볼록 껍질

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1. 개요

볼록 껍질은 유클리드 공간의 점 집합 X에 대해 X를 포함하는 최소의 볼록 집합으로 정의된다. 이는 X를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합, X의 점들의 모든 볼록 조합의 집합, X에 정점을 가진 모든 단순체의 합집합과 같다. 볼록 껍질은 열린 집합의 경우 열린 집합이며 콤팩트 집합의 경우 콤팩트 집합이다. 유한 점 집합의 볼록 껍질은 볼록 다각형 또는 볼록 다면체를 형성하며, 계산 기하학, 조합 최적화, 경제학, 기하 모델링 등 다양한 분야에 응용된다.

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볼록 껍질
개요
점들의 집합(왼쪽)과 그 볼록 껍질(오른쪽)
정의
설명	수학에서 집합 X를 포함하는 가장 작은 볼록 집합
다른 표현	X를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합 X의 점들의 볼록 결합 전체의 집합
용어	볼록 폐포 (convex closure)
속성
클리	주어진 점들의 유한 집합의 볼록 껍질은 그 점들의 부분 집합의 볼록 껍질과 같음 (부분 집합의 점들이 볼록 껍질의 꼭짓점임)
2차원	볼록 껍질은 다각형
3차원	볼록 껍질은 다면체
일반 차원	볼록 껍질은 폴리토프
점 집합	점 집합의 볼록 껍질은 집합의 모든 점을 포함하는 가장 작은 볼록 폴리토프
콤팩트 집합	콤팩트 집합의 볼록 껍질은 콤팩트함
열린 집합	열린 집합의 볼록 껍질은 반드시 열려 있을 필요는 없음
닫힌 집합	닫힌 집합의 볼록 껍질은 반드시 닫혀 있을 필요는 없음 (닫힌 볼록 껍질 closed convex hull)
계산 복잡도
2차원	O(n log n)
3차원	O(n log n)
d차원	O(n^(floor(d/2)))
응용
패턴 인식	패턴 인식
이미지 처리	이미지 처리
통계학	통계학
지리 정보 시스템	지리 정보 시스템
게임 이론	게임 이론

2. 정의

유클리드 공간의 점 집합은 각 점 쌍을 연결하는 선분을 포함하는 경우 볼록하다고 정의된다. 주어진 집합

X

의 볼록 껍질은 다음과 같이 정의될 수 있다.

#

X

를 포함하는 (고유한) 최소 볼록 집합

#

X

를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합

#

X

에 있는 점들의 모든 볼록 조합 집합

#

X

에 정점을 가진 모든 단순체의 합집합

2. 1. 정의의 동치성

볼록 껍질의 정의들은 모두 동치이다.^[2] 첫 번째 정의에서 모든 `X`에 대해 `X`를 포함하는 유일한 최소 볼록 집합이 존재해야 하는지는 명확하지 않지만, 두 번째 정의인 `X`를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합은 잘 정의된다. 이는 `X`를 포함하는 다른 모든 볼록 집합 `Y`의 부분 집합이 되기 때문에, `X`를 포함하는 유일한 최소 볼록 집합이다. 따라서 처음 두 정의는 동일하다.

`X`를 포함하는 각 볼록 집합은 `X` 점들의 모든 볼록 결합을 포함해야 하므로, 모든 볼록 결합의 집합은 `X`를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합에 포함된다.^[2] 반대로, 모든 볼록 결합의 집합은 `X`를 포함하는 볼록 집합이므로, `X`를 포함하는 모든 볼록 집합의 교집합 또한 포함하며, 따라서 두 번째와 세 번째 정의는 동일하다.^[2]

카라테오도리 정리에 따르면, `X`가 `d`차원 유클리드 공간의 부분 집합인 경우, `X`의 유한 개의 점들의 모든 볼록 결합은 `X`의 최대 `d+1`개의 점들의 볼록 결합이다.^[2] `(d+1)`개 점들의 튜플의 볼록 결합의 집합은 단순체이며, 평면에서는 삼각형, 3차원 공간에서는 사면체이다. 따라서 `X`의 점들의 모든 볼록 결합은 꼭짓점이 `X`에 속하는 단순체에 속하며, 세 번째와 네 번째 정의는 동일하다.^[2]

3. 성질

3. 1. 위상적 성질

열린 집합의 볼록 껍질은 항상 열린 집합이며, 콤팩트 집합의 볼록 껍질은 항상 콤팩트 집합이다.^[5] 그러나 닫힌 집합의 볼록 껍질이 닫히지 않는 경우도 존재한다.^[5] 예를 들어, 닫힌 집합

:

\left  \{ (x,y) \mathop{\bigg|} y\ge \frac{1}{1+x^2}\right\}

(아그네시의 마녀 위에 또는 그 위에 있는 점들의 집합)은 열린 상반 평면을 볼록 껍질로 갖는다.^[6]

아그네시의 마녀. 빨간색 곡선 위의 점들은 볼록 껍질이 열린 집합(열린 상반 평면)인 닫힌 집합의 예시를 제공한다.

크레인-스뮬리안 정리에 따르면, 바나흐 공간의 약하게 콤팩트한 부분 집합(약한 위상에서 콤팩트한 부분 집합)의 닫힌 볼록 껍질은 약하게 콤팩트하다.

3. 2. 극점

크레인-밀만 정리에 따르면, 유클리드 공간의 모든 콤팩트 볼록 집합은 극점들의 볼록 껍질이다.^[7] 극점은 볼록 집합 내의 점으로서, 동일한 집합 내의 다른 두 점 사이의 열린 선분 위에 있지 않은 점을 의미한다. 볼록 껍질의 경우, 모든 극점은 주어진 집합의 일부여야 한다. 그렇지 않으면 주어진 점들의 볼록 결합으로 형성될 수 없기 때문이다. 콤팩트하지 않은 볼록 집합의 경우에는 이것이 성립하지 않을 수 있는데, 예를 들어 전체 유클리드 평면과 열린 단위 공은 둘 다 볼록하지만 극점을 전혀 가지고 있지 않다. 쇼케 이론은 이러한 이론을 극점의 유한 볼록 결합에서 무한 결합(적분)으로 더 일반적인 공간으로 확장한다.

3. 3. 폐포 연산자

볼록 껍질 연산자는 다음과 같은 폐포 연산자의 특징을 갖는다.

확장적이다. 즉, 모든 집합 X의 볼록 껍질은 X의 상위 집합이다.
단조 감소하지 않는다. 즉, X⊆Y인 두 집합 X와 Y에 대해, X의 볼록 껍질은 Y의 볼록 껍질의 부분 집합이다.
멱등적이다. 즉, 모든 X에 대해, X의 볼록 껍질의 볼록 껍질은 X의 볼록 껍질과 동일하다.

유한한 점 집합에 적용될 때, 이것은 점 집합의 쉘링(shelling) 반(反) 매트로이드인 반 매트로이드의 폐포 연산자이다. 모든 반 매트로이드는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간에서 점들의 볼록 껍질로 이와 같이 표현될 수 있다.

3. 4. 민코프스키 합

볼록 껍질 연산과 민코프스키 합 연산은 서로 교환 가능하다.^[8] 즉, 집합들의 볼록 껍질의 민코프스키 합은 동일한 집합들의 민코프스키 합의 볼록 껍질과 같다. 이는 셰플리-폭스만 보조정리로 가는 단계가 된다.^[8]

실수 선형 공간의 임의의 두 부분 집합 *S*₁, *S*₂에 대하여, 그들의 민코프스키 합의 볼록 껍질은 각각의 볼록 껍질의 민코프스키 합과 같다.

:

\operatorname{Conv}(S_1 + S_2) = \operatorname{Conv}(S_1) + \operatorname{Conv}(S_2)

이 결과는 부분 집합의 유한족에 대해서도 일반화할 수 있다.

:

\operatorname{Conv}\!\big(\sum_{i=1}^n S_i\bigr) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Conv}(S_i)

집합의 민코프스키 합: 두 개의 정사각형의 민코프스키 합은 더 큰 정사각형이 된다.

바꿔 말하면, 민코프스키 합 연산자와 볼록 껍질 연산자는 가환이다. 이러한 결과는 "민코프스키 합"이 집합론적인 합 (합집합)과 다름을 보여준다.

3. 5. 사영 쌍대

점 집합의 사영 쌍대 연산은 원점(또는 지정된 임의의 다른 점)을 모두 포함하는 닫힌 반공간들의 모임을 구성하는 것이다.

{{reflist|refs=

}}

4. 특수한 경우

4. 1. 유한 점 집합

유한 점 집합

S \subset \R^d

의 볼록 껍질은

d=2

일 때 볼록 다각형을 형성하며, 더 일반적으로는

\R^d

에서 볼록 다면체를 형성한다. 껍질의 각 극점은 꼭짓점이라고 하며, (크레인-밀만 정리에 의해) 모든 볼록 다면체는 꼭짓점들의 볼록 껍질이다. 이는 꼭짓점이

S

에 속하고

S

의 모든 점을 둘러싸는 유일한 볼록 다면체이다.

일반 위치에 있는 점 집합의 경우, 볼록 껍질은 단순 다면체이다.

상계 정리에 따르면,

d

차원 유클리드 공간에서

n

개의 점의 볼록 껍질의 면의 수는

O(n^{\lfloor d/2\rfloor})

이다. 특히, 2차원과 3차원에서는 면의 수가

n

에 대해 선형 이하이다.

유한 점 집합의 볼록 껍질은 해당 집합에 속하는 점들로부터 얻을 수 있는 볼록 결합 전체로 구성된 집합이다. 볼록 결합에서 ''S''의 각 점 ''x''_''i''에 곱해지는 가중치 또는 계수 α_''i''는 모두 양수이고, 이들의 총합이 1이 되며, 이러한 가중치는 점들 간의 가중 평균 계산에 사용된다. 이러한 계수 쌍을 선택할 때마다 볼록 껍질에 속하는 점이 하나 결정되며, 계수로서 가능한 모든 쌍을 고려함으로써 볼록 껍질 전체를 얻을 수 있다. 식으로 나타내면 볼록 껍질은

:

\left\{\sum_{i=1}^

\alpha_i x_i \mathrel{\;\Bigg|\;} (\forall i: \alpha_i\ge 0)\wedge \sum_{i=1}^

\alpha_i=1 \right\}

로 주어진 집합이 된다.

''S''의 점이 모두 하나의 직선 위에 놓여 있다면, ''S''의 볼록 껍질은 가장 바깥쪽에 있는 두 점을 잇는 선분이 된다. 또한, 집합 ''S''가 평면상의 (즉, 이차원의) 공이 아닌 유한 부분 집합일 때, ''S'' 전체를 고무 밴드로 둘러싼 다음, 이것을 놓아서 수축하는 상황을 상상하면, 고무 밴드가 팽팽하게 당겨진 상황에서 ''S''의 볼록 껍질을 볼 수 있다.

2차원에서 볼록 껍질은 가장 왼쪽 점과 가장 오른쪽 점 사이를 늘여서 만들 수 있는 "상포" (upper hull) 와 "하포" (lower hull) 라고 불리는 두 개의 다각형 체인으로 나눌 수 있다. 더 일반적으로, 임의 차원에서 일반적인 위치에 있는 점의 집합에 대해, 볼록 껍질의 각 는 (볼록 껍질과 그 바로 위의 점을 분리함으로써) 위쪽 또는 아래쪽으로 방향을 정할 수 있다. 위쪽을 향하는 면 전체의 합이 '''상포'''라고 불리는 위상적 원반을 이룬다. 마찬가지로 '''하포'''는 아래쪽을 향하는 면 전체의 합을 말한다.

4. 2. 단순 다각형

단순 다각형의 볼록 껍질은 주어진 다각형을 둘러싸고 있으며, 다각형에 의해 여러 영역으로 분할되는데, 그 중 하나가 다각형 자체이다. 다각형의 다각형 체인과 단일 볼록 껍질 모서리에 의해 경계가 정해지는 다른 영역들을 "포켓"이라고 부른다. 각 포켓에 대해 동일한 분해를 재귀적으로 계산하면 "볼록 차이 트리"라고 하는 주어진 다각형의 계층적 설명이 형성된다. 포켓을 볼록 껍질 모서리를 기준으로 반사하면 주어진 단순 다각형이 동일한 둘레와 더 큰 면적을 가진 다각형으로 확장되며, 에르되스-너지 정리에 따르면 이 확장 프로세스는 결국 종료된다.

4. 3. 브라운 운동

평면에서 브라운 운동이 생성하는 곡선은 임의의 고정된 시점에서 경계가 연속 미분 가능한 곡선을 형성하는 볼록 껍질을 가질 확률이 1이다. 그러나

\pi/2<\theta<\pi

범위의 임의의 각도

\theta

에 대해 브라운 운동 중 움직이는 입자가 각도

\theta

의 점에서 볼록 껍질의 경계에 닿는 시점이 있을 것이다. 이러한 예외적인 시간 집합의 하우스도르프 차원은 (높은 확률로)

1-\pi/2\theta

이다.

4. 4. 공간 곡선

3차원 공간에서 일반적인 위치에 있는 공간 곡선 또는 유한한 집합의 공간 곡선에 대한 볼록 껍질의 경우, 곡선에서 떨어진 경계의 부분은 전개면이자 선면이다. 예시로는 서로의 중심을 통과하는 수직 평면에 있는 두 개의 원의 볼록 껍질인 올로이드, 공통 중심을 가진 수직 평면에 있는 두 개의 반원의 볼록 껍질인 스페리콘이 있다.

4. 5. 함수

실수 벡터 공간에서 함수

f

의 볼록 껍질 또는 아래 볼록 덮개는 그 에피그래프가

f

의 에피그래프의 아래 볼록 껍질인 함수이다. 이는

f

에 의해 지배되는 고유한 최대 볼록 함수이다. 이 정의는 함수 집합의 볼록 껍질(에피그래프의 합집합의 볼록 껍질 또는 동등하게 그들의 점별 최소값으로부터 얻음)으로 확장될 수 있으며, 이 형식에서 볼록 공액 연산의 쌍대이다.

5. 계산

계산 기하학에서 유한한 점 집합과 다른 기하학적 객체의 볼록 껍질을 계산하기 위한 여러 알고리즘이 알려져 있다.^[9] 볼록 껍질을 계산한다는 것은 필요한 볼록 형상의 명확하고 효율적인 표현을 구성하는 것을 의미한다. 점 집합의 볼록 껍질에 대해 고려된 출력 표현에는 껍질의 선형 부등식을 설명하는 목록, 무방향 그래프와 그 인접성, 또는 껍질의 전체 면 격자가 포함된다. 2차원에서는 껍질을 둘러싼 순환 순서로 정점인 점을 나열하는 것만으로 충분할 수 있다.

2차원 또는 3차원의 볼록 껍질의 경우, 해당 알고리즘의 복잡성은 일반적으로 입력 점의 수 $n$ 과 볼록 껍질 위의 점의 수 $h$ 로 추정되며, $n$ 보다 훨씬 작을 수 있다. 고차원 껍질의 경우, 다른 차원의 면의 수도 분석에 포함될 수 있다. 그레이엄 스캔은 평면에서 $n$ 개의 점의 볼록 껍질을 $O(n\log n)$ 시간에 계산할 수 있다. 2차원 및 3차원 점의 경우, 찬의 알고리즘과 커크패트릭-자이델 알고리즘을 포함하여 볼록 껍질을 $O(n\log h)$ 시간에 계산하는 더 복잡한 출력 민감형 알고리즘이 알려져 있다. $d>3$ 차원의 경우, 볼록 껍질을 계산하는 시간은 $O(n^{\lfloor d/2\rfloor})$ 이며, 문제의 최악의 경우 출력 복잡도와 일치한다.^[9]

동적 볼록 껍질 자료 구조를 사용하면 점의 삽입 및 삭제를 거치는 점 집합의 볼록 껍질을 추적할 수 있으며, 운동 볼록 껍질 구조는 지속적으로 움직이는 점의 볼록 껍질을 추적할 수 있다. 볼록 껍질의 구성은 또한 점 집합의 폭과 지름을 계산하기 위한 회전 캘리퍼스 방법과 같은 여러 다른 계산 기하학 알고리즘의 도구이자 구성 요소 역할을 한다.

6. 관련 구조

아핀 껍질, 선형 껍질, 원뿔 껍질, 시각 껍질, 원형 껍질, 상대적 볼록 껍질, 직교 볼록 껍질 등 다양한 관련 개념들이 존재한다. 이들은 점 집합에서 정의될 수 있는데, 어떤 속성을 가진 최소한의 상위 집합, 주어진 모양 집합에서 점들을 포함하는 모든 모양의 교집합, 또는 특정 유형의 조합에 대한 모든 점 조합의 합집합과 같이 정의된다.

예를 들어, 아핀 껍질은 주어진 집합을 포함하는 유클리드 공간의 가장 작은 아핀 부분 공간이거나, 집합 내 점들의 모든 아핀 조합의 합집합이다. 선형 껍질은 주어진 집합을 포함하는 벡터 공간의 가장 작은 선형 부분 공간이거나, 집합 내 점들의 모든 선형 조합의 합집합이다. 벡터 공간 부분 집합의 원뿔 껍질 또는 양의 껍질은 부분 집합 내 점들의 모든 양의 조합의 집합이다.

일련의 시점에 관해 삼차원 물체의 시각 껍질은 시점으로부터 $p$ 를 통과하는 모든 광선이 물체와 교차하는 점 $p$ 로 구성된다. 이는 각 시점에 대한 물체의 윤곽선에 의해 생성된 (비볼록) 원뿔의 교집합과 동일하다. 이는 주어진 시점으로부터 동일한 윤곽선을 가질 수 있는 가장 큰 모양으로서 3D 재구성에 사용된다. 평면 부분 집합의 원형 껍질 또는 알파 껍질은 부분 집합을 포함하는 주어진 반지름 $1/\alpha$ 를 갖는 모든 원반의 교집합이다. 이차원 단순 다각형의 부분 집합의 상대적 볼록 껍질은 모든 상대적으로 볼록한 상위 집합의 교집합이며, 여기서 동일한 다각형 내의 집합은 두 점 사이의 측지선을 포함하는 경우 상대적으로 볼록하다. 직교 볼록 껍질 또는 직사각형 볼록 껍질은 모든 직교 볼록하고 연결된 상위 집합의 교집합이며, 여기서 집합은 점 쌍 사이의 모든 축 평행 세그먼트를 포함하는 경우 직교 볼록하다. 직교 볼록 껍질은 초볼록 껍질의 특수한 경우이며, 이는 주어진 거리 공간의 점을 포함하는 가장 작은 주입적 거리 공간으로 생각할 수 있다.

들로네 삼각 분할과 보로노이 다이어그램은 볼록 껍질과 수학적으로 밀접하게 관련되어 있다. $\R^n$ 의 점 집합의 들로네 삼각 분할은 $\R^{n+1}$ 의 볼록 껍질의 투영으로 볼 수 있다. 알파 모양은 점 집합의 모양을 다양한 수준에서 표현하며, 볼록 레이어는 중첩된 볼록 다각형들을 통해 점 집합을 계층적으로 표현한다. 다각형의 볼록 해골은 그 안에 포함된 가장 큰 볼록 다각형이다.

7. 응용

볼록 껍질은 여러 분야에서 광범위하게 응용된다. 수학 분야에서 볼록 껍질은 다항식, 행렬 고유값, 그리고 유니타리 원소를 연구하는 데 사용되며, 이산 기하학의 여러 정리에서도 볼록 껍질이 사용된다.^[11] 강건 통계학에서는 터키 깊이의 가장 바깥쪽 윤곽으로 사용되며, 2차원 데이터의 백플롯 시각화의 일부이며, 확률적 결정 규칙의 위험 집합을 정의한다.^[12] 조합 문제의 해에 대한 지표 벡터의 볼록 껍질은 조합 최적화와 다면체 조합론의 핵심이다.

bagplot. 바깥쪽 음영 영역은 볼록 껍질이고, 안쪽 음영 영역은 50% 터키 깊이 등고선이다.

경제학에서는 볼록 껍질을 사용하여 경제학에서의 볼록성의 방법을 비볼록 시장에 적용할 수 있다. 애로우-드브뢰 모형의 일반 경제 균형에서, 경제 주체들은 볼록한 예산 집합과 볼록 선호를 가진다고 가정한다. 이러한 경제학에서의 볼록성 가정은 균형의 존재를 증명하는 데 사용될 수 있다. 실제 경제 데이터가 비볼록인 경우, 볼록 껍질을 취하여 볼록하게 만들 수 있다. 셰플리-폭스만 정리는 대규모 시장에서 이러한 근사가 정확하며, 원래의 비볼록 시장에 대한 "준균형"으로 이어진다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.^[13]

기하 모델링에서 볼록 껍질 특성은 베지어 곡선의 교차점을 찾는 데 도움이 되며, 볼록 껍질은 보트 선체의 측정의 일부이다. 그리고 동물 행동 연구에서 볼록 껍질은 행동권의 표준 정의에 사용된다.^[14]

양자역학에서, 임의의 양자 시스템의 상태 공간 (즉, 시스템을 준비할 수 있는 모든 방법의 집합)은 순수 상태라고 알려진 반양의 정부 행렬인 극점과 혼합 상태라고 불리는 내부점을 가진 볼록 껍질이다.

열역학에서, 어떤 물질의 여러 화학 양론 에너지 집합에서 하부 볼록 껍질에 있는 측정값만 안정적이다. 껍질에서 점을 제거한 다음 껍질까지의 거리를 계산하면, 새로운 껍질까지의 거리는 해당 상의 안정성을 나타낸다.

볼록 껍질을 구하는 문제의 실용적인 응용 분야로는 패턴 인식, 영상 처리, 통계학, 지리 정보 시스템, 추상 해석에 의한 정적 코드 분석 등이 있다. 또한, 점 집합의 폭이나 직경을 계산하는 회전하는 캘리퍼스법과 같은 다른 계산 기하학적 알고리즘의 구성 요소로서 중요한 역할을 한다.

8. 역사

1676년, 평면상의 점들의 아래쪽 볼록 껍질은 아이작 뉴턴이 헨리 올덴버그에게 보낸 편지에서 뉴턴 다각형의 형태로 나타난다.^[16] "볼록 껍질"이라는 용어 자체는 가렛 버코프의 저작에서 처음 등장하며, 이에 해당하는 독일어 용어는 더 일찍 등장했는데, 예를 들어 한스 라데마허의 쾨니그에 대한 서평에서 찾아볼 수 있다.^[17] 로이드 다인스에 따르면, 1938년까지 "볼록 껍질"이라는 용어가 표준이 되었으며, 다인스는 "hull"이라는 단어의 통상적인 의미가 모양의 표면을 가리키는 것으로 보이지만, 볼록 껍질은 표면뿐만 아니라 내부도 포함하기 때문에 이 용어가 적절하지 않다고 덧붙였다.

참조

_[1] 논문 Williams, Rossignac, 2005. See also Douglas Zare, answer to "the perimeter of a non-convex set" https://mathoverflow[...] 2014-05-16
_[2] 서적 Rockafellar, 1970, p. 12; Lay, 1982, p. 17
_[3] 서적 de Berg, van Kreveld, Overmars, Schwarzkopf, 2008, p. 6. The idea of partitioning the hull into two chains comes from an efficient variant of Graham scan by Andrew, 1979
_[4] 논문 Steinitz, 1914; Gustin, 1947; Bárány, Katchalski, Pach, 1982
_[5] 서적 Grünbaum, 2003, p. 16; Lay, 1982, p. 21; Sakuma, 1977
_[6] 논문 Talman, 1977, Remark 2.6
_[7] 논문 Krein, Milman, 1940; Lay, 1982, p. 43
_[8] 논문 Krein, Šmulian, 1940, Theorem 3, pages 562–563; Schneider, 1993, Theorem 1.1.2 (pages 2–3) and Chapter 3
_[9] 논문 Chazelle, 1993; de Berg, van Kreveld, Overmars, Schwarzkopf, 2008, p. 256
_[10] 논문 McCallum, Avis, 1979; Graham, Yao, 1983; Lee, 1983
_[11] 논문 Artin, 1967; Gel'fand, Kapranov, Zelevinsky, 1994
_[12] 논문 Pulleyblank, 1983; see especially remarks following Theorem 2.9
_[13] 논문 Nicola, 2000. See in particular Section 16.9, Non Convexity and Approximate Equilibrium, pp. 209–210
_[14] 논문 Kernohan, Gitzen, Millspaugh, 2001, p. 137–140; Nilsen, Pedersen, Linnell, 2008
_[15] 논문 Hautier, 2014; Fultz, 2020
_[16] 논문 Newton, 1676; see Auel, 2019, page 336, and Escobar, Kaveh, 2020
_[17] 간행물 White, 1923, page 520

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