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렘니스케이트

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목차

1. 개요

렘니스케이트는 8자 모양을 갖는 특정 종류의 평면 곡선을 지칭하는 용어이다. 부스의 렘니스케이트, 베르누이의 렘니스케이트, 제로노의 렘니스케이트, 와트의 곡선 등 다양한 종류가 존재하며, 각 렘니스케이트는 특정 방정식으로 정의된다. 베르누이의 렘니스케이트는 카시니의 난형선의 특수한 경우이며, 렘니스케이트 타원 함수와 렘니스케이트 상수를 포함하는 호의 길이와 관련이 있다. 와트의 곡선은 기계적 연결에 의해 형성된 8자 모양의 곡선으로, 베르누이의 렘니스케이트를 특수한 경우로 갖는다.

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렘니스케이트
개요
레므니스케이트
레므니스케이트
정의평면에서 두 정점으로부터의 거리의 곱이 일정한 점들의 자취
역사
어원그리스어 "λημνίσκος" (레므니스코스, 리본)에서 유래, 라틴어 "lemniscatus" (리본으로 장식된)를 거쳐 유래
최초 연구야코프 베르누이 (1694년)
종류
베르누이의 레므니스케이트두 초점 사이의 거리가 2*c*이고, 거리의 곱이 *c*²인 경우
제로노의 레므니스케이트또 다른 형태의 레므니스케이트
부스의 레므니스케이트일반화된 레므니스케이트
수학적 성질
방정식 (데카르트 좌표계)(x²+y²)²=a²(x²-y²) (베르누이의 레므니스케이트)
방정식 (극좌표계)r²=a²cos2θ (베르누이의 레므니스케이트)
매개변수 방정식x = (a cos(t)) / (1 + sin²(t)), y = (a sin(t) cos(t)) / (1 + sin²(t))
대칭성x축, y축, 원점에 대해 대칭
특이점원점 (이중점)
넓이 (베르누이의 레므니스케이트)a²
호 길이 (베르누이의 레므니스케이트)4aE(1/√2) 여기서 E(k)는 완전 제2종 타원 적분
활용
무한대 기호∞ 기호의 기원
전기 회로특정 회로 소자의 기호로 사용
관련 개념
연관 곡선히포페데 (일반화된 형태)
대수 곡선평면 사차 곡선의 일종

2. 역사

렘니스케이트에 대한 연구는 고대 그리스의 신플라톤주의 철학자 프로클로스까지 거슬러 올라간다.

3. 종류

렘니스케이트에는 다음과 같은 종류가 있다.

3. 1. 부스의 렘니스케이트

8자 모양의 곡선에 대한 고찰은 기원후 5세기에 살았던 그리스의 신플라톤주의 철학자이자 수학자인 프로클로스까지 거슬러 올라간다. 프로클로스는 토러스의 축에 평행한 평면으로 자른 토릭 단면을 고려했다. 그가 관찰한 바에 따르면, 이러한 단면의 대부분은 단 하나 또는 두 개의 타원 모양으로 이루어져 있지만, 평면이 토러스의 내부 표면에 접선일 때 단면은 8자 모양을 가지며, 프로클로스는 이를 그리스어로 말 발목 보호대 또는 "히포페데"라고 불렀다.[7] 이 곡선을 "부스의 렘니스케이트"라고 부르게 된 것은 19세기의 수학자 제임스 부스가 연구하면서부터이다.[8]

렘니스케이트는 대수 곡선으로 정의될 수 있으며, 파라미터 ''d''가 음수일 때(또는 렘니스케이트가 외접하는 두 원이 되는 특수한 경우 0일 때) 4차 다항식 (x^2 + y^2)^2 - cx^2 - dy^2의 영점 집합이다. ''d''가 양수이면 대신 부스의 난형선을 얻는다.

3. 2. 베르누이의 렘니스케이트

베르누이의 렘니스케이트


1694년, 요한 베르누이는 라이프니츠가 이전에 제기했던 "등시 곡선" 문제와 관련하여 카시니의 난형선의 렘니스케이트 경우를 연구했는데, 이는 현재 베르누이의 렘니스케이트로 알려져 있다. 히포페데와 마찬가지로, 이는 대수 곡선이며, 다항식 (x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)의 영점 집합이다. 베르누이의 형제인 야코프 베르누이도 같은 해에 동일한 곡선을 연구했고, 렘니스케이트라는 이름을 붙였다.[9] 이 곡선은 두 초점으로부터의 거리의 곱이 초점 간 거리의 절반의 제곱과 같은 점들의 궤적으로 기하학적으로 정의될 수도 있다.[10] 이는 d=-c인 히포페데 (부스의 렘니스케이트)의 특수한 경우이며, 내부 구멍과 원형 단면이 서로 동일한 직경을 가진 토러스의 단면으로 형성될 수 있다.[8] 렘니스케이트 타원 함수는 베르누이의 렘니스케이트에 대한 삼각 함수의 유사체이며, 이 렘니스케이트의 호의 길이를 평가할 때 렘니스케이트 상수가 발생한다.

3. 3. 제로노의 렘니스케이트

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제로노의 렘니스케이트는 사차 다항식 y^2-x^2(a^2-x^2)의 영점 집합으로 정의되는 곡선이다. 비비아니 곡선은 구와 원기둥의 교차로 형성된 3차원 곡선인데, 이를 평면에 투영하면 제로노의 렘니스케이트가 된다.

3. 4. 와트의 곡선

와트의 곡선은 기계적 연결에 의해 형성된 8자 모양의 곡선이다. 와트의 곡선은 (x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0의 영점 집합인 6차 다항식 방정식이며, 베르누이의 렘니스케이트를 특수한 경우로 갖는다.[15]

4. 성질

1694년, 요한 베르누이는 카시니의 난형선의 렘니스케이트 경우를 라이프니츠가 이전에 제기했던 "등시 곡선" 문제와 관련하여 연구했는데, 이는 현재 베르누이의 렘니스케이트로 알려져 있다. 히포페데와 마찬가지로, 이는 대수 곡선이며, 다항식 (x^2 + y^2)^2 - a^2 (x^2 - y^2)의 영점 집합이다. 베르누이의 형제인 야코프 베르누이도 같은 해에 동일한 곡선을 연구했고, 렘니스케이트라는 이름을 붙였다.[9] 렘니스케이트는 두 초점으로부터의 거리의 곱이 초점 간 거리의 절반의 제곱과 같은 점들의 궤적으로 기하학적으로 정의될 수도 있다.[10] 이는 d=-c인 히포페데 (부스의 렘니스케이트)의 특수한 경우이며, 내부 구멍과 원형 단면이 서로 동일한 직경을 가진 토러스의 단면으로 형성될 수 있다.[8] 렘니스케이트 타원 함수는 베르누이의 렘니스케이트에 대한 삼각함수의 유사체이며, 이 렘니스케이트의 호의 길이를 평가할 때 렘니스케이트 상수가 발생한다.

참조

[1] Dictionary lemniscate
[2] L&S lemniscatus
[3] 서적 Beautiful Mathematics https://books.google[...] Mathematical Association of America
[4] OEtymD lemniscus
[5] L&S lemniscus
[6] LSJ λημνίσκος
[7] LSJ ἱπποπέδη
[8] 간행물 Algebraic Geometry (Ankara, 1995) Dekker
[9] 간행물 For Dirk Struik https://books.google[...] Reidel
[10] 간행물 Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem
[11] 웹사이트 Acht-Kurve http://www.mathemati[...] 2017-11-26
[12] 간행물 An elementary treatise on cubic and quartic curves https://books.google[...] Deighton, Bell
[13] 간행물 Newton's Principia for the common reader https://books.google[...] Oxford University Press
[14] 간행물 Aesthetics and architectural composition : proceedings of the Dresden International Symposium of Architecture 2004 Pro Literatur
[15] 간행물 The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes https://books.google[...] John Wiley & Sons
[16] 서적 高等数学問題集 中興館
[17] 서적 微分積分学初歩 帝国数学会
[18] 서적 微分積分の講義 高岡書店
[19] 서적 数学史講義 上巻 大鐙閣


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