 존재한다.

이때 ''x''가 ''y''를 근사한다고 말하며,

x \ll y

로 표기한다. 이 관계는 ''y'' 하나만으로 이루어진 집합 {''y''}도 유향 집합이므로,

x \ll y

이면 항상

x \sqsubseteq y

가 성립함을 내포한다.

예를 들어, 집합의 포함 순서에서 무한 집합은 자신의 모든 유한 부분 집합보다 way above^eng (즉, 유한 부분 집합은 무한 집합보다 way below^eng) 하다. 반면, 자연수의 유한 부분 집합들로 이루어진 사슬

\{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \ldots

을 생각해보자. 이 사슬의 상한은 모든 자연수의 집합 '''N'''이다. 이 경우, 어떤 무한 집합도 '''N'''보다 way below^eng 하지 않다.

어떤 원소보다 way below^eng 하다는 것은 상대적인 개념이다. 순서론적으로 '유한함'을 특징짓기 위해 유한 원소(finite element) 또는 컴팩트 원소(compact element)라는 개념이 도입된다. 유한 원소 ''x''는 자기 자신보다 way below^eng 한 원소, 즉 다음을 만족하는 원소이다:

x \ll x

이러한 원소를 '컴팩트'라고 부르는 이유는 집합론이나 위상수학에서의 컴팩트 개념과 유사한 속성을 가지기 때문이다. 반드시 다른 수학적 의미에서 유한하거나 컴팩트할 필요는 없다. 도메인의 컴팩트 원소는 중요한 특징을 가지는데, 그것은 자신이 포함되지 않은 유향 집합의 극한(상한)으로는 얻어질 수 없다는 점이다. 이는 계산 과정에서 유한한 단계 안에 도달할 수 있는 정보를 나타낸다고 해석될 수 있다.

Way-below relation^eng은 도메인 이론의 여러 중요한 측면을 포착하는 데 매우 유용한 개념이다.

3. 4. 기저와 연속성

도메인 이론에서는 모든 원소를 더 단순한 원소들의 극한(limit)으로 표현할 수 있는지 탐구한다. 이는 무한한 대상을 직접 계산할 수는 없지만, 이를 근사적으로 다루고자 하는 현실적인 필요성과 관련이 깊다.

더 일반적으로는, 상한으로서 다른 모든 요소를 얻기에 충분한 특정 부분 집합으로 제한하고자 한다. 따라서 반순서 집합 ''P''의 '''기저'''(base^영어) ''B''는 ''P''의 부분 집합으로 정의된다. 이때 ''P'' 안의 임의의 원소 ''x''에 대해, ''x''보다 way below^영어인 ''B''의 원소들로 이루어진 집합은 상한이 ''x''인 방향 집합을 포함해야 한다.

어떤 기저를 가지는 반순서 집합 ''P''를 '''연속 반순서 집합'''(continuous poset^영어)이라고 한다. 이 경우 ''P'' 자체도 하나의 기저가 될 수 있다. 많은 응용 분야에서는 주요 연구 대상을 연속 (d)cpo^영어(완비 부분 순서)로 제한하기도 한다.

반순서 집합에 대한 더 강력한 제약 조건은 '유한'(finite^영어) 또는 '콤팩트'(compact^영어) 원소로 이루어진 기저의 존재를 요구하는 것이다. 이러한 반순서 집합을 '''대수적 반순서 집합'''(algebraic poset^영어)이라고 부른다. 대수적 반순서 집합은 유한 원소만으로도 모든 원소를 근사할 수 있게 해주므로, 특히 지시적 의미론의 관점에서 유용하게 사용된다. 여기서 '유한' 원소가 반드시 고전적인 의미에서 유한하다는 뜻은 아니며, 유한 원소들의 집합이 비가산 집합을 구성할 수도 있다.

어떤 경우에는 반순서 집합의 기저가 가산 집합일 수 있다. 이러한 경우를 '''ω-연속 반순서 집합'''이라고 한다. 마찬가지로, 가산 기저가 모두 유한 원소로 이루어져 있다면 '''ω-대수적 반순서 집합'''이라고 한다.

4. 영역의 종류

도메인 이론에서는 다양한 종류의 부분 순서 집합(poset)을 '영역'으로 간주하여 연구한다. 가장 단순한 형태로는 '''평탄 영역'''(flat domain^영어)이 있으며, 이는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

더 일반적인 구조로는 연속 포셋(continuous poset^영어)과 대수적 포셋(algebraic poset^영어)이 있다. 이들의 더 특수한 형태로 연속 cpo(complete partial order^영어)와 대수적 cpo가 있다. 여기에 완비성 속성을 추가하면, 각각 연속 격자(continuous lattice^영어)와 대수적 격자(algebraic lattice^영어)를 얻게 된다. 이들은 특정 속성을 만족하는 완비 격자(complete lattice^영어)이다.

역사적으로 스콧 도메인(Scott domain)은 도메인 이론에서 초기에 중요한 연구 대상이었으며, 이후 SFP-domain^영어, L-domain^영어, bifinite domain^영어과 같이 더 넓은 범위의 영역들이 연구되었다. 이들에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

이러한 다양한 종류의 영역들은 단조 함수(monotone function^영어), 스콧-연속 함수(Scott-continuous function^영어) 또는 더 특수한 모르피즘(morphism)을 사용하여 범주 이론의 틀 안에서 연구될 수 있다.

마지막으로, '도메인'이라는 용어 자체는 문맥에 따라 다양한 의미로 사용될 수 있으므로, 공식적인 정의가 주어지지 않았거나 세부 사항이 중요하지 않은 경우에는 약어로 사용될 때 주의가 필요하다.

4. 1. 평탄 영역(Flat Domain)

도메인 이론에서 특히 간단하고 특수한 경우로 '''elementary^영어''' 또는 '''평탄 영역'''(flat domain^영어)이라고 불리는 것이 있다. 평탄 영역은 다른 모든 원소보다 작은 것으로 여겨지는 하나의 '바닥' 원소(⊥, bottom element)와, 서로 비교할 수 없는 원소들의 집합(예: 정수)으로 이루어진다. 즉, 바닥 원소를 제외한 모든 원소들은 서로 비교가 불가능하며, 오직 바닥 원소만이 다른 모든 원소보다 작다는 관계를 가진다.

4. 2. 스콧 영역(Scott Domain)

스콧 영역은 도메인 이론에서 역사적으로 가장 먼저 연구된 구조 중 하나이다. 이는 대수적 격자와 같은 대수적 성질을 갖는 부분 순서 집합의 한 종류로 볼 수 있으며, 초기 이론 발전에 중요한 역할을 했다. 이후 연구가 진행되면서 SFP-domain^eng, L-domain^eng, bifinite domain^eng 등 스콧 영역보다 더 일반적이거나 다른 특성을 가진 다양한 종류의 영역들이 연구되었다.

4. 3. SFP 영역, L-영역, Bifinite 영역

스콧 영역은 역사적으로 도메인 이론에서 처음 연구된 구조였다. 이보다 더 넓은 종류의 영역으로는 SFP domain^eng(SFP 영역), L domain^eng(L 영역), bifinite domain^eng(bifinite 영역) 등이 있다.

5. 주요 결과

포셋 ''D''가 dcpo가 되기 위한 필요충분 조건은 ''D''의 모든 체인이 상한(upper bound)을 갖는 것이다. ('만약' 방향은 선택 공리에 의존한다.)

만약 ''f''가 도메인 ''D''에서 연속 함수라면, 클레이니 고정점 정리에 따라 최소 고정점(least fixed-point)을 가진다. 이 최소 고정점은 최소 원소 ⊥에 함수 ''f''를 유한 번 반복 적용하여 얻어지는 값들의 최소 상한(least upper bound)이며, 이는 다음의 유향 결합(directed join)으로 계산된다.

: $\operatorname{fix}(f) = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} f^n(\bot)$

여기서 $\sqcup$ 기호는 유향 결합을 나타낸다. 반순서 집합 ''D''가 dcpo이기 위한 필요충분조건은 ''D'' 안의 모든 사슬이 상한을 가지는 것이다. 유향 집합은 사슬보다 더 일반적인 개념이다.

최소 원소를 가지는 반순서 집합 ''D''가 dcpo이기 위한 또 다른 필요충분조건은 ''D'' 상의 모든 단조 함수 ''f''가 고정점을 가지는 것이다. 만약 ''f''가 연속 함수라면, 최소 고정점을 가지며, 이는 최소 원소 ''0''에 ''f''를 유한 번 반복 적용한 값들의 상한 ∨_{n ∈ '''N'''} ''f''ⁿ(''0'')으로 주어진다.

6. 한국 정보과학회 및 관련 학계의 기여

(내용 없음)

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