맨위로가기

십구각형

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

십구각형은 19개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 정십구각형의 중심각과 외각은 약 18.947°이며, 내각은 약 161.052°이다. 한 변의 길이가 a인 정십구각형의 면적 S는 S = \frac{19}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{19} \simeq 28.4652a^2로, 외접원의 반지름 R은 R=\frac{a}{2} \csc \frac{\pi}{19} \simeq 3.037767a로 주어진다. 정십구각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없지만, 종이접기를 이용하면 작도 가능하다.

2. 정십구각형의 성질

정십구각형의 내각의 합은 2700도이며, 외각의 합은 360도이다. \cos (2\pi/19)를 제곱근과 세제곱근으로 나타내는 것은 가능하지만, 삼차 방정식을 2번 풀어야 한다.[1]

2. 1. 정십구각형의 각

정십구각형의 중심각과 외각은 약 18.947°이고, 내각은 약 161.052°이다.[1]

2. 2. 정십구각형의 면적과 반지름

한 변의 길이가 ''a''인 정십구각형의 면적 ''S''는 다음과 같이 주어진다.

:S = \frac{19}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{19} \simeq 28.4652a^2

외접원의 반지름 ''R''은 다음과 같이 주어진다.

: R=\frac{a}{2} \csc \frac{\pi}{19} \simeq 3.037767a[1]

3. 정십구각형의 작도

정십구각형은 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 불가능한 도형이다. 그러나 종이접기를 이용하면 정십구각형을 작도할 수 있다.[1]

3. 1. cos(2π/19)의 표현

\cos (2\pi/19)는 제곱근과 세제곱근을 사용하여 표현할 수 있지만, 삼차 방정식을 두 번 풀어야 하므로 복잡하다.[1] 이 값을 구하는 과정은 여러 단계의 계산을 포함한다.

3. 1. 1. 관계식 유도

\cos (2\pi/19)를 제곱근과 세제곱근으로 나타내는 것은 가능하지만, 삼차 방정식을 2번 풀 필요가 있다. 이하에는 중간 결과(삼차 방정식을 1번 푼 관계식)를 나타낸다.[1]

:\begin{align}

2\cos\frac{2\pi}{19} + 2\cos\frac{16\pi}{19} + 2\cos\frac{14\pi}{19}=& \frac {-1+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\alpha \\

2\cos\frac{4\pi}{19} + 2\cos\frac{6\pi}{19} + 2\cos\frac{10\pi}{19}=& \frac {-1+\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\beta \\

2\cos\frac{8\pi}{19} + 2\cos\frac{18\pi}{19} + 2\cos\frac{12\pi}{19}=& \frac {-1+\omega\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\gamma \\

\end{align}

또한, 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

:\begin{align}

& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1) \\

& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1) \\

\end{align}

양변의 세제곱근을 취하면

:\begin{align}

2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)} \\

2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\

\end{align}

따라서

:\begin{align}

6\cos\frac{2\pi}{19}=&\alpha+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)}+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\

\end{align}

정리하면

:\begin{align}

\cos\frac{2\pi}{19}=&\frac16\left( \tfrac{-1+\omega^2 \sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega \sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10+6\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10-3\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10-3\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10+6\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}} \right) \\

\end{align}

3. 1. 2. 최종 표현

:\cos (2\pi/19)는 다음과 같이 복잡한 형태로 표현된다.[1]

:\begin{align}

6\cos\frac{2\pi}{19}=&\alpha+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)}+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\

\end{align}

여기서,

:\begin{align}

2\cos\frac{2\pi}{19} + 2\cos\frac{16\pi}{19} + 2\cos\frac{14\pi}{19}=& \frac {-1+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\alpha \\

2\cos\frac{4\pi}{19} + 2\cos\frac{6\pi}{19} + 2\cos\frac{10\pi}{19}=& \frac {-1+\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\beta \\

2\cos\frac{8\pi}{19} + 2\cos\frac{18\pi}{19} + 2\cos\frac{12\pi}{19}=& \frac {-1+\omega\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\gamma \\

\end{align}

최종적으로 정리하면 다음과 같다.

:\begin{align}

\cos\frac{2\pi}{19}=&\frac16\left( \tfrac{-1+\omega^2 \sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega \sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10+6\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10-3\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10-3\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10+6\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}} \right) \\

\end{align}


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com