외부자기동형군

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1. 개요
2. 정의
3. 구조
4. 응용
5. 유한군에서의 외부자기동형군
6. 대칭군과 교대군에서의 외부자기동형군
7. 환원 대수군에서의 외부자기동형군
8. 복소수 및 실수 단순 리 대수에서의 외부자기동형군
9. 말장난
참조

1. 개요

외부자기동형군은 군 G의 자기동형군 Aut(G)과 내부자기동형군 Inn(G)의 몫군 Aut(G)/Inn(G)을 의미한다. 내부자기동형군은 G의 각 원소 g에 대해 h를 ghg⁻¹로 보내는 자기동형사상 φg로 구성된다. 외부자기동형군은 군의 구조와 관련된 중요한 정보를 제공하며, 특히 유한 단순군의 분류, 표 문자표, 곡면의 위상수학 등 다양한 분야에서 활용된다. 슈라이어 추측은 유한 단순군 G의 외부자기동형군 Out(G)이 가해군임을 주장하며, 이는 유한 단순군의 분류의 따름정리로 증명되었다. 또한, 외부자기동형군은 대칭군, 교대군, 리 유형 군과 같은 특정 군의 경우 명확한 구조를 가지며, 환원 대수군과 리 대수에서도 연구된다.

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외부자기동형군
개요
정의	자기동형사상군의 내부자기동형사상군에 대한 몫군
표기	Aut(G) / Inn(G)
상세 정보
자기동형사상군	Aut(G)는 군 G의 모든 자기동형사상들의 군이다.
내부자기동형사상군	Inn(G)는 G의 내부자기동형사상들의 군이다.
외부자기동형사상군	Out(G)는 Aut(G)의 Inn(G)에 의한 몫군이다.
외부자기동형사상	군 G의 외부자기동형사상은 G의 자기동형사상이며, G의 내부자기동형사상이 아니다.
예시
교대군	n ≥ 3에 대하여, 교대군 Aₙ의 외부자기동형사상군은 다음과 같다.
n = 2	Out(A₆) ≅ Z₂ × Z₂
n ≠ 2, 6	Out(Aₙ) ≅ 1
n ≠ 6	대칭군 Sₙ의 자기동형사상군은 Aₙ을 고정하는 자기동형사상에 의해 Aₙ의 자기동형사상군으로 확장된다.
n = 6	A₆의 자기동형사상군은 A₆을 고정하지 않는 자기동형사상을 갖는다.

2. 정의

군 $G$ 가 주어졌을 때, 모든 자기동형사상들의 군 $\operatorname{Aut}(G)$ 를 생각할 수 있다. 모든 $g\in G$ 에 대하여,

: $\phi_g\in\operatorname{Aut}(G)$

: $\phi_g\colon h\mapsto ghg^{-1}$

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 자기동형사상을 '''내부자기동형사상'''이라고 한다. 이들은 $\operatorname{Aut}(G)$ 의 부분군인 '''내부자기동형군''' $\operatorname{Inn}(G)\le\operatorname{Aut}(G)$ 를 이루며, 이는

: $\operatorname{Inn}(G)=G/\operatorname Z(G)$

와 같이 주어진다. 여기서 $\operatorname Z(G)$ 는 $G$ 의 중심이다.

$\operatorname{Inn}(G)$ 는 $\operatorname{Aut}(G)$ 의 정규 부분군을 이룬다. 그 몫군

: $\operatorname{Out}(G)=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)$

을 '''외부자기동형군'''이라고 하며, 그 원소를 '''외부자기동형사상'''이라고 한다.

외부자기동형군은 다음과 같은 의미에서 중심의 쌍대이다. $G$ 의 원소에 의한 켤레는 자기동형사상이며, 이로부터 사상 $\sigma \colon G \to \operatorname{Aut}(G)$ 가 생성된다. 켤레 사상의 커널은 중심이고, 코커널은 외부자기동형군이며 (그리고 상은 내부 자기동형군이다). 이는 다음의 완전열로 요약할 수 있다.

: $Z(G) \hookrightarrow G \, \overset{\sigma}{\longrightarrow} \, \operatorname{Aut}(G) \twoheadrightarrow \operatorname{Out}(G)$

3. 구조

슈라이어 추측은 ''G''가 유한 단순군일 때 Out(''G'')가 항상 가해군이라고 주장한다. 이 결과는 현재 유한 단순군의 분류의 따름정리로 참임이 알려져 있지만, 더 간단한 증명은 알려져 있지 않다.

외부자기동형군은 다음과 같은 의미에서 중심의 쌍대이다. ''G''의 원소에 의한 켤레는 자기동형사상이며, 이로부터 사상 σ : ''G'' → Aut(''G'')가 생성된다. 켤레 사상의 커널은 중심이고, 코커널은 외부자기동형군이며 (그리고 상은 내부 자기동형군이다). 이는 다음의 완전열로 요약할 수 있다.

$Z(G) \hookrightarrow G \, \overset{\sigma}{\longrightarrow} \, \mathrm{Aut}(G) \twoheadrightarrow \mathrm{Out}(G)$

4. 응용

어떤 군의 외부 자기동형군은 켤레류에 작용하며, 따라서 표 문자표에도 작용한다. 자세한 내용은 표 문자표: 외부 자기동형에서 확인할 수 있다.

Dehn-Nielsen 정리에 따르면, 곡면의 확장된 사상류군은 곡면의 기본군의 외부자기동형군이다.

5. 유한군에서의 외부자기동형군

유한 단순군 목록에서 각 유한 단순군의 외부자기동형군을 확인할 수 있다. 스포라딕 단순군과 교대군(A₆ 제외)은 차수가 1 또는 2인 외부자기동형군을 가진다. 리 유형 군의 외부자기동형군은 "대각 자기동형"군, "체 자기동형"군(항상 순환군), "그래프 자기동형"군의 확장이다.^[2]

예외적으로, 교대군 A₆는 다른 단순 교대군과 달리 4차 외부자기동형군을 갖는다. 즉, 대칭군 S₆는 비자명 외부자기동형군을 가진 유일한 대칭군이다.^[3]

군	매개변수

			n\prod_{p>n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)
	소수,




	소수

6. 대칭군과 교대군에서의 외부자기동형군

교대군 A|A^영어는 다른 단순 교대군과 달리 4차 외부자기동형군을 갖는다.^[3] 이는 대칭군 S|S^영어가 비자명 외부자기동형군을 가진 유일한 대칭군이기 때문이다.

: $\begin{align}n \neq 6: \operatorname{Out}(\mathrm{S}_n) & = \mathrm{C}_1 \\n \geq 3,\ n \neq 6: \operatorname{Out}(\mathrm{A}_n) & = \mathrm{C}_2 \\\operatorname{Out}(\mathrm{S}_6) & = \mathrm{C}_2 \\\operatorname{Out}(\mathrm{A}_6) & = \mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2\end{align}$

G|G^영어 = A₆ = PSL(2, 9)인 경우, 수열 1 ⟶ ''G'' ⟶ Aut(''G'') ⟶ Out(''G'') ⟶ 1은 분리되지 않는다.

7. 환원 대수군에서의 외부자기동형군

드킨 다이어그램 D₄의 대칭은 삼중성에서 의 외부 자기 동형 사상에 해당한다.

이제 G|G^영어를 연결된 환원 대수군으로, 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 것으로 하자. 그러면 임의의 두 보렐 부분군은 내부 자기 동형 사상에 의해 켤레가 되므로, 외부 자기 동형 사상을 연구하기 위해서는 주어진 보렐 부분군을 고정하는 자기 동형 사상만 고려하면 된다. 보렐 부분군과 연관된 것은 단순근의 집합이며, 외부 자기 동형 사상은 관련된 드킨 다이어그램의 구조를 보존하면서 이들을 치환할 수 있다. 이러한 방식으로 G|G^영어의 드킨 다이어그램의 자기 동형군을 Out(''G'')의 부분군으로 식별할 수 있다.

D₄는 매우 대칭적인 드킨 다이어그램을 가지고 있으며, 이는 Spin(8)|Spin(8)^영어의 큰 외부 자기 동형군, 즉 Out(Spin(8)) = S₃를 생성하는데, 이를 삼중성이라고 한다.

8. 복소수 및 실수 단순 리 대수에서의 외부자기동형군

딘킨 도표의 대칭으로 해석되는 외부자기동형군은, 복소수 또는 실수 단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에 대해 자기동형군 $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ 가 $\operatorname{Inn}(\mathfrak{g})$ 와 $\operatorname{Out}(\mathfrak{g})$ 의 반직접곱이라는 일반적인 사실에서 비롯된다. 즉, 다음 짧은 완전열은 분해된다.

: $1 \longrightarrow \operatorname{Inn}(\mathfrak{g}) \longrightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak{g}) \longrightarrow \operatorname{Out}(\mathfrak{g}) \longrightarrow 1$

복소수 단순 리 대수의 경우는 고전적인 결과이며, 실수 단순 리 대수의 경우는 2010년에 증명되었다.

9. 말장난

'외부 자기 동형'이라는 용어는 '외부 사상'이라는 용어와 함께 말장난으로 이어질 수 있다. '외부 사상'은 때때로 '외부 자기 동형'에 사용되며, $\operatorname{Out}(F_n)$ 이 작용하는 특정 기하학은 '외부 공간'이라고 불린다.

참조

_[1] 문서 Despite the name, these do not form the elements of the outer automorphism group. For this reason, the term ''non-inner automorphism'' is sometimes preferred.
_[2] 논문 On the existence of a complement for a finite simple group in its automorphism group https://projecteucli[...] 2003
_[3] 문서 ATLAS p. xvi
_[4] 서적 1991
_[5] 웹사이트 JLT20035 http://www.helderman[...]

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