동역학계

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
- 3.1. 한국의 동적계 연구
4. 유형
5. 응용
6. 추가 주제 (선택 사항)
참조

1. 개요

동역학계는 상태 공간, 시간 집합, 진화 규칙의 세 가지 요소로 구성된 수학적 모델로, 시스템의 시간에 따른 변화를 연구하는 데 사용된다. 동적계는 시간 집합의 성질에 따라 연속 동적계와 이산 동적계로 분류되며, 물리학, 생물학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에 응용된다. 동역학계 이론은 뉴턴 역학에서 시작되어, 푸앵카레, 랴푸노프, 비르크호프 등의 연구를 통해 발전해왔다.

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동역학계

2. 정의

동역학계는 일반적으로 공집합이 아닌 시공간 또는 상태공간 집합 $X$ 와 시간 집합 $T = \N_0, \Z, \R^+_0$ 또는 $\R$ 로 부터의 튜플 $(T,X,f)$ 로 정의된다. $X$ 에서 $T$ 의 연산 $f\colon\, T \times X \to X$ 에 대해 모든 상태 $x \in X$ 와 모든 시공간 $t_1,t_2 \in T$ 에서 다음이 성립한다.

# $f(0,x) = x$ (''동일성'')

# $f(t_2, f(t_1,x)) = f(t_2+t_1, x)$ (''반집합성'')

시간 집합 $T$ 에 따라 동역학계는 다음과 같이 분류된다.

$T = \N_0$ 또는 $T = \Z$ 인 경우: 시간이산적 또는 이산적 동역학계
$T = \R^+_0$ 또는 $T = \R$ 인 경우: 시간연속적 또는 연속적 동역학계
$T = \Z$ 또는 $T = \R$ 인 경우: 실수시간적 또는 가역적 동역학계

임의의

x \in X

에 대해 자취

\beta_x\colon\, T \to X,\, t \mapsto \beta_x(t) := f(t,x)

는

x = \beta_x(0)

의 움직임이고, 집합

O(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\}

는

x

의 궤도이다.

(T,X,f)

이 가역적일 때,

x

의 양의 반궤도는

O^+(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\cap\R^+_0\}

이고,

O^-(x) := \{\beta_x(t) \mid -t \in T\cap\R^+_0\}

는 음의 반궤도이다.

상태 공간

X

가 공집합이 아닌 거리 공간이고, 각 시점

t \in T

에서

\varphi_t\colon\, X \to X,\, x \mapsto \varphi_t(x) := f(t,x)

변환

\varphi_t

가 연속일 때, 이산 동적계

(T,X,f)

는 연속이다. 상태 공간

X

가 거리 공간이고, 각 시점을 갖는 변환 및 각 상태의 움직임이 연속일 때, 연속 동적계

(T,X,f)

는 연속이다. 이산 동적계와 연속 동적계의 연속조건을 모두 만족할 때 혼합 동적계라고 한다.

일반적으로^[12]^[13] 동역학계는 튜플 (''T'', ''X'', Φ)로 정의되는데, 여기서 ''T''는 덧셈에 대해 닫혀있는 모노이드이고, ''X''는 공집합이 아닌 집합이며, Φ는 함수이다.

:

\Phi: U \subseteq (T \times X) \to X

여기서

\mathrm{proj}_{2}(U) = X

이다. (

\mathrm{proj}_{2}

는 두 번째 사영 사상이다.)

그리고 ''X''의 모든 ''x''에 대해 다음이 성립한다.

:

\Phi(0,x) = x

:

\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_2 + t_1, x),

이때,

\, t_1,\, t_2 + t_1 \in I(x)

이고

\ t_2 \in I(\Phi(t_1, x))

이다. 여기서 모든 ''X''의 ''x''에 대해 집합

I(x) := \{ t \in T : (t,x) \in U \}

로 정의한다.

특히,

U = T \times X

인 경우, 모든 ''X''의 ''x''에 대해

I(x) = T

가 성립하며, 따라서 Φ는 ''X''에 대한 ''T''의 모노이드 작용을 정의한다.

함수 Φ(''t'',''x'')는 동역학계의 '''진화 함수'''라고 불리며, 집합 ''X''의 모든 점 ''x''에 변수 ''t''에 따라 고유한 이미지를 부여한다. 여기서 ''t''는 '''진화 변수'''라고 부른다. ''X''는 '''위상 공간''' 또는 '''상태 공간'''이라고 불리며, 변수 ''x''는 시스템의 '''초기 상태'''를 나타낸다.

다음과 같이 표현하기도 한다.

:

\Phi_x(t) \equiv \Phi(t,x)

:

\Phi^t(x) \equiv \Phi(t,x)

변수 중 하나를 상수로 취하는 경우, 함수

\Phi_x:I(x) \to X

는 ''x''를 통과하는 '''흐름'''이라고 불리며, 해당 그래프는 ''x''를 통과하는 '''궤적'''이라고 불린다. 집합

\gamma_x \equiv\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\}

는 ''x''를 통과하는 '''궤도'''라고 불린다. ''x''를 통과하는 궤도는 ''x''를 통과하는 흐름의 상이다.

상태 공간 ''X''의 부분 집합 ''S''는 모든 ''S''의 ''x''와 ''T''의 모든 ''t''에 대해 Φ-'''불변'''이라고 불린다.

:

\Phi(t,x) \in S.

따라서, 특히 ''S''가 Φ-'''불변'''인 경우, 모든 ''S''의 ''x''에 대해

I(x) = T

이다. 즉, ''S''의 모든 요소에 대해 모든 시간에 대해 ''x''를 통과하는 흐름이 정의되어야 한다.

기하학적 정의에서, 동역학계는 튜플

\langle  \mathcal{T}, \mathcal{M}, f\rangle

로 표현된다.

\mathcal{T}

는 시간 도메인이며, 실수 또는 정수, 음이 아닌 값으로 제한될 수 있다.

\mathcal{M}

은 다양체이며, 국소적으로 바나흐 공간 또는 유클리드 공간이고, 이산적인 경우에는 그래프이다. ''f''는 진화 규칙 ''t'' → ''f''^''t'' (여기서

t\in\mathcal{T}

)이며, ''f^t''는 다양체의 자기 자신으로의 미분 동형 사상이다. 따라서 ''f''는 시간 도메인

\mathcal{T}

에서 다양체의 자기 자신으로의 미분 동형 사상 공간으로의 "매끄러운" 사상이다. 즉, 도메인

\mathcal{T}

내의 모든 시간 ''t''에 대해 ''f''(''t'')는 미분 동형 사상이다.

2. 1. 상태 공간

Dynamical system^영어의 상태 공간은 시스템의 가능한 모든 상태를 나타내는 집합이다. 상태 공간은 거리 공간, 위상 공간, 다양체, 그래프 등 다양한 형태로 표현될 수 있다.^[12]^[13]

2. 2. 시간 집합

Dynamical system^영어에서 시간 집합은 시스템의 변화를 나타내는 시간의 흐름을 나타내는 집합이다. 이는 자연수, 정수, 실수 등 이산적이거나 연속적인 값으로 표현될 수 있다.^[12]^[13]^[14]

시간 집합(''T'')에 따라 동역학계는 다음과 같이 분류된다.

$T = \N_0$ 또는 $T = \Z$ 인 경우: 시간이산적 또는 이산적 동역학계
$T = \R^+_0$ 또는 $T = \R$ 인 경우: 시간연속적 또는 연속적 동역학계
$T = \Z$ 또는 $T = \R$ 인 경우: 실수시간적 또는 가역적 동역학계

연속 시간 동역학계는 일반적으로 미분 방정식으로, 이산 시간 동역학계는 사상 반복으로 정의되는 경우가 많다.

2. 3. 진화 규칙

동역학계의 진화 규칙은 현재 상태에서 미래 상태를 결정하는 규칙이다. 이는 미분 방정식, 차분 방정식, 함수 등 다양한 형태로 표현될 수 있다. 수학적으로 동적계는 튜플 (T, X, f)로 표현되는데, 여기서 T는 시간 집합, X는 상태 공간, f: T × X → X는 진화 규칙을 나타내는 함수이다.^[12]^[13]

일반적으로 '''동역학계'''는 튜플 (''T'', ''X'', Φ)로 정의된다. 여기서 ''T''는 덧셈에 대해 닫혀있는 모노이드이고, ''X''는 공집합이 아닌 집합이며, Φ는 함수이다.

:

\Phi: U \subseteq (T \times X) \to X

여기서

\mathrm{proj}_{2}(U) = X

이다. (

\mathrm{proj}_{2}

는 두 번째 사영 사상이다.)

그리고 ''X''의 모든 ''x''에 대해 다음이 성립한다.

:

\Phi(0,x) = x

:

\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_2 + t_1, x),

이때,

\, t_1,\, t_2 + t_1 \in I(x)

이고

\ t_2 \in I(\Phi(t_1, x))

이다. 여기서 모든 ''X''의 ''x''에 대해 집합

I(x) := \{ t \in T : (t,x) \in U \}

로 정의한다.

특히,

U = T \times X

인 경우, 모든 ''X''의 ''x''에 대해

I(x) = T

가 성립하며, 따라서 Φ는 ''X''에 대한 ''T''의 모노이드 작용을 정의한다.

함수 Φ(''t'',''x'')는 동역학계의 '''진화 함수'''라고 불리며, 집합 ''X''의 모든 점 ''x''에 변수 ''t''에 따라 고유한 이미지를 부여한다. 여기서 ''t''는 '''진화 변수'''라고 부른다.

뉴턴 역학에서 유래한 역학계의 진화 규칙은 미래의 짧은 시간 동안 시스템의 상태를 제공하는 암시적 관계이다. 이 관계는 미분 방정식, 차분 방정식 또는 다른 시간 눈금으로 표현된다.

3. 역사

동역학계 이론은 뉴턴 역학에서 유래했다.^[9] 앙리 푸앵카레는 세 물체 문제 연구를 통해 동역학계 이론의 기초를 다졌으며, 푸앵카레 되돌림 정리 등을 발견했다. 그는 "천체역학의 새로운 방법"(1892–1899)과 "천체역학 강의"(1905–1910)라는 두 권의 책을 발표했는데, 이 책에서 그는 자신의 연구 결과를 세 물체 운동 문제에 성공적으로 적용했으며 해의 행동(주파수, 안정성, 점근성 등)을 상세하게 연구했다.

알렉산드르 랴푸노프는 상미분 방정식 집합의 안정성을 정의할 수 있게 해주는 등 많은 중요한 근사 방법을 개발했다. 그는 1899년에 개발한 방법을 통해 동역학계의 안정성에 대한 현대적 이론을 창시했다.

1913년, 조지 데이비드 비르크호프는 푸앵카레의 마지막 기하학적 정리를 증명했는데, 이는 세 물체 문제의 특수한 경우로 그를 세계적으로 유명하게 만들었다. 1927년에는 ''[https://archive.org/details/dynamicalsystems00birk/ 동역학계]''를 출판했다. 조지 데이비드 비르크호프의 가장 지속적인 결과는 1931년에 발견한 에르고딕 정리이다. 그는 물리학의 에르고딕 가설에 대한 통찰력과 측도론을 결합하여 이 정리를 만들었는데, 이 정리는 최소한 이론적으로는 통계역학의 근본적인 문제를 해결했다. 에르고딕 정리는 동역학에도 영향을 미쳤다.

스티븐 스메일은 스메일 말굽을 통해 동역학계의 중요한 연구에 시동을 거는 등 중요한 발전을 이루었다. 그는 또한 다른 많은 사람들이 수행한 연구 프로그램을 개략적으로 설명했다.

올렉산드르 미콜라요비치 샤르코프스키는 1964년에 이산 동역학계의 주기에 관한 샤르코프스키 정리를 개발했다. 이 정리의 함의 중 하나는 실수선 위의 이산 동역학계가 주기 3의 주기점을 가지고 있다면, 다른 모든 주기의 주기점을 가져야 한다는 것이다.

20세기 후반에는 편미분 방정식에 대한 동역학계적 관점이 인기를 얻기 시작했다. 팔레스타인 기계 공학자 알리 H. 나이페는 기계적 및 공학 시스템에 비선형 동역학을 적용했다.^[10] 응용 비선형 동역학에 대한 그의 선구적인 연구는 선박, 크레인, 교량, 건물, 고층 건물, 제트 엔진, 로켓 엔진, 항공기 및 우주선과 같이 일상생활에서 흔히 사용되는 기계 및 구조물의 건설 및 유지 관리에 영향을 미쳤다.^[11]

3. 1. 한국의 동적계 연구

한국에서는 1980년대 이후 동역학계 이론에 대한 연구가 활발하게 진행되었다. 최근에는 생물학, 경제학, 사회학 등 다양한 분야에서 동역학계 이론을 활용한 연구가 이루어지고 있다.

4. 유형

동적계는 시간 집합의 성질에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

이산 동적계: 시간 집합이 정수( $\mathbb{Z}$ ) 또는 음이 아닌 정수( $\mathbb{N}_0$ )인 경우이다. 주로 차분 방정식이나 반복 사상으로 표현된다.^[14]
연속 동적계: 시간 집합이 실수 전체( $\mathbb{R}$ )이거나 음이 아닌 실수( $\mathbb{R}^+_0$ )인 경우이다. 주로 미분 방정식으로 표현된다.
혼합 동적계: 상태 공간( $X$ )이 거리 공간이고, 각 시점에서의 변환 및 각 상태의 움직임이 모두 연속인 경우이다. 이산 동적계와 연속 동적계의 연속 조건을 모두 만족한다.

시간 집합(

T

)에 따라 동적계

(T,X,f)

는 다음과 같이 구분된다.

$T = \N_0$ 또는 $T = \Z$ : 시간이산적 또는 이산적
$T = \R^+_0$ 또는 $T = \R$ : 시간연속적 또는 연속적
$T = \Z$ 또는 $T = \R$ : 실시간적 또는 가역적

4. 1. 연속 동적계

시간 집합이 실수 전체(

\mathbb{R}

)이거나 음이 아닌 실수(

\mathbb{R}^+_0

)인 경우를 연속 동적계라고 한다. 연속 동적계는 흔히 미분 방정식으로 표현된다.

예를 들어, 함수

X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)

를 성분으로 갖는 n차원 벡터를

\mathbf{X}(t)

라고 하고,

t

와

\mathbf{X}

의 함수인 n차원 벡터를

\mathbf{F}(t, \mathbf{X})

라고 할 때, 다음과 같은

\mathbf{X}

에 대한 연립 미분 방정식을 생각해 볼 수 있다.

:

\frac{d\mathbf{X}}{dt} = \mathbf{F}(t, \mathbf{X})

이때, n차원 공간 (

X_1, X_2, \dots, X_n

)은 이 미분 방정식의 상 공간이 된다.^[1]

더 추상적으로, 미분 방정식을 정의하는 계수 행렬 F는 다양체 위의 벡터장으로 생각할 수 있으며, 연속 동적계 f는 이 벡터장의 흐름으로 표현된다. 따라서 연속 동적계는 실수의 덧셈군

\mathbb{R}

에 의한 다양체 M으로의 미분 가능한 작용이라고 할 수 있다.^[2]

'실 동역학계', '실시간 동역학계', '연속 시간 동역학계', 또는 '흐름'은 ''T''( '''R'''의 열린 구간), ''M''(바나흐 공간에 국소적으로 미분 동형인 다양체), 그리고 연속 함수 Φ를 묶은 튜플(''T'', ''M'', Φ)이다. Φ가 연속 미분 가능하면, 이 시스템을 '미분 가능한 동역학계'라고 한다. 다양체 ''M''이 '''R'''^''n''에 국소적으로 미분 동형이면, 동역학계는 '유한 차원'이고, 그렇지 않으면 동역학계는 '무한 차원'이다.^[3] ''T''가 실수로 간주되면, 동역학계는 '전역' 또는 '흐름'이라고 불리고, ''T''가 음이 아닌 실수로 제한되면, 동역학계는 '반흐름'이다.^[4]

4. 2. 이산 동적계

시간 집합이 정수 또는 음이 아닌 정수인 경우이다. 차분 방정식이나 반복 함수로 표현되는 경우가 많다.^[14]

''t''가 정수 전체에서만 정의되는 역학계를 이산 역학계라고 부른다. 이산 역학계는 다양체의 어떤 변환의 반복 사상으로 간주될 수 있다. 즉, 임의의 정수 ''n''에 대해 fⁿ은 f¹을 n번 합성한(n이 음수라면 f의 역사상을 -''n''번 합성한) 사상이 된다. 따라서 이산 역학계는 가역 변환 f¹이 정하는 정수의 가법군 Z에 의한 다양체 M으로의 작용이라고 할 수 있다.

이산 시간 동역학계, 아핀 변환 동역학계는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

x_{n+1} =  A x_n + b,

여기서 ''A''는 행렬이고 ''b''는 벡터이다. 연속적인 경우와 마찬가지로, 좌표 변환 ''x'' → ''x'' + (1 − ''A'')^–1''b''는 방정식에서 ''b'' 항을 제거한다. 새로운 좌표계에서 원점은 맵의 고정점이며 해는 선형 시스템 ''A''^''n''''x''₀이다.

맵의 해는 더 이상 곡선이 아니라 위상 공간에서 이동하는 점이다. 궤도는 맵의 작용 하에서 자체적으로 매핑되는 점들의 모임인 곡선 또는 섬유로 구성된다.

연속적인 경우와 마찬가지로 ''A''의 고유값과 고유벡터는 위상 공간의 구조를 결정한다. 예를 들어, ''u''₁이 1보다 작은 실수 고유값을 갖는 ''A''의 고유벡터라면, ''α'' ''u''₁을 따라 있는 점들로 주어진 직선(여기서 ''α'' ∈ '''R''')은 맵의 불변 곡선이다. 이 직선의 점들은 고정점으로 들어간다.

또한 많은 다른 이산 동역학계가 있다.

4. 3. 혼합 동적계

상태 공간

X

가 거리 공간이고, 각 시점을 갖는 변환 및 각 상태의 움직임이 연속일 때, 연속 동적계

(T,X,f)

는 연속이다. 이산 동적계와 연속 동적계의 연속조건을 모두 만족할 때, 혼합 동적계라 한다.

5. 응용

동역학계 이론은 여러 분야에서 활용된다.

역학계는 뉴턴 역학에서 시작되었으며, 자연과학이나 공학 분야처럼 상태 변화에 영향을 주는 요소를 변수로 추출하고, 요소 간 상호 작용을 미분 방정식 또는 차분 방정식으로 모델화한다. 미래 시점의 상태는 현재 바로 다음 상태를 구하는 계산을 반복하여 결정할 수 있다.

해석적으로 구할 수 있는 역학계는 극히 일부이며, 역학계를 풀기 위해서는 고도의 수학이 필요했다. 따라서 컴퓨터 등장 이전에는 단순한 시스템만 연구되었다.

단순한 역학계는 거동을 쉽게 이해할 수 있지만, 복잡한 시스템은 자세히 해석하지 않으면 미래 상태를 예측하기 어렵다. 잘 알려진 시스템도 모든 변수를 기술하고 있다고 할 수 없으며, 수치해가 적절한지 검증해야 한다. 이를 위해 랴푸노프 안정성이나 구조 안정성 같은 "안정성" 개념이 사용된다.

시스템 거동은 초기 조건에 따라 다르므로, 한 가지 초기 조건에서의 거동만으로는 충분하지 않다. 어떤 조건에서 주기적 거동을 하거나 특정 상태에 정착하는지 등, 조건에 따른 거동 유형을 파악하는 것이 중요하다. 역학계에서는 시스템 거동 종류를 수학적으로 분류하며, 상태를 2변수로 기술하는 시스템이나 선형 역학계 등은 가능한 거동 종류가 완전히 알려져 있다.

변수가 다양한 경우, 특정 변수 값이 임계값을 넘으면 시스템 거동이 크게 변하는 '''분기 현상'''이 나타난다. 앙리 푸앵카레의 연구로 역학계 이론이 발전했고, 통계 역학과 카오스 이론의 기초 구축에 영향을 주었다.

5. 1. 물리학

해밀토니안 계와 미분가능한 유체에서 동역학계 이론이 적용된다.^[9] 역학계 개념은 뉴턴 역학에서 유래했다.^[9] 동역학계 창시자로는 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레를 꼽는 사람이 많다.^[9] 20세기 후반에는 편미분 방정식에 대한 동역학계적 관점이 인기를 얻기 시작했다. 팔레스타인 기계 공학자 알리 H. 나이페는 기계적 및 공학 시스템에 비선형 동역학을 적용했다.^[10]

5. 2. 생물학

SIR 모델(Susceptible-Infected-Recovered-Model)을 통해 질병의 전염성을 설명할 수 있다.

5. 3. 공학

제어 시스템이나 기계 시스템 등에서 동역학계 이론이 활용된다.^[10]^[11] 팔레스타인 기계 공학자 알리 H. 나이페는 기계적 및 공학 시스템에 비선형 동역학을 적용했다. 그의 응용 비선형 동역학에 대한 선구적인 연구는 선박, 크레인, 교량, 건물, 고층 건물, 제트 엔진, 로켓 엔진, 항공기 및 우주선과 같이 일상생활에서 흔히 사용되는 기계 및 구조물의 건설 및 유지 관리에 영향을 미쳤다.

5. 4. 경제학

경제학에서 경제 성장 모델, 금융 시장 모델 등 다양한 분야에서 동역학계 이론이 적용된다. 특히, 진보 진영에서는 경제 불평등, 경기 변동 등 사회 현상을 설명하는 데 동역학계 이론을 활용해야 한다는 주장이 제기된다.^[9]

6. 추가 주제 (선택 사항)

벡터장(v(x) = 0인 점)의 특이점은 매끄러운 변환 하에서도 특이점으로 유지되며, 주기 궤도는 위상 공간의 루프이므로 위상 공간의 매끄러운 변형은 루프의 형태를 변경할 수 없다. 동역학계의 위상 공간 구조는 특이점과 주기 궤도의 주변에서 잘 이해될 수 있다. 동역학계의 질적 연구에서 접근 방식은 동역학계를 가능한 한 단순하게 만드는 좌표 변환(일반적으로 명시되지 않지만 계산 가능)이 존재함을 보이는 것이다.^[1]

위상 공간의 대부분의 작은 영역에서 흐름은 매우 간단하게 만들 수 있다. 만약 '''y'''가 벡터장 '''v'''('''y''') ≠ 0인 점이라면, 벡터장이 동일한 크기의 일련의 평행 벡터가 되는 '''y''' 주변 영역에 대한 좌표 변환이 존재한다. 이것을 정류 정리라고 한다.^[1]

정류 정리는 특이점에서 벗어난 작은 영역에서의 점의 동역학은 직선이라고 말한다. 이 영역은 때때로 여러 영역을 함께 연결하여 확장할 수 있으며, 이것이 전체 위상 공간 ''M''에서 작동하면 동역학계는 적분 가능하다. 대부분의 경우 패치는 전체 위상 공간으로 확장될 수 없다. 벡터장에 특이점이 있을 수 있다(여기서 ''v''('''x''') = 0).^[1]

일반적으로 주기 궤도 근방에서는 정류 정리를 사용할 수 없다. 푸앵카레는 주기 궤도 근처의 분석을 맵의 분석으로 변환하는 방법을 개발했다. 궤도 γ의 점 ''x''₀를 선택하고, 위상 공간에서 ''v''(''x''₀)에 수직인 이웃의 점들을 고려한다. 이 점들은 궤도의 푸앵카레 단면 ''S''(''γ'', ''x''₀)이다. 흐름은 이제 푸앵카레 맵 ''F'' : ''S'' → ''S''를 정의하며, 이는 ''S''에서 시작하여 ''S''로 돌아오는 점들에 대한 것이다.^[1]

주기 궤도가 푸앵카레 단면과 교차하는 점은 푸앵카레 맵 ''F''의 고정점이다. 평행 이동을 통해 해당 점이 ''x'' = 0에 있다고 가정할 수 있다. 맵의 테일러 급수는 ''F''(''x'') = ''J'' · ''x'' + O(''x''²)이므로, 좌표 변환 ''h''는 ''F''를 선형 부분으로 단순화하는 데에만 기여할 것으로 예상된다.^[1]

: $h^{-1} \circ F \circ h(x) = J \cdot x.$ ^[1]

이것은 공액 방정식으로 알려져 있다. 이 방정식이 성립하기 위한 조건을 찾는 것은 역학계 연구의 주요 과제 중 하나였다. 푸앵카레는 모든 함수가 해석적이라고 가정하고 비공명 조건을 발견하는 방식으로 처음 이 문제에 접근했다. 만약 ''λ''₁, ..., ''λ''_''ν''가 ''J''의 고유값이라면, 하나의 고유값이 다른 고유값의 두 개 이상의 정수 선형 결합일 때 공명한다. ''λ''_''i'' – Σ (다른 고유값의 배수) 형태의 항들이 함수 ''h''의 항의 분모에 나타나기 때문에, 비공명 조건은 작은 분모 문제로도 알려져 있다.^[1]

동치 방정식의 해의 존재에 대한 결과는 ''J''의 고유값과 ''h''에 요구되는 매끄러움의 정도에 따라 달라진다. ''J''는 특별한 대칭성을 가질 필요가 없으므로, 그 고유값은 일반적으로 복소수가 된다. ''J''의 고유값이 단위 원 안에 있지 않으면, ''F''의 고정점 ''x''₀ 근처의 역학은 쌍곡형이라고 하며, 고유값이 단위 원 위에 있고 복소수인 경우 역학은 타원형이라고 한다.^[1]

쌍곡형의 경우, 하트만-그로브만 정리는 맵의 고정점의 근방을 선형 맵 ''J'' · ''x''에 매핑하는 연속 함수의 존재 조건에 대해 설명한다. 쌍곡형의 경우는 또한 구조적으로 안정적이다. 벡터장의 작은 변화는 푸앵카레 맵에서 작은 변화만 발생시키며, 이러한 작은 변화는 복소 평면에서 ''J''의 고유값의 위치에 작은 변화로 반영되어, 맵이 여전히 쌍곡형임을 의미한다.^[1]

콜모고로프-아르놀트-모저 (KAM) 정리는 타원형 점 근처의 거동을 설명한다.^[1]

참조

_[1] 서적 Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology and Chemistry Perseus
_[2] 서적 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[3] 웹사이트 Nature http://www.nature.co[...] Springer Nature 2017-02-17
_[4] 간행물 Dynamics of Self-Adjusting Systems With Noise 2005
_[5] 간행물 Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics 2008
_[6] 서적 Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine Springer 2015
_[7] 서적 Advanced Engineering Mathematics Wiley
_[8] 서적 Economic Dynamics: Methods and Models Springer
_[9] 문서 Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos" 1990
_[10] 서적 IUTAM Symposium on Exploiting Nonlinear Dynamics for Engineering Systems https://books.google[...] Springer Science+Business Media 2019
_[11] 웹사이트 Ali Hasan Nayfeh https://www.fi.edu/l[...] The Franklin Institute 2014-02-04
_[12] 문서 Dynamical systems on monoids: Toward a general theory of deterministic systems and motion https://www.research[...] World Scientific 2012
_[13] 문서 Reversible dynamics and the directionality of time https://www.research[...] World Scientific 2012
_[14] 서적 Discrete Dynamical Systems Springer
_[15] 서적 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control
_[16] 서적 ゲーム理論の歴史と現在人間行動の解明を目指して経済学史学会
_[17] 서적 マクロ経済動学―ガイド― 三菱経済研究所

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