유사군

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1. 개요

유사군은 이항 연산을 갖는 집합 또는 세 개의 기본 연산을 갖는 대수 구조로 정의되는 수학적 구조이다. 유사군은 라틴 방진 성질을 가지며, 소거 가능성을 만족한다. 유사군에는 곱셈 항등원을 갖는 루프, 볼 루프, 무팡 루프와 같은 다양한 종류가 있으며, 반대칭, 전체 대칭, 완전 반대칭과 같은 대칭성을 보일 수 있다. 유사군은 준동형 사상, 호모토피, 동위, 켤레 연산과 같은 개념으로 연구되며, n-항 준군으로 일반화될 수 있다.

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유사군
정의
정의	군과 유사한 대수 구조이지만, 군의 공리 중 일부를 만족하지 않는 구조이다.
용어
영어	Quasigroup (퀘이사이그룹)
일본어	準群 (준군)
성질
기본 성질	임의의 두 원소 a, b에 대해 ax = b와 ya = b를 만족하는 유일한 x, y가 존재한다. 라틴 방진의 성질을 만족한다.
항등원	항등원을 가질 필요는 없다.
결합 법칙	결합 법칙을 만족할 필요는 없다.
종류
루프	항등원을 갖는 準群
반군	결합 법칙을 만족하는 準群
예시
예시	군 정수 집합에서의 뺄셈 연산 나눗셈 연산 (0이 아닌 실수)

2. 정의

유사군은 이항 연산을 갖는 집합으로 정의하거나, 보편 대수에서 가져온 세 개의 기본 연산을 갖는 것으로 정의할 수 있다.

단일 이항 연산으로 정의된 유사군의 준동형 사상 상은 세 개의 기본 연산을 갖는 유사군과는 달리, 유사군이 아닐 수도 있다. 공집합에 빈 이진 연산이 주어진 경우 이 유사군 정의를 만족하는데, 일부 저자는 빈 유사군을 허용하지만 다른 저자는 명시적으로 제외한다.^[1]^[2]

2. 1. 이항 연산을 통한 정의

집합 ''Q''와 이항 연산 ⋅: ''Q'' × ''Q'' → ''Q'' (곱셈)로 구성된 튜플 (''Q'', ⋅)에서, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

(왼쪽 나눗셈) 임의의 ''p'', ''q'' ∈ ''Q''에 대하여, ''p'' ⋅ ''x'' = ''q''인 유일한 ''x'' ∈ ''Q''가 존재한다.
(왼쪽 작용은 순열) 임의의 ''p'' ∈ ''Q''에 대하여, ''p'' ⋅ ∈ Sym(''Q'')

위 조건을 만족하는 (''Q'', ⋅)를 '''왼쪽 유사군'''(left quasigroup^영어)이라고 한다.

마찬가지로, (''Q'', ⋅)에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

(오른쪽 나눗셈) 임의의 ''p'', ''q'' ∈ ''Q''에 대하여, ''y'' ⋅ ''p'' = ''q''인 유일한 ''y'' ∈ ''Q''가 존재한다.
(오른쪽 작용은 순열) 임의의 ''p'' ∈ ''Q''에 대하여, ⋅ ''p'' ∈ Sym(''Q'')

위 조건을 만족하는 (''Q'', ⋅)를 '''오른쪽 유사군'''(right quasigroup^영어)이라고 한다.

왼쪽 유사군이자 오른쪽 유사군인 (''Q'', ⋅)를 '''유사군'''이라고 한다.

2. 2. 나눗셈을 통한 정의

왼쪽 유사군

(Q, \cdot, \backslash)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

집합 $Q$
이항 연산 $\cdot \colon Q \times Q \to Q$ . 이를 '''곱셈'''이라고 한다.
이항 연산 $\backslash \colon Q \times Q \to Q$ . 이를 '''왼쪽 나눗셈'''이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

임의의 $p, q \in Q$ 에 대하여, $p \cdot (p \backslash q) = p \backslash (p \cdot q) = q$

오른쪽 유사군

(Q, \cdot, /)

는 왼쪽 유사군의 반대 구조이다. 즉, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

집합 $Q$
이항 연산 $\cdot \colon Q \times Q \to Q$ . 이를 '''곱셈'''이라고 한다.
이항 연산 $/ \colon Q \times Q \to Q$ . 이를 '''오른쪽 나눗셈'''이라고 한다.

이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.

임의의 $p, q \in Q$ 에 대하여, $(p / q) \cdot q = (p \cdot q) / q = p$

왼쪽 유사군과 오른쪽 유사군의 구조를 동시에 갖춘

(Q, \cdot, \backslash, /)

를 '''유사군'''이라고 한다.

2. 3. 보편 대수학적 정의

오른쪽 유사군 (''Q'', ∗, /)은 다음 두 항등식을 만족하는 타입 (2, 2) 대수이다.

: ''y'' = (''y'' / ''x'') ∗ ''x''

: ''y'' = (''y'' ∗ ''x'') / ''x''

왼쪽 유사군 (''Q'', ∗, \)은 다음 두 항등식을 만족하는 타입 (2, 2) 대수이다.

: ''y'' = ''x'' ∗ (''x'' \ ''y'')

: ''y'' = ''x'' \ (''x'' ∗ ''y'')

유사군 (''Q'', ∗, \, /)은 다음 항등식을 만족하는 타입 (2, 2, 2) 대수이다.

: ''y'' = (''y'' / ''x'') ∗ ''x''

: ''y'' = (''y'' ∗ ''x'') / ''x''

: ''y'' = ''x'' ∗ (''x'' \ ''y'')

: ''y'' = ''x'' \ (''x'' ∗ ''y'')

다시 말해, 같은 쪽에서 같은 원소에 대해 곱셈과 나눗셈을 순서에 상관없이 차례로 수행해도 아무런 효과가 없다.

따라서 (''Q'', ∗)가 이전 절의 정의에 따른 유사군이면 (''Q'', ∗, \, /)는 보편 대수의 의미에서 동일한 유사군이다. 반대로, (''Q'', ∗, \, /)가 보편 대수의 의미에서 유사군이면 (''Q'', ∗)는 첫 번째 정의에 따른 유사군이다.

3. 성질

유사군은 소거 성질을 갖는다. 즉, ''ab'' = ''ac''이면 ''b'' = ''c''이고, ''ba'' = ''ca''이면 ''b'' = ''c''이다.^[5] 유한 유사군의 곱셈표는 라틴 방진인데, 이는 각 행과 각 열에 모든 원소가 정확히 한 번씩 나타나는 배열을 의미한다.

곱셈 연산자 ''L''_''x''(''y'') = ''xy'' 및 ''R''_''x''(''y'') = ''yx''를 사용하여 유사군을 정의할 수 있다. 이 연산자들은 전단사 함수이며, 역 매핑은 왼쪽 및 오른쪽 나눗셈이다.^[1]

: ''L''^-1_''x''(''y'') = ''x'' \ ''y''

: ''R''^-1_''x''(''y'') = ''y'' / ''x''

이 표기법을 통해 유사군의 곱셈과 나눗셈 연산 간의 항등식을 표현할 수 있다. 예를 들어, ''x''(''x'' \ ''y'') = ''y''는 ''L''_''x''''L''^-1_''x'' = id와 같다.^[1]

3. 1. 소거 성질

유사군은 소거 성질을 가진다. 즉, ''ab'' = ''ac''이면 ''b'' = ''c''이고, ''ba'' = ''ca''이면 ''b'' = ''c''이다.^[5]

3. 2. 라틴 방진 성질

유한 유사군의 곱셈표는 라틴 방진이다. 라틴 방진은 ''n'' × ''n'' 표로서, ''n''개의 서로 다른 기호로 채워져 각 기호가 각 행과 각 열에 정확히 한 번씩 나타난다.

반대로, 모든 라틴 방진은 여러 가지 방식으로 유사군의 곱셈표로 간주될 수 있다. 경계 행(열 머리글을 포함)과 경계 열(행 머리글을 포함)은 각각 원소들의 임의의 순열이 될 수 있다. 소규모 라틴 방진과 유사군을 참조.

가산 무한 콰시군 ''Q''의 경우, 모든 행과 모든 열이 ''Q''의 어떤 원소 ''q''에 해당하는 무한 배열을 상상할 수 있으며, 여기서 원소 ''a'' ∗ ''b''는 ''a''에 해당하는 행과 ''b''에 해당하는 열에 위치한다. 이 경우에도 라틴 방진 속성은 무한 배열의 각 행과 각 열이 모든 가능한 값을 정확히 한 번씩 포함한다는 것을 의미한다.^[1]

비가산 무한 콰시군(예: 곱셈 하에서 0이 아닌 실수의 군)의 경우에도 라틴 방진 속성은 여전히 유효하다. 비록 이름이 다소 부적절할 수 있는데, 이는 위에서 언급한 무한 배열의 아이디어가 확장되는 조합 배열을 생성하는 것이 불가능하기 때문이다. 왜냐하면 실수는 모두 수열로 작성될 수 없기 때문이다. (하지만 이는 다소 오해의 소지가 있는데, 실수는 ℭ^영어 길이의 수열로 작성될 수 있기 때문이다. 정렬 정리를 가정한다.)^[1]

3. 3. 곱셈 연산자

유사군의 정의는 왼쪽 및 오른쪽 곱셈 연산자에 대한 조건으로 다룰 수 있다. 여기서 ''L''_''x''(''y'') = ''xy'' 및 ''R''_''x''(''y'') = ''yx''로 한다.

이 정의는 두 매핑 모두 ''Q''에서 자신으로의 전단사 함수임을 나타낸다. 마그마 ''Q''는 모든 연산자가 ''Q''의 모든 ''x''에 대해 전단사일 때 정확히 유사군이다. 역 매핑은 왼쪽 및 오른쪽 나눗셈이다. 즉, 다음과 같다.

: ''L''^-1_''x''(''y'') = ''x'' \ ''y''

: ''R''^-1_''x''(''y'') = ''y'' / ''x''

이 표기법에서 유사군의 곱셈과 나눗셈 연산 간의 항등식은 다음과 같다.

: ''L''_''x''''L''^-1_''x'' = id 는 ''x''(''x'' \ ''y'') = ''y''에 해당한다.

: ''L''^-1_''x''''L''_''x'' = id 는 ''x'' \ (''xy'') = ''y''에 해당한다.

: ''R''_''x''''R''^-1_''x'' = id 는 (''y'' / ''x'')''x'' = ''y''에 해당한다.

: ''R''^-1_''x''''R''_''x'' = id 는 (''yx'') / ''x'' = ''y''에 해당한다.

여기서 id는 ''Q''에 대한 항등 매핑을 나타낸다.

3. 4. 역원 성질

모든 루프 요소는 유일한 왼쪽 역원 및 오른쪽 역원을 갖는다.^[9]

루프는 다음과 같은 다양한 역원 관련 성질을 가질 수 있다.^[9]

'''왼쪽 역원 성질(LI):''' 모든 및 에 대해 이다. 또는 로도 나타낼 수 있다.
'''오른쪽 역원 성질(RI):''' 모든 및 에 대해 이다. 또는 로도 나타낼 수 있다.
'''반자동형 역원 성질(AI):''' 모든 및 에 대해 또는 이다.
'''약한 역원 성질(WI):''' 와 가 동치이다.

루프가 왼쪽 및 오른쪽 역원 성질을 모두 가지면 '''역원 성질(IP)'''을 가지며, 이는 반자동형 역원 성질(AI) 및 약한 역원 성질(WI)를 함의한다. 실제로, LI, RI, AI, WI 중 어느 두 가지를 만족하면 IP이며, 나머지 두 가지도 성립한다.^[9]

왼쪽, 오른쪽 또는 반자동형 역원 성질을 만족하는 모든 루프는 자동으로 양측 역원을 갖는다.

4. 종류

마그마인 집합 ''Q''에서, 각 ''a''와 ''b''에 대해 다음을 만족하는 고유한 원소 ''x''와 ''y''가 존재하면 '''유사군'''(''Q'', ∗)이라고 한다.

: ''a'' ∗ ''x'' = ''b''

: ''y'' ∗ ''a'' = ''b''

이때, ''x''와 ''y''는 유일해야 하며, 이는 마그마가 소거 가능해야 한다는 것으로 대체할 수 있다.^[1] 집합의 각 원소는 유사군의 곱셈표(케일리 표)의 각 행과 각 열에 정확히 한 번씩 나타나는데, 이 성질을 따르면 유한 유사군, 특히 유한군의 케일리 표가 라틴 방진이 된다.^[1]

위 방정식의 해는 ''x'' = ''a'' \ ''b'' 및 ''y'' = ''b'' / ''a''로 나타내며, '\' 및 '/' 연산은 각각 왼쪽 나눗셈 및 오른쪽 나눗셈이라고 한다. 케일리 표에서 첫 번째 방정식(왼쪽 나눗셈)은 ''a'' 행의 ''b'' 항목이 ''x'' 열에 있다는 것이고, 두 번째 방정식(오른쪽 나눗셈)은 ''a'' 열의 ''b'' 항목이 ''y'' 행에 있다는 것을 의미한다.

공집합에 빈 이진 연산이 주어지면 이 유사군 정의를 만족하지만, 일부 저자는 빈 유사군을 허용하거나 명시적으로 제외하기도 한다.^[2]^[3]

유사군은 반대칭, 삼위일체성, 전체 대칭, 전체 반대칭 등 다양한 대칭성을 가질 수 있다.

반대칭성: 모든 x, y에 대해 특정 항등식이 성립하는 경우를 말하며, 자세한 내용은 반대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.
삼위일체성: 반대칭 삼위일체성을 보일 수 있다.^[4]
전체 대칭성: 모든 켤레가 하나의 연산으로 일치하는 경우로, 자세한 내용은 전체 대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.
전체 반대칭성: 특정 함의가 성립하는 경우를 말하며, 자세한 내용은 전체 반대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 루프 (Loop)

루프는 항등원을 갖춘 준군이다. 즉, ''Q''의 모든 ''x''에 대해

: ''x'' ∗ ''e'' = ''x'', ''e'' ∗ ''x'' = ''x''

를 만족하는 원소 ''e''가 존재한다.

따라서 항등원 ''e''는 유일하며, ''Q''의 모든 원소는 유일한 왼쪽 역원과 오른쪽 역원을 갖는다(이 둘은 같을 필요는 없다).

멱등원을 갖는 준군은 피크(pointed idempotent quasigroup)라고 불린다. 이는 루프보다 약한 개념이지만, 예를 들어 아벨 군 (''A'', +)이 주어졌을 때, 뺄셈 연산을 준군 곱셈으로 사용하면 군 항등원(영)이 "포인트 멱등원"으로 변환된 피크 (''A'', −)가 생성되기 때문에 널리 사용된다.

결합적인 루프는 군이다. 군은 엄밀히 비결합적인 피크 동위체를 가질 수 있지만, 엄밀히 비결합적인 루프 동위체는 가질 수 없다.

특수한 이름이 부여된 더 약한 결합 성질들이 존재한다.

예를 들어, '''볼 루프'''는 다음 중 하나를 만족하는 루프이다.

: ''x'' ∗ (''y'' ∗ (''x'' ∗ ''z'')) = (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''x'')) ∗ ''z'' (''Q''의 각 ''x'', ''y'' 및 ''z''에 대해, ''왼쪽 볼 루프'')

또는

: ((''z'' ∗ ''x'') ∗ ''y'') ∗ ''x'' = ''z'' ∗ ((''x'' ∗ ''y'') ∗ ''x'') (''Q''의 각 ''x'', ''y'' 및 ''z''에 대해, ''오른쪽 볼 루프'')

좌볼 루프이자 우볼 루프인 루프는 '''무팡 루프'''이다. 이는 모든 ''x'', ''y'', ''z''에 대해 다음 단일 무팡 항등식 중 하나가 성립하는 것과 동일하다.

: ''x'' ∗ (''y'' ∗ (''x'' ∗ ''z'')) = ((''x'' ∗ ''y'') ∗ ''x'') ∗ ''z''

: ''z'' ∗ (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''x'')) = ((''z'' ∗ ''x'') ∗ ''y'') ∗ ''x''

: (''x'' ∗ ''y'') ∗ (''z'' ∗ ''x'') = ''x'' ∗ ((''y'' ∗ ''z'') ∗ ''x'')

: (''x'' ∗ ''y'') ∗ (''z'' ∗ ''x'') = (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'')) ∗ ''x''.

조나단 D. H. 스미스에 따르면 "루프"는 당시 시카고에서 준군을 연구하던 연구자들이 시카고 루프의 이름을 따서 명명했다.

4. 2. 볼 루프 (Bol loop)

Bol loop|볼 루프^영어는 다음 항등식 중 하나를 만족하는 루프이다.

: ''x'' ∗ (''y'' ∗ (''x'' ∗ ''z'')) = (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''x'')) ∗ ''z'' (''Q''의 각 ''x'', ''y'' 및 ''z''에 대해, 왼쪽 볼 루프)

또는

: ((''z'' ∗ ''x'') ∗ ''y'') ∗ ''x'' = ''z'' ∗ ((''x'' ∗ ''y'') ∗ ''x'') (''Q''의 각 ''x'', ''y'' 및 ''z''에 대해, 오른쪽 볼 루프)

4. 3. 대칭성

유사군은 반대칭, 삼위일체성, 전체 대칭, 전체 반대칭 등 다양한 대칭성을 가질 수 있다.

반대칭성: 모든 x, y에 대해 특정 항등식이 성립하는 경우를 말하며, 자세한 내용은 반대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.
삼위일체성: 반대칭 삼위일체성을 보일 수 있다.^[4]
전체 대칭성: 모든 켤레가 하나의 연산으로 일치하는 경우로, 자세한 내용은 전체 대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.
전체 반대칭성: 특정 함의가 성립하는 경우를 말하며, 자세한 내용은 전체 반대칭 유사군 하위 섹션에서 다룬다.

4. 3. 1. 반대칭 유사군 (Semisymmetric quasigroup)

모든 ''x'', ''y''에 대해 다음 동치인 항등식 중 하나가 성립하는 유사군을 '''반대칭 유사군'''이라고 한다.

: ''x'' ∗ ''y'' = ''y'' / ''x''

: ''y'' ∗ ''x'' = ''x'' \ ''y''

: ''x'' = (''y'' ∗ ''x'') ∗ ''y''

: ''x'' = ''y'' ∗ (''x'' ∗ ''y'')

이 부류는 특별해 보일 수 있지만, 모든 유사군 ''Q''는 다음 연산을 통해 직접 곱셈 큐브 ''Q''³에서 반대칭 유사군 ''Q''Δ를 유도한다.

: (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃) ⋅ (''y''₁, ''y''₂, ''y''₃) = (''y''₃ / ''x''₂, ''y''₁ \ ''x''₃, ''x''₁ ∗ ''y''₂) = (''x''₂ // ''y''₃, ''x''₃ \\ ''y''₁, x₁ ∗ ''y''₂)

여기서 "//"와 "\\"는 켤레 나눗셈 연산이다.

4. 3. 2. 전체 대칭 유사군 (Totally symmetric quasigroup)

모든 켤레가 하나의 연산으로 일치하는 준군을 말한다. 즉, ''x'' ∗ ''y'' = ''x'' / ''y'' = ''x'' \ ''y''이다. 가환적인 반대칭 유사군으로 정의할 수도 있다.

멱등 전체 대칭 유사군은 슈타이너 삼중 시스템과 일대일 대응되며, 이러한 유사군은 '''슈타이너 유사군'''(슈타이너 준군)이라고도 하며, 때로는 '''squag'''로 축약하기도 한다. '''sloop'''라는 용어는 루프에 대한 유사어로, ''x'' ∗ ''x'' = 1을 만족하는 전체 대칭 루프를 의미한다. 멱등성이 없으면, 전체 대칭 유사군은 확장 슈타이너 삼중 시스템이라고도 불리는 일반화된 타원 3차 곡선(GECC)이라는 기하학적 개념에 해당한다.

4. 3. 3. 전체 반대칭 유사군 (Totally antisymmetric quasigroup)

유사군 (''Q'', *)이 모든 ''c'', ''x'', ''y'' ∈ ''Q''에 대해 다음 함의가 성립하면 '''약 완전 반대칭'''이라고 한다.

: (''c'' * ''x'') * ''y'' = (''c'' * ''y'') * ''x''는 ''x'' = ''y''를 의미한다.

유사군 (''Q'', *)은 모든 ''x'', ''y'' ∈ ''Q''에 대해 다음 함의가 추가적으로 성립하면 '''완전 반대칭'''이라고 한다.

: ''x'' * ''y'' = ''y'' * ''x''는 ''x'' = ''y''를 의미한다.

이러한 성질은, 예를 들어 Damm 알고리즘에서 요구된다.^[6]

5. 예시

군은 루프인데, 만약 그리고 만약에만 이고 인 경우는 만약 그리고 만약에만 이기 때문이다.
정수 '''Z''' (또는 유리수 '''Q''' 또는 실수 '''R''')에 뺄셈 (−) 연산을 적용하면 준군을 이룬다. 이러한 준군은 항등원이 없기 때문에 루프가 아니다(0은 이므로 오른쪽 항등원이지만, 일반적으로 이므로 왼쪽 항등원은 아니다).
0이 아닌 유리수 '''Q'''^× (또는 0이 아닌 실수 '''R'''^×)에 나눗셈 (÷) 연산을 적용하면 준군을 이룬다.
표수가 2가 아닌 체 위의 모든 벡터 공간은 연산 하에서 멱등원, 교환 준군을 이룬다.
모든 슈타이너 삼중 시스템은 멱등원, 교환 준군을 정의한다. 는 ''a''와 ''b''를 포함하는 삼중항의 세 번째 원소이다. 이러한 준군은 또한 준군 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해 를 만족한다. 이러한 준군은 ''슈타이너 준군''이라고 알려져 있다.^[7]
집합 는 이고, 다른 모든 곱셈은 사원수군과 같으며, 8차 비결합 루프를 이룬다. 그 응용에 대해서는 쌍곡 사원수를 참조하라. (쌍곡 사원수 자체는 루프 또는 준군을 형성하지 않는다.)
0이 아닌 팔원수는 곱셈 하에서 비결합 루프를 이룬다. 팔원수는 무팡 루프로 알려진 루프의 특별한 유형이다.
결합 준군은 비어 있거나 군인데, 하나 이상의 원소가 있는 경우 준군의 이진 연산의 가역성과 결합성이 결합되어 항등원의 존재를 의미하고, 이는 다시 역원의 존재를 의미하여 군의 세 가지 요구 사항을 모두 충족하기 때문이다.
다음의 구성은 한스 자센하우스에 의한 것이다. 3원소 갈루아 체 위의 4차원 벡터 공간 '''F'''⁴의 기본 집합에서 다음을 정의한다.
: (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃, ''x''₄) ∗ (''y''₁, ''y''₂, ''y''₃, ''y''₄) = (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃, ''x''₄) + (''y''₁, ''y''₂, ''y''₃, ''y''₄) + (0, 0, 0, (''x''₃ − ''y''₃)(''x''₁''y''₂ − ''x''₂''y''₁)).

: 그러면 는 군이 아닌 교환 무팡 루프이다.^[8]

더 일반적으로, 모든 나눗셈 대수의 0이 아닌 원소는 대수 내에서 곱셈 연산을 사용하여 준군을 형성한다.

6. 준동형 사상

준군 또는 루프 준동형사상은 두 준군 사이의 사상 ''f'' : ''Q'' → ''P''이며, ''f''(''xy'') = ''f''(''x'')''f''(''y'')를 만족하는 함수이다. 준군 준동형사상은 왼쪽 및 오른쪽 나눗셈과 항등원(존재하는 경우)을 보존한다.

6. 1. 호모토피와 동위

고리 동위

''Q''와 ''P''를 준군이라고 할 때, ''Q''에서 ''P''로의 '''준군 호모토피'''는 다음 조건을 만족하는 세 개의 사상 (''α'', ''β'', ''γ'')^영어이다.

:: 모든 ''Q''의 원소 ''x'', ''y''에 대해, ''α''(''x'')''β''(''y'') = ''γ''(''xy'')

준군 준동형사상은 세 사상이 모두 같은 호모토피이다.
'''동위'''(영어: isotopy, 이소토피)는 세 사상 (''α'', ''β'', ''γ'')^영어가 모두 전단사인 호모토피이다. 두 준군 사이에 동위가 존재하면, 이들은 '''동위적'''(영어: isotopic, 이소토픽)이라고 한다. 라틴 방진으로 표현하면, 동위 (''α'', ''β'', ''γ'')^영어는 행의 순열 ''α'', 열의 순열 ''β'', 그리고 기본 원소 집합 ''γ''의 순열로 주어진다.
'''자기 동위'''(영어: autotopy, 오토토피)는 준군에서 자기 자신으로의 동위이다. 준군의 모든 자기 동위 집합은 군을 이루며, 자기 동형 사상 군을 부분군으로 갖는다.
모든 준군은 고리에 동위적이다. 고리가 군에 동위적이라면, 그 고리는 해당 군과 동형이므로 그 자체로 군이다. 그러나 군에 동위적인 준군이 반드시 군일 필요는 없다. 예를 들어, 곱셈이 (''x'', ''y'') ↦ (''x'' + ''y'')/2^영어로 주어진 '''R'''상의 준군은 덧셈군 ('''R''', +)^영어에 동위적이지만, 항등원이 없기 때문에 그 자체로 군이 아니다. 중간 준군은 Bruck–Murdoch–Toyoda 정리에 의해 아벨 군에 동위적이다.

6. 2. 켤레 (파라스트로프)

유사군의 연산에서 변수를 순열하여 새로운 연산을 얻을 수 있으며, 이를 켤레 또는 파라스트로프라고 한다. 원래 연산 *(즉, ''x'' ∗ ''y'' = ''z'')에서 ''x'' o ''y'' := ''y'' ∗ ''x'' ('''반대''' 연산), /, \와 이들의 반대 연산으로, 총 6개의 새로운 연산을 형성할 수 있다. 이를 *의 '''켤레''' 또는 '''파라스트로프'''라고 부르며, 이 연산들 중 임의의 두 연산은 서로 "켤레" 또는 "파라스트로프" 관계에 있다고 한다(자기 자신과도).

6. 3. 동위 (파라토피)

집합 ''Q'' 위에 두 개의 유사군 연산 *와 ·가 있고, 한쪽이 다른 쪽의 켤레와 동위적일 때, 그 연산은 서로 '''아이소스토로픽'''(isostrophic)이라고 한다. 이 관계에는 '''파라토피'''(paratopy) 등 많은 별명이 있다.^[1]

7. 일반화

'''n''-항 준군'''은 ''n''항 연산이 있는 집합 (''Q'', ''f'')이며, 형태이다. 방정식 는 다른 모든 ''n''개의 변수가 임의로 지정된 경우 모든 변수에 대해 고유한 해를 갖는다. '''다항''' 또는 '''다원자'''는 어떤 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 ''n''항을 의미한다.

0항 또는 '''영항''' 준군은 ''Q''의 상수 요소일 뿐이다. 1항 또는 '''단항''' 준군은 ''Q''에서 자신으로의 전단사이다. '''이항''' 또는 2항 준군은 일반적인 준군이다.

다원자 준군의 예는 반복적인 군 연산 이다. 군은 결합적이므로 연산 순서를 지정하기 위해 괄호를 사용할 필요가 없다. 연산 순서가 지정되어 있다면 동일하거나 다른 군 또는 준군 연산의 시퀀스를 수행하여 다원자 준군을 형성할 수도 있다.

이러한 방식으로 표현할 수 없는 다원자 준군도 존재한다. ''n''항 준군은 다음과 같은 방식으로 연산을 두 연산의 합성으로 인수 분해할 수 없는 경우 '''기약'''이라고 한다.

:

여기서 및 이다. 유한 기약 ''n''항 준군은 모든 에 대해 존재한다.

결합 법칙의 ''n''항 버전을 가진 ''n''항 준군은 ''n''항 그룹이라고 한다.

참조

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_[2] 웹사이트 an associative quasigroup is a group https://planetmath.o[...]
_[3] 웹사이트 Codes, Errors, and Loops https://www.youtube.[...] 2024-04-02
_[4] 서적 Groups, Triality, and Hyperquasigroups https://jdhsmith.mat[...] Iowa State University
_[5] 서적 Equivalents of the Axiom of Choice, II Elsevier
_[6] 간행물 Totally anti-symmetric quasigroups for all orders {{nowrap|''n'' ≠ 2, 6}}
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_[10] 간행물 Small Latin squares, quasigroups, and loops http://cs.anu.edu.au[...]

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