마법수

3. 이중 마법수

헬륨-4 (⁴He^영어), 산소-16 (¹⁶O^영어), 칼슘-40 (⁴⁰Ca^영어), 칼슘-48 (⁴⁸Ca^영어), 니켈-48 (⁴⁸Ni^영어), 니켈-56 (⁵⁶Ni^영어), 주석-100 (¹⁰⁰Sn^영어), 주석-132 (¹³²Sn^영어), 납-208이 이중 마법수에 해당한다. 칼슘-48은 가벼운 원자핵 중 중성자가 매우 풍부하며, 주석-132도 양성자가 매우 풍부한 원소이다. 2006년 12월 하슘-270 (²⁷⁰Hs^영어)이 뮌헨 공대 연구팀에 의해 매우 긴 22초의 반감기를 가짐이 밝혀졌다.^[14]

이중 마법수를 갖는 핵종은 중성자 수와 양성자(원자 번호)가 모두 마법수인 핵종을 말하며, 일반적으로 붕괴에 매우 안정적이다. 알려진 이중 마법 동위원소는 헬륨-4, 헬륨-10, 산소-16, 칼슘-40, 칼슘-48, 니켈-48, 니켈-56, 니켈-78, 주석-100, 주석-132, 납-208이다. 헬륨-4, 산소-16, 칼슘-40, 납-208만이 완전히 안정적인 반면, 칼슘-48은 수명이 매우 길어 자연에서 발견되며, 매우 비효율적인 이중 베타 마이너스 붕괴 과정으로만 붕괴한다. 이중 베타 붕괴는 매우 드물어 이러한 메커니즘으로 붕괴할 것으로 예측되지만 아직 그러한 붕괴가 관찰되지 않은 핵종이 몇 개 있다. 이중 베타 붕괴가 관찰을 통해 확인된 핵종에서도 반감기는 보통 우주의 나이보다 수십 배 더 길다. 반면에 헬륨-10은 극도로 불안정하며, 매우 짧은 반감기를 가진다.

이중 마법 효과는 그렇지 않으면 예상되지 않았을 안정 동위원소의 존재를 가능하게 한다. 예를 들어, 20개의 중성자와 20개의 양성자를 가진 칼슘-40은 양성자와 중성자의 수가 같은 가장 무거운 안정 동위원소이다. 칼슘-48과 니켈-48은 칼슘-48이 20개의 양성자와 28개의 중성자를, 니켈-48이 28개의 양성자와 20개의 중성자를 가지고 있기 때문에 이중 마법수이다. 칼슘-48은 비교적 가벼운 원소 치고는 중성자가 매우 풍부하지만, 칼슘-40과 마찬가지로 이중 마법수이기 때문에 안정화된다. 예외적으로, 산소-28은 8개의 양성자와 20개의 중성자를 가지고 있지만, 4개의 중성자 붕괴에 대해 결합되지 않으며 닫힌 중성자 껍질이 없는 것으로 보여 이중 마법수로 간주되지 않는다.^[15]

마법수 껍질 효과는 원소의 일반적인 풍부도에서 나타난다. 헬륨-4는 우주에서 가장 풍부하고(그리고 안정적인) 핵 중 하나이며^[16], 납-208은 가장 무거운 안정적인 핵종이다. 알파 붕괴는 헬륨-4의 뛰어난 안정성으로 인해 부분적으로 흔하며, 이는 이러한 유형의 붕괴를 중성자 방출, 양성자 방출 또는 다른 유형의 클러스터 붕괴보다 대부분의 무거운 핵에서 에너지적으로 선호하도록 만든다. ⁴He^영어의 안정성은 또한 질량수 5와 8의 안정적인 동중 핵종이 존재하지 않게 한다.

마법 효과는 불안정한 핵종이 예상보다 빠르게 붕괴되는 것을 막을 수 있다. 예를 들어, 주석-100과 주석-132 핵종은 불안정한 이중 마법 주석 동위원소의 예이며, 안정성이 급격히 감소하는 지점을 나타낸다. 1999년에 발견된 니켈-48은 알려진 가장 양성자 과잉 이중 마법 핵종이다.^[17] 반대 극단에서, 니켈-78도 이중 마법수이며, 28개의 양성자와 50개의 중성자를 가지고 있는데, 이는 트리튬을 제외하고 훨씬 더 무거운 원소에서만 관찰되는 비율이다.^[18]

2006년 12월, 다름슈타튬-270은 108개의 양성자와 162개의 중성자를 가지고 있으며, 뮌헨 공과대학교가 이끄는 국제 과학자 팀에 의해 발견되었으며, 반감기는 9초이다. 다름슈타튬-270은 안정성의 섬의 일부를 형성하며, 이 핵의 변형된 모양으로 인해 이중 마법수일 수도 있다.^[19][20]

''Z'' = 92와 ''N'' = 164는 마법수가 아니지만, 발견되지 않은 중성자 과잉 핵종인 우라늄-256은 낮은 각운동량 궤도와 높은 각운동량 궤도 사이의 크기 차이로 인해 이중 마법수이고 구형일 수 있으며, 이는 핵 전위의 모양을 변경한다.^[21]

양성자 수와 중성자 수가 모두 마법수인 핵종 (Z는 양성자 수, N은 중성자 수)은 아래와 같다.

니켈과 주석은 단명(주변 핵종 중에서는 비교적 안정)이며, 납-164 (Z=82, N=82)는 확인되지도 않았다. 이것은 안정 핵종이 집중되는 중심(베타 안정선)에서 벗어나면, 양성자나 중성자 사이에 작용하는 삼체력이 핵력에 의한 묶음을 방해하기 때문이다.^[32] 원자핵이 성립할 수 있는 한계를 이라고 부르며, 납의 하나 앞인 탈륨에서는 중성자 수 100 이상이 된다.

4. 마법수와 안정성

마리아 괴퍼트 메이어가 핵 껍질 모델을 개발하는 데 기반이 된 마법수는 원자핵의 안정성과 관련이 깊다. 중성자 수와 양성자 수가 모두 마법수인 핵종은 이중 마법 핵종이라고 불리며, 붕괴에 대해 매우 안정적이다.^[14]

이중 마법 동위원소에는 헬륨-4, 헬륨-10, 산소-16, 칼슘-40, 칼슘-48, 니켈-48, 니켈-56, 니켈-78, 주석-100, 주석-132, 납-208이 있다.^[14] 이 중 헬륨-4, 산소-16, 칼슘-40, 납-208은 완전히 안정적이다. 칼슘-48은 수명이 매우 길어 자연에서 발견되며, 매우 비효율적인 이중 베타 붕괴를 통해서만 붕괴한다. 반면 헬륨-10은 극도로 불안정하여 반감기가 2.7×10^-21초에 불과하다.

마법수 개념은 맨해튼 계획에 참여했던 독일 물리학자 마리아 괴퍼트 메이어의 연구에서 비롯되었다.^[8] 그녀는 1948년에 50개 또는 82개의 양성자, 또는 50, 82, 126개의 중성자를 가진 핵이 안정하다는 실험적 증거를 발표했다.^[9] 2년 후, 그녀는 마법수에 해당하는 껍질 닫힘이 스핀-궤도 결합에 기인한다는 이론을 발표했다.^[11] "마법수"라는 용어는 괴퍼트 메이어의 동료인 유진 위그너가 제안한 것으로, 액체 방울 모델을 믿었던 위그너에게는 닫힌 껍질의 증거가 마법처럼 보였기 때문이다.^[12]

마법수 껍질 효과는 원소의 일반적인 풍부도에서도 나타난다. 예를 들어, 헬륨-4는 우주에서 가장 풍부하고 안정한 핵 중 하나이며,^[16] 납-208은 가장 무거운 안정 동위원소이다.

마법 효과는 불안정한 핵종이 예상보다 빠르게 붕괴되는 것을 막기도 한다. 예를 들어, 주석-100과 주석-132는 불안정한 이중 마법 핵종이지만, 안정성이 급격히 감소하는 지점을 나타낸다. 1999년에 발견된 니켈-48은 알려진 가장 양성자 과잉 이중 마법 핵종이다.^[17]

2006년에는 다름슈타튬-270 (108개의 양성자와 162개의 중성자)이 9초의 반감기를 가지며, 변형된 모양으로 인해 이중 마법일 수 있다는 연구 결과가 발표되었다.^[19][20]

다음은 양성자 수(Z)와 중성자 수(N)가 모두 마법수인 핵종을 나타낸 표이다.

5. 불안정 핵 영역

이중 마법수를 갖는 핵종은 중성자 수와 양성자(원자 번호)가 모두 마법수인 핵종으로, 붕괴에 대해 매우 안정적이다.^[14] 알려진 이중 마법 동위원소에는 헬륨-4, 헬륨-10, 산소-16, 칼슘-40, 칼슘-48, 니켈-48, 니켈-56, 니켈-78, 주석-100, 주석-132, 납-208이 있다.

이중 마법 효과는 예상 밖의 안정 동위원소 존재를 가능하게 한다. 예를 들어 칼슘-40은 양성자와 중성자 수가 같은 가장 무거운 안정 동위원소이다. 칼슘-48과 니켈-48은 각각 20개와 28개의 양성자와 중성자를 가지는 이중 마법 핵종이다. 칼슘-48은 가벼운 원소임에도 중성자가 풍부하며, 이중 마법으로 인해 안정적이다. 예외적으로, 산소-28은 8개의 양성자와 20개의 중성자를 가짐에도 불구하고 4개의 중성자 붕괴에 대해 결합되지 않아 이중 마법으로 간주되지 않는다.^[15]

마법 효과는 불안정한 핵종의 붕괴 속도를 늦출 수 있다. 예를 들어 주석-100과 주석-132는 불안정한 이중 마법 주석 동위원소의 예시이며, 안정성이 급격히 감소하는 지점을 나타낸다. 1999년 발견된 니켈-48은 알려진 가장 양성자가 많은 이중 마법 핵종이다.^[17] 반대로, 니켈-78은 28개의 양성자와 50개의 중성자를 가진 이중 마법 핵종이며, 이는 트리튬을 제외하면 훨씬 무거운 원소에서만 관찰되는 비율이다.^[18]

2006년 12월, 다름슈타튬-270 (108개의 양성자와 162개의 중성자)이 뮌헨 공과대학교 연구팀에 의해 발견되었으며, 9초의 반감기를 가진다. 다름슈타튬-270은 안정성의 섬의 일부를 형성하며, 변형된 모양으로 인해 이중 마법일 수 있다.^[19][20]

''Z'' = 92, ''N'' = 164는 마법수가 아니지만, 미발견된 중성자 과잉 핵종 우라늄-256은 낮은 각운동량 궤도와 높은 각운동량 궤도 사이의 크기 차이로 인해 이중 마법이고 구형일 수 있으며, 이는 핵 전위의 모양을 변화시킨다.^[21]

셸 모델은 소립자 수가 많아지면 성립하지 않으며, 안정 핵 근방에서 벗어난 중성자 과잉 불안정 핵 영역이나 드립 라인 주변에서는 다른 이론에 기초한 추측으로부터 추가적인 마법수가 제안되고 있다.

6. 초중원소와 안정성의 섬

헬륨-4 (⁴He), 산소-16 (¹⁶O), 칼슘-40 (⁴⁰Ca), 칼슘-48 (⁴⁸Ca), 니켈-48 (⁴⁸Ni), 니켈-56 (⁵⁶Ni), 주석-100 (¹⁰⁰Sn), 주석-132 (¹³²Sn) , 납-208이 마법수에 해당한다. 칼슘-48은 가벼운 원자핵 중 중성자가 매우 풍부하며, 주석-132도 양성자가 매우 풍부한 원소이다. 2006년 12월 뮌헨 공대 연구팀은 하슘-270 (²⁷⁰Hs)이 매우 긴 22초의 반감기를 가짐을 밝혔다.^[1]

마법수는 양자역학의 효과를 고려하여 설명되며, 이론적인 예측도 이루어지고 있지만, 셸 모델은 소립자 수가 많아지면 성립하지 않는다. 안정 핵 근방에서 벗어난 중성자 과잉 불안정 핵 영역이나 드립 라인 주변에서는 다른 이론에 기초한 추측으로부터 추가적인 마법수가 제안되고 있다.^[1]

스커미온 모델(바리온을 다룸)에 대한 하트리-폭 방정식의 보고류보프 변환에 의한 비상대론적 에너지 밀도 연구에서는 N=184, 196이 마법수로 여겨진다. 이 외에도 N=162, Z=108, 114, 120, 126도 마찬가지로 마법수로 보인다.^[1]

안정의 섬 가설은 초중원소의 미발견 원소 중, 이중 마법수를 갖는 원소를 중심으로 한다.^[1]

7. 전자의 마법수

원자의 화학적 성질은 전자 배치로 거의 결정되지만, 전자 껍질에서의 전자에도 화학적으로 매우 안정되는 특정 수(배치)가 있다. 이를 옥텟 규칙이라고도 한다.

전자가 마법수가 되는 원자(비활성 기체 원소)는 극히 이온화되기 어렵고, 반대로 마법수에 가까운 원자는 전자 수가 마법수보다 많은 경우에는 이온화 경향이, 반대로 적은 경우에는 전기 음성도가 크다. 이 때문에 마법수의 전자 배치를 원자핵과는 다른 의미로 "핵"이라고 부르기도 한다.

전자의 마법수는 다음과 같다.

• 2 - 헬륨 K 껍질이 닫힘 (2)
• 10 - 네온 L 껍질이 닫힘 (K+8)
• 18 - 아르곤 M 껍질의 p 궤도가 닫힘 (K+L+8)
• 36 - 크립톤 N 껍질의 p 궤도가 닫힘 (K+L+M+8)
• 54 - 제논 O 껍질의 p 궤도가 닫힘 (K+L+M+18+8), N 껍질의 4f 궤도는 비어 있음
• 86 - 라돈 P 껍질의 p 궤도가 닫힘 (K+L+M+N+18+8), O 껍질의 5f 궤도는 비어 있음
• 118 - 오가네손 Q 껍질의 p 궤도가 닫힘 (K+L+M+N+O+18+8), P 껍질의 6f 궤도는 비어 있음

8. 마법수 구하는 방법

마법수를 구하는 공식은 n의 범위에 따라 다르다. 1 < n < 3 일 때는 a(n)=n*(n+1)*(n+2)/3 이고, 4 <= n <= 7 일 때는 a(n)=n(n^2+5)/3이다. 일반적으로 마법수는 경험적 연구를 통해 얻어진다. 핵 퍼텐셜의 형태가 알려져 있다면, 슈뢰딩거 방정식을 핵자들의 운동에 대해 풀어 에너지 준위를 결정할 수 있다. 핵 껍질은 에너지 준위 사이의 간격이 국소적인 평균 간격보다 훨씬 클 때 발생한다.^[8]

껍질 모형에서 마법수는 껍질이 채워지는 핵자의 수이다. 예를 들어 마법수 8은 1s_1/2, 1p_3/2, 1p_1/2 에너지 준위가 채워질 때 발생하며, 1p_1/2와 다음으로 높은 1d_5/2 에너지 준위 사이에는 큰 에너지 갭이 존재한다.

핵 마법수의 원자적 유사물은 이온화 에너지의 불연속성을 유발하는 전자의 수이다. 이는 비활성 기체인 헬륨, 네온, 아르곤, 크립톤, 제논, 라돈, 오가네손에서 발생한다. 따라서 "원자 마법수"는 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118이다. 핵 마법수와 마찬가지로, 이들은 스핀/궤도 결합 효과가 부껍질 에너지 준위에 영향을 미치기 때문에 초중원소 영역에서 변경될 것으로 예상된다. 따라서 코페르니슘 (112)과 플레로븀 (114)은 오가네손 (118)보다 더 불활성이 될 것으로 예상되며, 이들 다음의 다음 비활성 기체는 168이 아닌 원소 172에서 발생할 것으로 예상된다 (이는 패턴을 이어갈 것이다).

2010년에는 대칭 고려 사항 측면에서 마법수에 대한 대안적 설명이 제시되었다. 분수 확장된 표준 회전군을 기반으로 하여 금속 클러스터 및 핵의 바닥 상태 특성(마법수 포함)이 동시에 분석적으로 결정되었다. 이 모델에서는 특정 퍼텐셜 항이 필요하지 않다.

참조

_[1] 간행물 The Impact of Superheavy Elements on the Chemical and Physical Sciences http://tan11.jinr.ru[...] 2011-09-05
_[2] 웹사이트 Nuclear scientists eye future landfall on a second 'island of stability' http://www.eurekaler[...]
_[3] 논문 Investigation of the stability of superheavy nuclei aroundZ=114 andZ=164
_[4] 간행물 The Impact of Superheavy Elements on the Chemical and Physical Sciences http://tan11.jinr.ru[...] 2011-09-05
_[5] 웹사이트 Nuclear scientists eye future landfall on a second 'island of stability' http://www.eurekaler[...]
_[6] 논문 Investigation of the stability of superheavy nuclei aroundZ=114 andZ=164
_[7] 간행물 Decay modes and a limit of existence of nuclei in the superheavy mass region http://tan11.jinr.ru[...] 2011
_[8] 서적 Out of the shadows : contributions of twentieth-century women to physics https://www.worldcat[...] Cambridge Univ. Pr 2006
_[9] 논문 On Closed Shells in Nuclei https://journals.aps[...] 1948-08-01
_[10] 논문 On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the Spectroscopy of Nuclei https://link.aps.org[...] 1937-01-15
_[11] 논문 On Closed Shells in Nuclei. II https://link.aps.org[...] 1949-06-15
_[12] 논문 The history of nuclidic masses and of their evaluation
_[13] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 1963 https://www.nobelpri[...] 2020-06-27
_[14] 웹사이트 What is Stable Nuclei - Unstable Nuclei - Definition https://www.periodic[...] 2019-05-22
_[15] 논문 First observation of 28O 2023-08-31
_[16] 웹사이트 The Most Tightly Bound Nuclei http://hyperphysics.[...]
_[17] 웹사이트 Twice-magic metal makes its debut - isotope of nickel http://www.findartic[...] Science News 1999-10-23
_[18] 웹사이트 Tests confirm nickel-78 is a 'doubly magic' isotope http://phys.org/news[...] Phys.org 2014-09-05
_[19] 잡지 A Nuclear Magic Trick http://focus.aps.org[...] 2006-12-14
_[20] 논문 Doubly Magic Nucleus ₁₀₈²⁷⁰Hs₁₆₂ https://www.dora.lib[...]
_[21] 논문 Single-Particle Levels of Spherical Nuclei in the Superheavy and Extremely Superheavy Mass Region https://www.research[...] 2013
_[22] 논문 Higher dimensional mixed fractional rotation groups as a basis for dynamic symmetries generating the spectrum of the deformed Nilsson-oscillator
_[23] 논문 Fractional phase transition in medium size metal clusters and some remarks on magic numbers in gravitationally and weakly bound clusters
_[24] 논문 Magic Numbers in Exotic Nuclei and Spin-Isospin Properties of the $\mathit{NN}$ Interaction https://link.aps.org[...] 2001-08-03
_[25] 논문 Experimental evidence for subshell closure in $^{8}\mathrm{He}$ and indication of a resonant state in $^{7}\mathrm{He}$ below 1 MeV https://link.aps.org[...] 2006-04-05
_[26] 논문 New Magic Number, $\mathit{N}\phantom{\rule{0ex}{0ex}}=\phantom{\rule{0ex}{0ex}}16$, near the Neutron Drip Line https://link.aps.org[...] 2000-06-12
_[27] 논문 Masses of exotic calcium isotopes pin down nuclear forces https://rdcu.be/Onu1 2013-06
_[28] 간행물 무거운 칼슘에서 새로운 「마법수」34를 발견 -원자핵물리학의 꿈의 1개 「안정 원자핵의 섬」도달의 실마리에- http://www.riken.jp/[...] 理化学研究所 2013-10-10
_[29] 논문 Evidence for a new nuclear ‘magic number’ from the level structure of ⁵⁴Ca https://www.nature.c[...] 2013-10-10
_[30] 문서 平成27年度（第61回）仁科記念賞受賞者 一覧 http://www.nishina-m[...] 公益財団法人仁科記念公益財団 2015-11-13
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_[32] 문서 3体力と物質の存在限界 http://www.s.u-tokyo[...] 東京大学理学系研究科