디리클레 판정법

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 실수 항 급수의 증명
- 3.2. 이상 적분의 증명
4. 예
- 4.1. 교대급수
- 4.2. 삼각 급수
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

디리클레 판정법은 수열의 수렴성을 판정하는 데 사용되는 수학적 정리이다. 단조 수열과 유계인 부분합을 갖는 수열의 곱으로 이루어진 급수의 수렴성을 보장하며, 이상 적분과 균등 수렴에도 적용된다. 교대 급수 판정법과 삼각 급수의 수렴성을 증명하는 데 활용되며, 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

디리클레 판정법은 실수 항 급수, 이상 적분, 균등 수렴 급수에 대해 다룬다.^[8]^[9]

'''실수 항 급수''': 두 실수 수열이 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 급수가 수렴한다.
'''이상 적분''': 두 실수 값 함수가 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 이상 적분이 수렴한다.
'''균등 수렴''': 함수열로 이루어진 급수의 부분합이 균등 유계 함수열이고, 다른 함수열이 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 급수가 균등 수렴한다.

2. 1. 실수 항 급수

두 실수 수열 {''a''_''n''}, {''b''_''n''}이 다음 조건을 만족하면, 급수 ∑ ''a''_''n''''b''_''n''은 수렴한다.^[8]^[9]

급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 의 부분합은 유계 수열이다. 즉, $\sup_{n\in\mathbb N}\left|{\sum_{k=0}^na_k}\right|<\infty$
$(b_n)_{n=0}^\infty$ 은 단조수열이다. 즉, $b_0\ge b_1\ge b_2\ge\cdots$ 이거나 $b_0\le b_1\le b_2\le\cdots$
$\lim_{n\to\infty}b_n=0$

2. 2. 이상 적분

두 실수 값 함수 f^영어, g^영어 : [a, ∞) → ℝ가 다음 세 조건을 만족하면, 이상 적분 ∫ f^영어(x^영어)g^영어(x^영어) dx^영어는 수렴한다.

f^영어는 임의의 [a,b]⊆[a,∞)에서 리만 적분 가능하며, 또한 $\sup_{x\in[a,\infty)}\left|\int_a^xf(t)\,dt\right|<\infty$ 이다.
g^영어는 단조함수이다. (특히, g^영어는 임의의 [a,b]⊆[a,∞)에서 리만 적분 가능하다.)
$\lim_{x\to\infty}g(x)=0$

이상 적분의 수렴에 대한 유사한 명제는 부분 적분을 사용하여 수학적 증명으로 증명된다. 함수 ''f''의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, ''g''가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, ''fg''의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

이상적분의 수렴에 대해서도 유사한 명제가 성립한다. 실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 ''f''와 ''g''가 있고, ''f''는 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게(적분 범위에 관계없이) 위에서 억제되어 있고, ''g''는 비음수이며 단조 감소할 때, ''fg''의 이상적분은 수렴한다.

2. 3. 균등 수렴

함수 항 급수

\sum_{n=0}^\infty f_n

의 부분합이 균등 유계 함수열이고, 임의의

x\in X

에 대하여

(g_n(x))_{n=0}^\infty

이 단조수열이며,

(g_n)_{n=0}^\infty

이

0\colon X\to\mathbb R

로 균등 수렴하면, 급수

\sum_{n=0}^\infty f_ng_n

는 균등 수렴한다.

3. 증명

디리클레 판정법은 실수 항 급수와 이상 적분에 대한 판정법으로, 부분합(부분 적분)과 아벨 변환(제2 적분 평균값 정리)을 이용하여 증명할 수 있다. 균등 수렴 급수에 대한 증명은 실수 항 급수의 증명과 유사하다.

부분합을 이용한 증명은 다음과 같다. $S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k$ , $B_n = \sum_{k=1}^n b_k$ 라고 하면, 부분합에 의해 $S_n = a_{n} B_n + \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_k - a_{k+1})$ 이다. $B_n$ 의 크기가 ''M''으로 유계이고, $a_n \to 0$ ( $n\to\infty$ )이므로, $|a_{n} B_n| \leq |a_{n} M| \to 0$ 이다.

또한 각 ''k''에 대해 $|B_k (a_k - a_{k+1})| \leq M|a_k - a_{k+1}|$ 이다. $(a_n)$ 이 단조수열이므로, 감소하거나 증가한다.

$(a_n)$ 이 감소한다면, $\sum_{k=1}^n M|a_k - a_{k+1}| = M\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) = M(a_1 - a_{n+1})$ 이며, 이는 $n \to \infty$ 일 때 $Ma_1$ 에 접근하는 텔레스코핑 합이다. 따라서 $\sum_{k=1}^\infty M(a_k - a_{k+1})$ 은 수렴한다.
$(a_n)$ 이 증가한다면, $\sum_{k=1}^n M|a_k - a_{k+1}| = -M\sum_{k=1}^n (a_k - a_{k+1}) = -M(a_1 - a_{n+1})$ 이며, 이는 $n\to\infty$ 일 때 $-Ma_1$ 에 접근하는 텔레스코핑 합이다. 따라서 $\sum_{k=1}^\infty M(a_k - a_{k+1})$ 은 수렴한다.

결과적으로 직접 비교 판정법에 의해

\sum_{k=1}^\infty B_k(a_k - a_{k+1})

은 수렴하고,

S_n

도 수렴한다.^[2]^[4]

부분합을 이용한 다른 증명은 다음과 같다.

S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k

,

B_n = \sum_{k=1}^n b_k

라고 하면, 부분합에 의해

S_n = a_{n + 1} B_{n} + \sum_{k=1}^n B_k (a_k - a_{k+1})

이다.

B_n

의 절댓값이 ''M''으로 억제되고

a_n \rightarrow 0

이므로,

a_{n + 1}B_{n} \to 0

(

n\to\infty

)이다.

a_n

은 단조 감소 수열이므로

a_k - a_{k+1}

은 임의의 ''k''에 대해 음이 아니고,

|B_k (a_k - a_{k+1})| \leq M(a_k - a_{k+1})

이다.

\sum_{k=1}^n M(a_k - a_{k+1}) = M(a_1 - a_{n+1})

이므로,

\sum_{k=1}^\infty M(a_k - a_{k+1})

은

n\to\infty

일 때

Ma_1

에 수렴한다.

따라서 비교판정법에 의해

\sum_{k=1}^\infty |B_k(a_k - a_{k+1})|

은 수렴하고, 절대수렴하는 급수

\sum_{k=1}^\infty B_k(a_k - a_{k+1})

도 수렴한다. 따라서

S_n

이 수렴한다.

이상 적분의 경우, 부분 적분을 사용하여 증명할 수 있다. 함수 ''f''의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, ''g''가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, ''fg''의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 ''f''와 ''g''가 있고, ''f''의 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게 위에서 억제되어 있고, ''g''는 비음수이며 단조 감소할 때, ''fg''의 이상적분은 수렴한다.

3. 1. 실수 항 급수의 증명

두 실수 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

,

(b_n)_{n=0}^\infty

이 다음 세 조건을 만족한다고 가정하자.

급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 의 부분합은 유계 수열이다. 즉, $\sup_{n\in\mathbb N}\left|{\sum_{k=0}^na_k}\right|<\infty$ 이다.
$(b_n)_{n=0}^\infty$ 은 단조수열이다. 즉, $b_0\ge b_1\ge b_2\ge\cdots$ 이거나 $b_0\le b_1\le b_2\le\cdots$ 이다.
$\lim_{n\to\infty}b_n=0$ 이다.

이때, '''디리클레 판정법'''에 따르면, 급수

\sum_{n=0}^\infty a_nb_n

는 수렴한다.^[8]

S_n=\sum_{k=0}^na_k\qquad(\forall n\in\mathbb N)

이고,

M=1+\sup_{n\in\mathbb N}|S_n|\in\mathbb R^+

라고 하자.

임의의

\epsilon>0

에 대하여,

|b_n|<\frac\epsilon{6M}\qquad(\forall n>N(\epsilon))

인 자연수

N(\epsilon)\in\mathbb N

이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의

n\ge N(\epsilon)

및 임의의

p\in\mathbb Z^+

에 대하여, 다음이 성립한다.

\begin{align}\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\&\le|b_{n+p}|(|S_{n+p}|+|S_n|)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|(|S_k|+|S_n|)\\&\le2M\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\&=2M\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\&=2M(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\&\le2M(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\&<2M\cdot3\cdot\frac\epsilon{6M}\\&=\epsilon\end{align}

즉, 급수

\sum_{n=0}^\infty a_nb_n

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

3. 2. 이상 적분의 증명

두 실수 값 함수

f,g\colon[a,\infty)\to\mathbb R

가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

$f$ 는 임의의 $[a,b]\subseteq[a,\infty)$ 에서 리만 적분 가능하며, 또한 $\sup_{x\in[a,\infty)}\left|\int_a^xf(t)\,dt\right|<\infty$
$g$ 는 단조함수이다. (특히, $g$ 는 임의의 $[a,b]\subseteq[a,\infty)$ 에서 리만 적분 가능하다.)
$\lim_{x\to\infty}g(x)=0$

그렇다면, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

는 수렴한다.

:

M=1+\sup_{x\in[a,\infty)}\left|\int_a^xf(t)\,dt\right|\in\mathbb R^+

이라고 하자. 임의의

\epsilon>0

에 대하여,

:

|g(x)|<\frac\epsilon{4M}\qquad(\forall x>N(\epsilon))

인

N(\epsilon)>a

가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의

y>x>N(\epsilon)

에 대하여, 어떤

c(x,y)\in[x,y]

가 존재하며, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\&\le\frac\epsilon{4M}\left(\left|\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|+\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|\right)\\&\le\frac\epsilon{4M}(2M+2M)\\&=\epsilon\end{align}

따라서, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

은 수렴한다.

이상 적분의 수렴에 대한 유사한 명제는 부분 적분을 사용하여 수학적 증명으로 증명된다. 함수 ''f''의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, ''g''가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, ''fg''의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

이상적분의 수렴에 대해서도 유사한 명제가 성립한다. 실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 ''f''와 ''g''가 있고, ''f''는 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게 (적분 범위에 관계없이) 위에서 억제되어 있고, ''g''는 비음수이며 단조 감소할 때, ''fg''의 이상적분은 수렴한다.

4. 예

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우이다. 0으로 단조롭게 수렴하는 수열 a|n^영어에 대하여, 교대급수 ∑(-1)^''n''''a''_''n''은 수렴한다.^[2]^[5] 0으로 수렴하는 단조수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 및 $x\in\mathbb R$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx$ 는 수렴한다.
만약 $x\not\in2\pi\mathbb Z$ 라면, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx$ 는 수렴한다.

4. 1. 교대급수

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우이다. 0으로 단조롭게 수렴하는 수열 a|n^영어에 대하여, 교대급수 ∑(-1)^''n''''a''_''n''은 수렴한다. 이는 급수

:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^n

의 부분합

:

\sum_{i=0}^n(-1)^i=\begin{cases}1&n\in2\mathbb Z\\0&n\in2\mathbb Z+1\end{cases}\qquad(n\in\mathbb N)

이 유계 수열이기 때문이다.^[2]^[5]

4. 2. 삼각 급수

0으로 수렴하는 단조수열

(a_n)_{n=1}^\infty

및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음이 성립한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx$ 는 수렴한다.
만약 $x\not\in2\pi\mathbb Z$ 라면, 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx$ 는 수렴한다.

이는 다음 두 식이 성립하기 때문이다.

:

\sum_{i=1}^n\sin ix=\begin{cases}0&x\in\pi\mathbb Z\\(\cos(x/2)-\cos((n+1/2)x))/(2\sin(x/2))&x\not\in\pi\mathbb Z\end{cases}\qquad(n\in\mathbb Z^+)

는 유계 수열이다.

:

\sum_{i=1}^n\cos ix=\begin{cases}n&x\in2\pi\mathbb Z\\(\sin((n+1/2)x)-\sin(x/2))/(2\sin(x/2))&x\not\in2\pi\mathbb Z\end{cases}\qquad(n\in\mathbb Z^+)

는

x\not\in2\pi\mathbb Z

일 때 유계 수열이다.

또한, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$\sum_{n=1}^\infty|a_n\sin nx|<\infty$
$x\in\pi\mathbb Z$ 이거나, $\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty$

마찬가지로, 다음 두 조건은 동치이다.

$\sum_{n=1}^\infty|a_n\cos nx|<\infty$
$\sum_{n=1}^\infty|a_n|<\infty$

5. 역사

페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées^프랑스어)에 게재되었다.^[10]

6. 응용

Dirichlet's test^영어의 특별한 경우로, $b_n = (-1)^n \Rightarrow\left|\sum_{n=1}^N b_n\right| \leq 1$ 이면 교대급수 판정법이 성립한다.
$\{a_n\}$ 이 감소하여 0에 수렴하는 실수열이면, $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin n$ 은 항상 수렴한다.
아벨 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우로 볼 수 있다.

참조

_[1] 간행물 Démonstration d’un théorème d’Abel http://portail.mathd[...] Journal de mathématiques pures et appliquées 1862
_[2] 서적 1967
_[3] 서적 2008
_[4] 서적 1976
_[5] 서적 1976
_[6] 웹사이트 Where does the sum of $\sin(n)$ formula come from? https://math.stackex[...]
_[7] 간행물 Démonstration d’un théorème d’Abel http://portail.mathd[...] Journal de mathématiques pures et appliquées 1862
_[8] 서적 해석학 입문 경문사 2007
_[9] 서적 Theory and application of infinite series Blackie & Son 1951
_[10] 간행물 Démonstration d’un théorème d’Abel http://portail.mathd[...] Journal de mathématiques pures et appliquées 1862

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