밀도 다발

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 연산
5. 텐서 밀도
6. 적분
7. 응용
8. 표기법 및 관례
참조

1. 개요

밀도 다발은 매끄러운 다양체에서 정의되는 수학적 개념으로, 실수 일반선형군의 표현을 통해 연관 다발로 구성된다. s-밀도 다발은 실수 s에 따라 정의되며, s=1일 때 밀도 다발이라고 한다. 텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱은 텐서 밀도 다발을 형성한다. 밀도는 벡터 공간, 리만 다양체 등 다양한 맥락에서 정의되며, 미분 형식과의 관계를 갖는다. 밀도는 적분 이론에서 중요한 역할을 하며, 등각 기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

밀도 다발

2. 정의

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 과 양의 실수 $s\in\mathbb R^+$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 일반선형군 $\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$ 는 다음과 같은 자명한 1차원 표현을 갖는다.

: $\rho\colon\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to\mathbb R^+$

: $\rho\colon A\mapsto|\det A|^{-s}$

여기서 우변은 양의 실수의 곱셈군 $(\mathbb R^+,\cdot)$ 의 원소이다.

그렇다면 이 표현에 대한 연관 다발을 정의할 수 있다. 이를 ''' $s$ -밀도 다발'''( $s$ -density bundle^영어)이라고 하며, $|\Lambda|^s(TM)$ 이라고 쓴다. 만약 $s=1$ 일 경우, '''밀도 다발'''이라고 한다. $s$ -밀도 다발의 단면을 ''' $s$ -밀도'''라고 한다.^[1]

텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱을 '''텐서 밀도 다발'''(tensor density bundle^영어)이라고 하고, 그 단면을 '''텐서 밀도'''(tensor density^영어)라고 한다.

2. 1. 벡터 공간에서의 밀도

일반적으로 ''n''차원 벡터 공간 ''V''에서 벡터 ''v''₁, ..., ''v''_n에 의해 생성된 평행육면체에 대한 직관적인 "부피" 개념을 바로 적용하기는 어렵다. 그러나 이러한 평행육면체에 부피를 할당하는 함수 ''μ'' : ''V'' × ... × ''V'' → '''R'''를 정의하려면 다음과 같은 속성을 만족해야 한다.

벡터 ''v_k'' 중 하나에 스칼라 ''λ'' ∈ '''R'''를 곱하면, 할당된 부피는 절댓값 |''λ''|배가 되어야 한다.
벡터 ''v_j''에 다른 벡터들(''v''₁, ..., ''v''_''j''−1, ''v''_''j''+1, ..., ''v_n'')의 임의의 선형 결합을 더해도, 할당된 부피는 변하지 않아야 한다.

이러한 조건들은 ''μ''가 ''V'' 상의 평행 이동 불변 측도와 관련됨을 의미하며, 선형 변환 ''A'' ∈ GL(''V'') (''V''에서 자기 자신으로 가는 가역 선형 변환들의 일반선형군)에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mu(Av_1,\ldots,Av_n)=\left|\det A\right|\mu(v_1,\ldots,v_n)

여기서 det ''A''는 선형 변환 ''A''의 행렬식이다. 이 조건을 만족하는 매핑 ''μ'' : ''V'' × ... × ''V'' → '''R'''를 벡터 공간 ''V''에 대한 '''밀도'''(density)라고 한다. 만약 (''v₁'', ..., ''v_n'')이 ''V''의 기저라면, ''μ''(''v₁'', ..., ''v_n'') 값 하나를 정하는 것만으로도 밀도 함수 ''μ''가 완전히 결정된다. 따라서 ''V'' 상의 모든 밀도의 집합 Vol(''V'')는 1차원 벡터 공간을 형성한다.

''V'' 상의 임의의 ''n''-형식 ''ω''는 절댓값을 취함으로써 ''V'' 상의 밀도 |''ω''|를 정의할 수 있다.

:

|\omega|(v_1,\ldots,v_n) := |\omega(v_1,\ldots,v_n)|

한편, 함수 집합 Or(''V'')는 다음과 같은 조건을 만족하는 모든 함수 ''o'' : ''V'' × ... × ''V'' → '''R'''로 구성된다.

:

o(Av_1,\ldots,Av_n)=\operatorname{sign}(\det A)o(v_1,\ldots,v_n), \quad A\in \operatorname{GL}(V)

여기서 sign은 부호 함수이며, 벡터들 ''v''₁, ..., ''v''_n이 선형 독립이 아닐 경우 ''o''(''v''₁, ..., ''v''_n'') = 0이다. 이 집합 Or(''V'') 역시 1차원 벡터 공간을 형성한다. ''V''에 대한 '''방향'''(orientation)은 Or(''V'')에 속하는 두 원소 ''o'' 중 하나로 정의되는데, 이 ''o''는 임의의 선형 독립인 벡터들 ''v''₁, ..., ''v''_n''에 대해 |''o''(''v''₁, ..., ''v''_n'')| = 1을 만족한다.

''V'' 위의 모든 0이 아닌 ''n''-형식 ''ω''는 다음과 같이 방향 ''o'' ∈ Or(''V'')를 정의한다.

:

o(v_1,\ldots,v_n)|\omega|(v_1,\ldots,v_n) = \omega(v_1,\ldots,v_n)

반대로, 모든 방향 ''o'' ∈ Or(''V'')와 모든 밀도 ''μ'' ∈ Vol(''V'')는 다음과 같이 ''V'' 위에 ''n''-형식 ''ω''를 정의한다.

:

\omega(v_1,\ldots,v_n)= o(v_1,\ldots,v_n)\mu(v_1,\ldots,v_n)

텐서 곱 공간의 관점에서 보면, 방향 공간 Or(''V''), 밀도 공간 Vol(''V''), 그리고 ''V''의 쌍대 공간 ''V''*의 ''n''차 외대수

\bigwedge^n V^*

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Or}(V)\otimes \operatorname{Vol}(V) = \bigwedge^n V^*

:

\operatorname{Vol}(V) = \operatorname{Or}(V)\otimes \bigwedge^n V^*

2. 2. 벡터 공간에서의 s-밀도

벡터 공간 ''V'' 상의 ''s''-밀도는 함수 ''μ'' : ''V'' × ... × ''V'' → '''R''' 로, 다음 조건을 만족한다.

:

\mu(Av_1,\ldots,Av_n)=\left|\det A\right|^s\mu(v_1,\ldots,v_n), \quad A\in \operatorname{GL}(V).

여기서

\operatorname{GL}(V)

는 ''V'' 위의 일반선형군을 나타내며,

A

는 가역 행렬이고

\det A

는 그 행렬식이다.

밀도와 마찬가지로, ''s''-밀도는 1차원 벡터 공간 ''Vol^s''(''V'')을 형성한다. ''V'' 상의 임의의 ''n''-형식 ''ω''는 다음과 같이 ''V'' 상의 ''s''-밀도 |''ω''|^''s''를 정의한다.

:

|\omega|^s(v_1,\ldots,v_n) := |\omega(v_1,\ldots,v_n)|^s.

''s''₁-밀도 ''μ''₁과 ''s''₂-밀도 ''μ''₂의 곱은 다음과 같은 (''s''₁+''s''₂)-밀도 ''μ''를 형성한다.

:

\mu(v_1,\ldots,v_n) := \mu_1(v_1,\ldots,v_n)\mu_2(v_1,\ldots,v_n).

텐서곱 공간의 관점에서 이 사실은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{Vol}^{s_1}(V)\otimes \operatorname{Vol}^{s_2}(V) = \operatorname{Vol}^{s_1+s_2}(V).

2. 3. 매끄러운 다양체에서의 밀도

n

차원 매끄러운 다양체

M

과 양의 실수

s\in\mathbb R^+

가 주어졌다고 하자. 이때 실수 일반선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb R)

은 다음과 같은 자명한 1차원 군 표현을 가진다.

:

\rho\colon\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\to\mathbb R^+

:

\rho\colon A\mapsto|\det A|^{-s}

여기서 우변은 양의 실수의 곱셈군

(\mathbb R^+,\cdot)

의 원소이다.

이 표현

\rho

에 대한 연관 다발을 정의할 수 있는데, 이를 '''

s

-밀도 다발'''(

s

-density bundle^영어)이라고 한다. 형식적으로,

s

-밀도 다발은

M

의 프레임 다발과 위에서 정의한 1차원 군 표현

\rho(A) = \left|\det A\right|^{-s}

을 얽히게 하여 연관 다발 구성을 통해 얻어진다. 결과적으로 얻어지는 선 다발은 다음과 같이 표기한다.

:

\left|\Lambda\right|^s_M = \left|\Lambda\right|^s(TM).

만약

s=1

일 경우, 1-밀도 다발은 간단히 '''밀도 다발'''이라고 부른다.

s

-밀도 다발의 단면은 '''

s

-밀도'''라고 한다.^[1]

텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱은 '''텐서 밀도 다발'''(tensor density bundle^영어)이라고 하며, 그 단면은 '''텐서 밀도'''(tensor density^영어)라고 한다.

더 일반적으로, 연관 다발 구성을 통해

M

위의 모든 벡터 다발

E

로부터 밀도를 구성할 수도 있다.

만약

(U_\alpha,\phi_\alpha)

가

M

에 대한 지도의 아틀라스라면,

\left|\Lambda\right|^s_M

에 대한 국소적 자명화가 존재한다.

:

t_\alpha : \left|\Lambda\right|^s_M|_{U_\alpha} \to \phi_\alpha(U_\alpha)\times\mathbb{R}

이 자명화는 열린 덮개

U_\alpha

에 의존하며, 연관된 GL(1)-코사이클은 다음을 만족한다.

:

t_{\alpha\beta} = \left|\det (d\phi_\alpha\circ d\phi_\beta^{-1})\right|^{-s}.

2. 4. 미분 형식과의 관계

유향 다양체

M

의 경우, 밀도 다발은 최고차 미분 형식들의 다발

\Omega^nM

과 표준적으로 동형이다. 이 동형은 다양체의 방향에 의존하며, 이 경우 밀도는 최고차 미분 형식과 같은 개념으로 볼 수 있다. 그러나 가향 다양체가 아닌 경우에는 이러한 동형이 존재하지 않는다.

더 구체적으로, 벡터 공간

V

에 대해 방향 공간

\operatorname{Or}(V)

, 밀도 공간

\operatorname{Vol}(V)

, 그리고 n-형식 공간

\bigwedge^n V^*

사이에는 텐서 곱을 이용하여 다음과 같은 관계를 표현할 수 있다.

\operatorname{Or}(V)\otimes \operatorname{Vol}(V) = \bigwedge^n V^*

\operatorname{Vol}(V) = \operatorname{Or}(V)\otimes \bigwedge^n V^*

이 관계식은 방향(

\operatorname{Or}(V)

) 정보가 주어졌을 때 밀도(

\operatorname{Vol}(V)

)와 n-형식(

\bigwedge^n V^*

)이 서로 대응될 수 있음을 보여준다. 유향 다양체는 각 점의 접공간에 대해 일관된 방향을 가지므로, 밀도 다발과 최고차 미분 형식 다발 사이에 전역적인 동형이 성립한다. 반면, 가향 다양체가 아닌 경우 이러한 일관된 방향이 없기 때문에 전역적인 동형은 존재하지 않는다.

2. 5. 리만 다양체의 밀도 다발

리만 다양체

(M,g)

는 표준적인 밀도를 가지며, 이를 부피 밀도(volume density^eng)라고 한다. 국소적으로, 이는 부피 형식의 절댓값과 같다.

3. 성질

$s_1$ -밀도와 $s_2$ -밀도는 곱할 수 있으며, 그 결과는 $s_1+s_2$ -밀도가 된다. 구체적으로, $s_1$ -밀도 $\mu_1$ 과 $s_2$ -밀도 $\mu_2$ 의 곱 $\mu$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\mu(v_1,\ldots,v_n) := \mu_1(v_1,\ldots,v_n)\mu_2(v_1,\ldots,v_n).$

텐서곱 공간의 관점에서 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\operatorname{Vol}^{s_1}(V)\otimes \operatorname{Vol}^{s_2}(V) = \operatorname{Vol}^{s_1+s_2}(V).$

어느 곳에서도 0이 아닌 $s$ -밀도는 역수를 취할 수 있으며, 이는 $-s$ -밀도가 된다.

같은 차수 $s$ 를 가지는 두 $s$ -밀도는 더할 수 있으며, 그 결과 역시 $s$ -밀도가 된다.

$|\Lambda|^s_M$ 의 쌍대 벡터 다발은 $|\Lambda|^{-s}_M$ 이다.
텐서 밀도는 밀도 다발과 텐서 다발의 텐서 곱의 단면이다.

4. 연산

$s_1$ -밀도와 $s_2$ -밀도는 서로 곱할 수 있으며, 연산 결과는 $s_1+s_2$ -밀도가 된다.

모든 점에서 0이 아닌 값을 갖는 $s$ -밀도의 경우, 역수를 취할 수 있다. 이렇게 얻어진 밀도는 $-s$ -밀도이다.

같은 종류의 두 $s$ -밀도는 서로 더할 수 있으며, 그 합 역시 $s$ -밀도이다.

5. 텐서 밀도

텐서 밀도는 밀도 다발과 텐서 다발의 텐서 곱의 단면이다.

6. 적분

다양체 위의 1-밀도는 (적절한 수렴 조건이 충족된다면) 적분할 수 있다.

매끄러운 다양체 $M$ 의 국소 좌표계 $(U_\alpha,\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb R^n)$ 에서, 밀도 $f$ 의 적분은 다음과 같이 정의된다.

: $\int_{U_\alpha} f = \int_{\phi_\alpha(U_\alpha)} t_\alpha\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}d\mu$

여기서 $\mu$ 는 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위의 르베그 측도이다. 이 정의는 좌표 변환에 따른 밀도의 변환 법칙과 치환 적분법 덕분에, 서로 다른 국소 좌표계가 겹치는 영역에서도 적분 값이 사용한 좌표계에 의존하지 않음을 보장한다.

따라서, 콤팩트 지지를 갖는 일반적인 1-밀도의 적분은 단위 분할(partition of unity)을 이용하여 다양체 $M$ 전체에서 정의할 수 있다. 이러한 방식으로 정의된 1-밀도의 적분은 다양체가 가향적이거나 가향 가능할 필요가 없다는 점에서 부피 형식의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 밀도의 정의 자체가 좌표 변환에 따라 측도(dx)가 어떻게 변하는지에 대한 이해에서 비롯되었기 때문에, 밀도는 적분 이론에서 중요한 역할을 한다.

더 나아가, Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리를 활용하면 $|\Lambda|^1_M$ 의 분포 단면으로서 라돈 측도에 대한 일반적인 이론을 구축할 수 있다.

또한, $|\phi|_p = \left( \int|\phi|^p \right)^{1/p} < \infty$ 를 만족하는 ''1/p''-밀도들의 집합은 노름 선형 공간을 이루며, 이 공간의 완비화인 $L^p(M)$ 은 다양체 ''M''의 '''고유 ''L^p'' 공간'''이라고 불린다.

7. 응용

등각기하학에서, 등각 계량은 2차 텐서 밀도를 이룬다.

밀도는 적분 이론에서 중요한 역할을 한다. 실제로 밀도의 정의는 좌표 변환에 따라 측도 dx가 어떻게 변하는지에 의해 동기 부여된다.

좌표 차트 ''U''_α에서 지지(support)를 갖는 1-밀도 ƒ가 주어지면, 적분은 다음과 같이 정의된다.

: $\int_{U_\alpha} f = \int_{\phi_\alpha(U_\alpha)} t_\alpha\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}d\mu$

여기서 후자의 적분은 '''R'''ⁿ의 르베그 측도와 관련이 있다. 1-밀도에 대한 변환 법칙과 야코비안 변수 변경을 통해 다른 좌표 차트의 중첩에 대한 호환성이 보장되므로, 일반적인 콤팩트 지지 1-밀도의 적분은 단위 분할 인수를 통해 정의할 수 있다. 따라서 1-밀도는 다양체가 배향되거나 배향 가능할 필요가 없는 부피 형식의 개념을 일반화한 것이다. 더 일반적으로, Riesz-Markov-Kakutani 표현 정리를 사용하여 $|\Lambda|^1_M$ 의 분포적 단면으로 라돈 측도에 대한 일반적인 이론을 개발할 수 있다.

$|\phi|_p = \left( \int|\phi|^p \right)^{1/p} < \infty$ 인 ''1/p''-밀도 집합은 노름 선형 공간이며, 그 완비 $L^p(M)$ 은 ''M''의 '''고유 L^p 공간'''이라고 한다.

8. 표기법 및 관례

일부 분야, 특히 등각 기하학에서는 다른 가중치 규칙이 사용되기도 한다. 이 경우, ''s''-밀도 다발은 다음과 같은 변환 규칙을 따른다:

: $\rho(A) = \left|\det A\right|^{-s/n}.$

이 규칙을 따르면, 예를 들어 적분은 1-밀도가 아닌 ''n''-밀도에 대해 수행된다. 또한, 이 규칙에서는 등각 메트릭을 가중치 2의 텐서 밀도로 간주한다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com