불의 부등식
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2. 부울 부등식 (Boole's Inequality)
부울 부등식은 사건의 유한 합집합의 확률에 대한 상계 와 하계 를 찾는 데 사용될 수 있으며, 카를로 에밀리오 본페로니의 이름을 따 '''본페로니 부등식'''이라고도 불린다.S_1 := \sum_{i=1}^n {\mathbb P}(A_i), \quad S_2 := \sum_{1\le i_1 < i_2\le n} {\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} ),\quad \ldots,\quad S_k := \sum_{1\le i_1<\cdotsK \leq n 이 홀수일 때와 짝수일 때 각각 다음과 같은 부등식이 성립한다. \sum_{j=1}^K (-1)^{j-1} S_j \geq \mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} S_j \sum_{j=1}^K (-1)^{j-1} S_j \leq \mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} S_j K=1 인 특수한 경우이다.2. 1. 내용
유한하거나 가산 무한 개의 사건 $A_1, A_2, A_3, \dots영어 $에 대해, 다음 부등식이 성립한다.\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \leq \sum_i \mathbb P(A_i). 유한 개의 사건에 대한 증명 수학적 귀납법 을 사용하여 $n영어 $개의 유한한 사건 집합에 대해 증명할 수 있다.\mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1). $n영어 $인 경우 다음이 성립한다고 가정한다.: {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i). \mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) 이고, 합집합 연산이 결합 법칙을 따르므로, 다음이 성립한다.\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) -\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right). {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right) \ge 0 이므로,\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) \le \mathbb{P} \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i) + \mathbb{P}(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_i) 무한 개의 사건에 대한 증명 확률 공간의 공리 중 하나는 $B_1, B_2, B_3, \dots영어 $가 확률 공간의 ''상호 배타적'' 부분 집합일 경우\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} B_i\right) = \sum_i \mathbb P(B_i) 영어 $를 다음과 같이 수정하여 상호 배타적이 되도록 한다.B_i = A_i - \bigcup^{i-1}_{j=1} A_j \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i = \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i. 영어 $의 구성에 의해, $B_i \subset A_i영어 $이다. $B \subset A영어 $일 경우, $\mathbb P (B) \leq \mathbb P(A)영어 $가 성립한다.\mathbb P\left(\bigcup_iA_i\right) = \mathbb P\left(\bigcup_iB_i\right) = \sum_i \mathbb P (B_i) \leq \sum_i \mathbb P(A_i). 2. 2. 증명
불의 부등식은 수학적 귀납법 또는 확률의 공리들을 사용하여 증명할 수 있다. 증명 방법은 크게 두 가지로 나뉜다. 하나는 수학적 귀납법을 이용하는 것이고, 다른 하나는 확률의 공리만을 이용하는 것이다.2. 2. 1. 수학적 귀납법을 이용한 증명
수학적 귀납법 을 사용하여 불의 부등식을 증명할 수 있다.2. 2. 2. 귀납법을 사용하지 않는 증명
임의의 사건 A_1, A_2, A_3, \dots 가 확률 공간 안에 있을 때 다음이 성립한다.\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \leq \sum_i \mathbb P(A_i). B_1, B_2, B_3, \dots 가 확률 공간의 ''상호 배타적'' 부분 집합일 경우\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} B_i\right) = \sum_i \mathbb P(B_i) A_i 를 수정하여 상호 배타적이 되도록 하면B_i = A_i - \bigcup^{i-1}_{j=1} A_j \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i = \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i. x \in \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i 라고 가정하자. 그러면 i < k \implies x \notin A_i 를 만족하는 최소 k 에 대해 x \in A_k 가 성립한다. 따라서 x \in B_k = A_k - \bigcup^{k-1}_{j=1} A_j 이다. 따라서 첫 번째 포함 관계 \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i \subset \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i 가 성립한다.x \in \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i 라고 가정하자. 그러면 어떤 k 에 대해 x \in B_k 가 성립한다. 그리고 B_k = A_k - \bigcup^{k-1}_{j=1} A_j 이므로 x \in A_k 이며, 다른 포함 관계 \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i \subset \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i 가 성립한다.B_i 의 구성에 의해, B_i \subset A_i 이다. B \subset A 일 경우, \mathbb P (B) \leq \mathbb P(A) 가 성립한다.\mathbb P\left(\bigcup_iA_i\right) = \mathbb P\left(\bigcup_iB_i\right) = \sum_i \mathbb P (B_i) \leq \sum_i \mathbb P(A_i).
3. 본페로니 부등식 (Bonferroni Inequalities)
부울의 부등식은 사건의 유한 합집합의 확률에 대한 상계 와 하계 를 찾기 위해 일반화될 수 있다.
3. 1. 내용
카를로 에밀리오 본페로니의 이름을 딴 본페로니 부등식 은 사건의 유한 합집합의 확률에 대한 상계 와 하계 를 찾는 부울의 부등식을 일반화한 것이다.S_1 := \sum_{i=1}^n {\mathbb P}(A_i), \quad S_2 := \sum_{1\le i_1 < i_2\le n} {\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} ),\quad \ldots,\quad S_k := \sum_{1\le i_1<\cdotsK \leq n 이 홀수일 때: \sum_{j=1}^K (-1)^{j-1} S_j \geq \mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} S_j K \leq n 이 짝수일 때: \sum_{j=1}^K (-1)^{j-1} S_j \leq \mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} S_j K=1 인 특수한 경우이다.3. 2. 예시: 다중 비교 문제
본페로니 부등식은 통계적 가설 검정에서 다중 비교 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 여러 개의 가설을 동시에 검정할 때, 각 가설에 대한 유의 수준을 조정하여 전체적인 유의 수준을 유지할 수 있다.부울 부등식 을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있다. "5개 모두 정확함" 사건의 여집합을 찾으면 이 질문을 다른 조건으로 바꿀 수 있다.1 이 잘못됨) + P(A2 가 잘못됨) + P(A3 이 잘못됨) + P(A4 가 잘못됨) + P(A5 가 잘못됨)''
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