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모함수 (물리학)

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목차

1. 개요

모함수는 정준변환에서 해밀턴 방정식의 형태를 유지하기 위해 사용되는 임의의 함수이다. 모함수는 네 가지 기본 형태가 있으며, 각 형태는 서로 다른 좌표 조합을 사용한다. 모함수는 주어진 해밀토니안을 조화 진동자 해밀토니안과 같은 형태로 변환하는 데 사용될 수 있으며, 변환의 생성 함수는 모함수의 한 유형이 된다.

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모함수 (물리학)
개요
분야수학, 이론물리학
사용미분 방정식 풀이, 점근 급수 계산, 특수 함수 연구
정의 및 특징
정의어떤 수열의 모든 항을 계수로 하여 만들어진 멱급수
종류보통 생성 함수
지수 생성 함수
디리클레 생성 함수
푸리에 급수
변수독립 변수 (주로 't' 또는 'z'로 표시)
물리학에서의 응용
양자장론상관 함수 계산
통계역학분배 함수 표현
확률론특성 함수 표현
수학과의 관계
조합론조합론적 대상의 열거
해석학수열의 해석적 표현
정수론정수론적 함수의 연구

2. 정준변환에서의 모함수

정준변환에 의한 새로운 좌표 \{ P_i , Q_i , t \}가 해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.[1]

:\delta \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_i P_i \dot{Q}_i - \hat{H}(P_i,Q_i,t) + {dF \over dt} \right] dt=0

여기서 \hat{H}는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고 F는 임의의 함수이다. F에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식은 F에 관계없는 식이 된다. F를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 '''모함수'''라 한다.[1]

좌표변환 관계식

:Q_i = Q_i (p_i, q_i, t)

:P_i = P_i (p_i, q_i, t)

에 의해 위의 식이 제약되기 때문에 F를 완전 자유롭게 선택할 수는 없다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 \{ q_i, Q_i, t \} , \{ q_i, P_i, t \} , \{ p_i, Q_i, t \} 또는 \{ p_i, P_i, t \} 중 하나이다.[1]

다음 표와 같이 네 가지 기본 생성 함수가 있다:[1]

생성 함수그 도함수
F= F_1(q, Q, t) \,\!p = ~~\frac{\partial F_1}{\partial q} \,\! 그리고 P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q} \,\!
F= F_2(q, P, t) = F_1 + QP \,\!p = ~~\frac{\partial F_2}{\partial q} \,\! 그리고 Q = ~~\frac{\partial F_2}{\partial P} \,\!
F= F_3(p, Q, t) =F_1 - qp \,\!q = - \frac{\partial F_3}{\partial p} \,\! 그리고 P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q} \,\!
F= F_4(p, P, t) =F_1 - qp + QP \,\!q = - \frac{\partial F_4}{\partial p} \,\! 그리고 Q = ~~\frac{\partial F_4}{\partial P} \,\!


3. 모함수의 종류

정준변환에 의한 새로운 좌표 \{ P_i , Q_i , t \}가 해밀턴 방정식의 형태를 유지하기 위해 모함수 F를 자유롭게 선택할 수 있다.

좌표변환 관계식에 의해 제약이 되기 때문에 F를 완전히 자유롭게 선택할 수는 없다. 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용해야 한다. 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 \{ q_i, Q_i, t \} , \{ q_i, P_i, t \} , \{ p_i, Q_i, t \} 또는 \{ p_i, P_i, t \} 중 하나이다.

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.[1]

종류모함수의 꼴모함수의 미분
1종F= F_1(q_i, Q_i, t) \,\!p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i} , P_i = - \frac{\partial F_1}{\partial Q_i}
2종F= F_2(q_i, P_i, t) - QP \,\!p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i} , Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}
3종F= F_3(p_i, Q_i, t) + qp \,\!q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i} , P_i = - \frac{\partial F_3}{\partial Q_i}
4종F= F_4(p_i, P_i, t) + qp - QP \,\!q_i = - \frac{\partial F_4}{\partial p_i} , Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}


4. 예시

다음은 주어진 해밀토니안을 조화 진동자 형태로 변환하는 예시이다.

:H = aP^2 + bQ^2.

예를 들어, 해밀토니안이 다음과 같을 때

:H = \frac{1}{2q^2} + \frac{p^2 q^4}{2},

여기서 ''p''는 일반화된 운동량이고 ''q''는 일반화된 좌표이며, 다음과 같은 정준 변환을 사용한다.

:P = pq^2 \text{ and }Q = \frac{-1}{q}. \,

이것은 해밀토니안을 다음과 같이 변환한다.

:H = \frac{Q^2}{2} + \frac{P^2}{2},

이는 조화 진동자 해밀토니안의 형태이다.

이 변환의 생성 함수 ''F''는 세 번째 유형이다.

:F = F_3(p,Q).

''F''를 구체적으로 찾기 위해, 도함수를 사용한다.

:P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q},

그리고 위 식에서 ''p''와 ''Q''로 표현된 ''P''에 대한 식을 대입한다.

: \frac{p}{Q^2} = - \frac{\partial F_3}{\partial Q}

이것을 ''Q''에 대해 적분하면 변환의 생성 함수를 얻는다.

:F_3(p,Q) = \frac{p}{Q}

이것이 올바른 생성 함수임을 확인하려면, 다음을 확인한다.

: q = - \frac{\partial F_3}{\partial p} = \frac{-1}{Q}


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