맨위로가기

유사소수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

유사소수는 특정 소수 판정법의 조건을 만족하는 합성수를 의미한다. 페르마 유사소수는 ax−1 − 1을 x가 나눌 때, x를 밑 a에 대한 합성수로 정의된다. 카마이클 수는 모든 값에 대해 페르마 유사소수인 정수를 말한다. 이 외에도 카탈랑 유사소수, 오일러 유사소수, 오일러-야코비 유사소수, 루카스 유사소수, 페린 유사소수, 강한 유사소수, 타원 유사소수, 소머-루카스 유사소수, 프로베니우스 유사소수 등이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 소수 판별법 - 에라토스테네스의 체
    에라토스테네스의 체는 주어진 범위에서 소수를 효율적으로 찾는 알고리즘으로, 특정 구간 내의 모든 수를 나열한 후 가장 작은 소수의 배수들을 제거하는 과정을 반복하여 소수만을 남기는 방식으로 작동하며, 다양한 변형과 최적화 기법이 존재하고, O(n \log \log n)의 시간 복잡도를 가진다.
  • 소수 판별법 - 밀러-라빈 소수판별법
    밀러-라빈 소수판별법은 페르마 소정리를 기반으로 주어진 수가 소수인지 판별하는 확률적 알고리즘으로, 합성수를 소수로 잘못 판별할 가능성이 있지만 검사를 반복할수록 정확도가 높아지며, 일반화 리만 가설이 참일 경우 결정론적 알고리즘으로 전환될 수 있다.
  • 정수열 - 실베스터 수열
    실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 값으로 정의되는 정수 수열로서, 재귀적으로 정의되며 이중 지수 함수적으로 증가하고, 이집트 분수 및 탐욕 알고리즘과 관련이 있으며, 역수 합은 1로 수렴한다.
  • 정수열 - 소수 (수론)
    소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이며, 무한히 많고 정수론의 기본 정리에서 중요한 역할을 하며 다양한 분야에 응용된다.
  • 수론 - 타원곡선
    타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
  • 수론 - 최소공배수
    최소공배수는 둘 이상의 정수들의 공배수 중 가장 작은 양의 정수로서, 소인수분해나 최대공약수와의 관계를 이용하여 구할 수 있으며, 분수 통분이나 기어 회전 수 계산 등 여러 분야에 응용된다.
유사소수
정의
설명소수일 가능성이 높지만 실제로는 합성수인 수
종류
종류페르마 유사소수
오일러 유사소수

2. 페르마 유사소수

페르마의 소정리는 소수 ''p''와 ''p''와 서로소인 정수 ''a''에 대해, ''a''''p''−1 − 1이 ''p''로 나누어떨어진다는 정리이다.

정수 ''a'' > 1에 대해, 합성수인 정수 ''x''가 ''a''''x''−1 − 1을 나누어 떨어지게 할 경우, ''x''는 ''a''를 밑으로 하는 '''페르마 유사소수'''(Fermat pseudoprime)라고 불린다. ''x''가 밑 ''a''의 페르마 유사소수일 경우, ''x''는 ''a''와 서로소가 된다. 이 정의와는 다른 정의를 사용하는 경우도 있는데, 예를 들어 홀수 합성수만을 페르마 유사소수로 정의하기도 한다.[3][7]

2. 1. 카마이클 수

페르마의 소정리에 따르면, ''p''가 소수이고 ''a''가 ''p''와 서로소이면, ''a''''p''-1 - 1은 ''p''로 나누어떨어진다.

정수 ''a'' > 1에 대해, 합성수 ''x''가 ''a''''x''-1 - 1을 나누면, ''x''를 밑 ''a''에 대한 '''페르마 유사소수'''라고 부른다. 이때 ''x''는 ''a''와 서로소이다. 일부 자료에서는 홀수 합성수만을 페르마 유사소수로 정의하는 경우도 있다.[3][7]

''x''와 서로소인 모든 정수 ''a'' 값에 대해 밑 ''a''에 대한 페르마 유사소수가 되는 합성수 ''x''를 '''카마이클 수'''라고 부른다.

3. 여러 가지 유사소수

소수는 아니지만 특정 소수 판정법을 통과하는 합성수를 유사소수라고 부른다. 유사소수는 사용하는 소수 판정법의 종류에 따라 다양하게 정의된다. 주요 유사소수의 종류는 다음과 같다.


  • 카탈란 유사소수
  • 타원 유사소수
  • 오일러 유사소수
  • 오일러-야코비 유사소수
  • 페르마 유사소수
  • 프로베니우스 유사소수
  • 뤼카 유사소수 (루카스 유사소수)
  • 페린 유사소수
  • 소머-루카스 유사소수
  • 강한 유사소수

3. 1. 카탈란 유사소수

카탈란 유사소수(Catalan pseudoprime)는 다음 합동식을 만족하는 합성수 ''n''을 말한다.

(-1)^ \cdot C_ \equiv 2 \pmod n

여기서 C_k는 ''k''번째 카탈랑 수를 의미한다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 ''n''번째 카탈랑 수 C_n는 다음과 같이 정의된다.

C_n = \frac1{n+1}\binom{2n}n = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!}

카탈랑 수는 자연수열이며, ''n'' = 0부터 시작하는 초기 항들은 다음과 같다 (OEIS A000108).

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262, 11959798385860453492, 45950804324621742364, …

3. 2. 오일러 유사소수

오일러 유사소수(Euler pseudoprime)는 주어진 두 정수 a와 n이 서로소일 때, 다음 합동식을 만족하는 수를 의미한다.

a^{(n-1)/2} \equiv \pm 1\pmod{n}

3. 3. 오일러-야코비 유사소수

오일러-야코비 유사소수(Euler–Jacobi pseudoprime)는 주어진 정수 `a`와 홀수 `n`에 대해 다음 조건을 만족하는 합성수 `n`을 말한다.

:a^{(n-1)/2} \equiv \left(\frac{a}{n}\right)\pmod{n}

여기서 `\left(\frac{a}{n}\right)`은 야코비 기호를 나타낸다. 이 조건은 오일러 판정법을 야코비 기호를 이용하여 강화한 것으로, 오일러 유사소수보다 더 강력한 소수성 판별 기준으로 사용될 수 있다.

3. 4. 프로베니우스 유사소수

프로베니우스 유사소수 (Frobenius pseudoprimeeng)

3. 5. 루카스 유사소수

루카스 수열 Un(P, Q)와 Vn(P, Q)을 이용한 소수 판정 조건을 만족하지만 실제로는 합성수인 수를 뤼카 유사소수라고 한다.

이때 사용되는 정수 P, Q는 P > 0 이고 D = P2 - 4Q 라는 조건을 만족한다.

판정에는 δ(n) = n - (D/n) 값이 사용되며, 여기서 n은 자연수이고 (D/n)는 야코비 기호이다.

3. 6. 페린 유사소수

페린 수열 P(n)은 다음 점화식으로 정의된다.

: P(n) = P(n-2) + P(n-3) (단, n > 2)

페린 수열의 초기 몇몇 항의 값은 다음과 같다.

: P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2

소수 p에 대해 P(p)는 p로 나누어진다는 성질이 있다. 페린 유사소수는 이 성질을 만족하지만 실제로는 소수가 아닌 합성수 n을 의미한다. 즉, P(n)이 n으로 나누어 떨어지는 합성수 n이다.

3. 7. 강한 유사소수

강한 유사소수(Strong pseudoprime영어)는 밀러-라빈 소수 판정법에서 사용되는 조건을 만족하는 합성수를 의미한다.

3. 8. 타원 유사소수

타원 곡선을 이용한 소수 판정 조건을 만족하지만 실제로는 소수가 아닌 합성수를 의미한다.

3. 9. 소머-루카스 유사소수

소머-루카스 유사소수(Somer–Lucas pseudoprime영어)는 루카스 수열의 일반화된 형태를 이용한 소수 판정 조건을 만족하는 합성수이다.

참조

[1] 서적 Mathematical Mysteries: The Beauty and Magic of Numbers Perseus
[2] 간행물 PCs Factor a 'Most Wanted' Number 1988-12-23
[3] 웹사이트 Fermat Pseudoprime
[4] 문서 対象の性質を持っている数全体を（素数も含めて）擬素数と呼ぶ場合もある。
[5] 서적 Mathematical Mysteries: The Beauty and Magic of Numbers Perseus
[6] 간행물 PCs Factor a 'Most Wanted' Number 1988-12-23
[7] 웹사이트 Fermat Pseudoprime


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com