비탄성 충돌

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1. 개요
2. 충돌 공식
- 2.1. 1차원 충돌
- 2.2. 2차원 및 3차원 충돌
3. 충돌의 종류
- 3.1. 비탄성 충돌 (0 < C_R < 1)
4. 충돌의 응용
참조

1. 개요

비탄성 충돌은 충돌 과정에서 운동 에너지가 보존되지 않는 충돌을 의미한다. 반발 계수에 따라 완전 비탄성 충돌(반발 계수 0)과 부분 탄성 충돌(0 < 반발 계수 < 1)로 분류된다. 완전 비탄성 충돌은 충돌 후 두 물체가 하나로 합쳐지는 경우이며, 부분 탄성 충돌은 물체가 분리되지만 운동 에너지가 손실되는 경우이다. 비탄성 충돌은 입자 가속기, 핵융합, 자동차 안전 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 충돌 공식

일차원 충돌에서 두 물체의 충돌 후 속도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[1]

: $v_a = \frac{C_R m_b (u_b - u_a) + m_a u_a + m_b u_b} {m_a+m_b}$

: $v_b = \frac{C_R m_a (u_a - u_b) + m_a u_a + m_b u_b} {m_a+m_b}$

여기서,

''v''_a는 충돌 후 첫 번째 물체의 최종 속도이다.
''v''_b는 충돌 후 두 번째 물체의 최종 속도이다.
''u''_a는 충돌 전 첫 번째 물체의 초기 속도이다.
''u''_b는 충돌 전 두 번째 물체의 초기 속도이다.
''m''_a는 첫 번째 물체의 질량이다.
''m''_b는 두 번째 물체의 질량이다.
''C''_R은 반발 계수이다. 1이면 탄성 충돌이고, 0이면 완전 비탄성 충돌이다.

운동량의 중심 좌표계에서 공식은 다음과 같이 단순화된다.^[1]

:

v_a = -C_R u_a

:

v_b = -C_R u_b

2차원 및 3차원 충돌의 경우, 위에 제시된 공식에서 사용된 속도는 접촉 지점에서의 접선 및 평면에 수직인 성분을 의미한다.

2. 1. 1차원 충돌

일차원 충돌에서 두 물체의 충돌 후 속도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

v_a=\frac{C_R m_b (u_b - u_a) + m_a u_a + m_b u_b} {m_a+m_b}

:

v_b=\frac{C_R m_a (u_a - u_b) + m_a u_a + m_b u_b} {m_a+m_b}

여기서,

''v''_a는 첫 번째 물체의 충돌 후 최종 속도이다.
''v''_b는 두 번째 물체의 충돌 후 최종 속도이다.
''u''_a는 첫 번째 물체의 충돌 전 초기 속도이다.
''u''_b는 두 번째 물체의 충돌 전 초기 속도이다.
''m''_a는 첫 번째 물체의 질량이다.
''m''_b는 두 번째 물체의 질량이다.
''C''_R은 반발 계수이다. 이 값이 1이면 탄성 충돌, 0이면 완전 비탄성 충돌이다.

질량 중심 좌표계를 사용하면 위 공식은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

:

v_a=-C_R u_a

:

v_b=-C_R u_b

2차원 및 3차원 충돌의 경우, 위에 제시된 공식에서 사용된 속도는 접촉 지점에서의 접선 및 평면에 수직인 성분을 의미한다.

2. 2. 2차원 및 3차원 충돌

2차원 및 3차원 충돌의 경우, 일차원 충돌 공식을 적용할 때 속도는 접촉 지점에서의 접선/평면에 수직인 성분을 사용한다.

물체가 충돌 전후에 회전하지 않는다고 가정하면, 법선 충격량은 다음과 같다.

:

J_{n} = \frac{m_{a} m_{b}}{m_{a} + m_{b}} (1 + C_R) (\vec{u_{b}} - \vec{u_{a}}) \cdot \vec{n}

여기서

\vec{n}

는 법선 벡터이다.

마찰이 없다고 가정하면, 속도 변화량은 다음과 같다.

:

\begin{align}\Delta \vec{v_{a}} &= \frac{J_{n}}{m_{a}} \vec{n} \\\Delta \vec{v_{b}} &= -\frac{J_{n}}{m_{b}} \vec{n}\end{align}

3. 충돌의 종류

반발 계수에 따라 충돌은 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''완전 탄성 충돌''': 반발 계수가 1인 충돌로, 충돌 전후 운동 에너지의 총량이 보존된다.
'''비탄성 충돌''': 반발 계수가 0과 1 사이인 충돌로, 충돌 과정에서 운동 에너지의 일부가 열, 소리 등으로 변환되어 손실된다. 현실 세계의 대부분의 충돌은 비탄성 충돌이다.
'''완전 비탄성 충돌''': 반발 계수가 0인 충돌로, 충돌 후 두 물체가 하나로 합쳐진다. 이 경우 운동 에너지 손실이 가장 크다.

완전 비탄성 충돌은 계의 운동 에너지가 최대한 산일될 때 일어난다. 즉, 반발 계수가 0인 경우에는 충돌하는 입자가 서로 붙는다. 이 경우 운동 에너지는 두 물체의 결합으로 인해 손실되며, 이 결합 에너지로 인해 일반적으로 운동 에너지 손실이 최대가 된다. 운동량 보존을 고려해야 한다. (주의: 위의 예시처럼 블록이 미끄러지는 경우, 운동량 보존은 바닥과의 마찰이 없을 때만 성립한다. 마찰이 있는 경우, 두 물체계의 운동량은 미끄러짐에 따라 바닥으로 전달된다. 마찬가지로 공기 저항이 있는 경우도 공기 중으로 전달된다.)

아래 방정식은 위의 두 물체(물체 A, 물체 B) 시스템 충돌에 적용된다. (이 예시에서는 바닥과 물체 사이에 마찰이 없어 운동량이 보존된다.)

:

m_a u_a + m_b u_b = \left( m_a + m_b \right)  v \,

여기서 ''v''는 최종 속도이며, 다음과 같이 주어진다.

:

v=\frac{m_a u_a + m_b  u_b}{m_a + m_b}

총 운동 에너지의 감소는 두 입자에 대한 질량 중심 좌표계에서의 충돌 전 에너지와 같다. 왜냐하면 이 기준계에서는 충돌 후의 에너지가 0이기 때문이다. 이 기준계에서 충돌 전 운동 에너지의 대부분은 질량이 작은 입자의 운동 에너지이다. 다른 기준계에서는 운동 에너지 감소뿐만 아니라, 한 입자에서 다른 입자로 운동 에너지가 이동할 수도 있다. 기준계에 따라 달라진다는 사실은 이것이 상대적인 현상임을 보여준다.

시간을 두고 보면, 두 물체는 서로 밀착되었다가 떨어진다. 예를 들어 탄환의 발사나 로켓의 추력이 있다. (치올코프스키 로켓 방정식의 유도 참조)^[1]

3. 1. 비탄성 충돌 (0 < C_R < 1)

부분 탄성 충돌은 현실 세계에서 가장 흔하게 발생하는 충돌이다. 이러한 유형의 충돌에서 충돌에 관여하는 물체는 서로 붙지 않지만, 운동 에너지가 손실된다. 마찰, 소리, 열은 부분 탄성 충돌을 통해 운동 에너지가 손실될 수 있는 몇 가지 예이다.^[1] 불완전 비탄성 충돌(partially inelastic collisions|부분 비탄성 충돌^영어)은 이와 같은 종류의 충돌을 나타낸다.^[1]

4. 충돌의 응용

(이전 출력이 없으므로, 수정할 내용이 없습니다. 원본 소스를 제공해주시면 해당 섹션을 작성해 드릴 수 있습니다.)

참조

_[1] 논문 Confusion and Illusions in Collision Theory https://rgdoi.net/10[...] 2023
_[2] 서적 Vector equations for engineers: Dynamics McGraw Hill
_[3] 서적 Vector equations for engineers: Dynamics McGraw Hill

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