음함수와 양함수

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1. 개요
2. 음함수와 양함수
3. 음함수의 미분
4. 음함수 정리
5. 대수기하학에서의 음함수
6. 미분방정식에서의 음함수
7. 경제학에서의 응용
8. 주의할 점
참조

1. 개요

음함수와 양함수는 변수 간의 관계를 표현하는 방법으로, 음함수는 방정식 형태로, 양함수는 독립 변수를 사용하여 종속 변수를 나타내는 함수 형태를 말한다. 일차함수, 원의 방정식, 역함수, 대수 함수 등이 음함수와 양함수로 표현될 수 있으며, 음함수의 미분은 연쇄 법칙을 이용하여 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분하는 방법이다. 음함수 정리는 음함수의 존재와 미분 가능성을 보장하며, 대수기하학, 미분방정식, 경제학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 경제학에서는 한계대체율, 한계기술대체율, 최적화 문제 등에서 음함수 개념이 사용된다.

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음함수와 양함수
정의
설명	다변수 함수에서 함수값이 0이 되는 변수들 사이의 관계를 나타내는 방정식임. 즉, R(x₁, …, xₙ) = 0 형태를 가짐.
예시	x² + y² − 1 = 0 (단, −1 ≤ x ≤ 1)
관련 개념
양함수	y = f(x)와 같이 종속 변수가 독립 변수에 대해 명시적으로 표현된 함수
음함수 정리	음함수 관계에서 특정 조건 하에 음함수를 양함수 형태로 나타낼 수 있음을 보장하는 정리
음함수 미분법	음함수로 주어진 함수의 도함수를 구하는 방법
음함수 곡면	R(x, y, z) = 0으로 정의되는 3차원 곡면

2. 음함수와 양함수

다음은 음함수와 양함수의 몇 가지 예시이다.

'''일차함수''': 음함수로 표현된 일차함수는 2x - y - 1 = 0 과 같이 표현할 수 있다. 이를 y에 대해 정리하면 y = 2x - 1과 같은 양함수가 된다. 기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현할 수 있다.
'''원의 방정식''': 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현하는 방정식 x^2 + y^2 = 1^[1]은 음함수이다. 그러나 이 식은 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 함수가 아니다.^[1] 이 식은 본질적으로 y = ±√(1-x^2) 와 같이 두 개의 양함수를 합친 것이다.^[1]
'''역함수''': 일반적인 음함수의 한 유형은 역함수이다. 모든 함수가 유일한 역함수를 가지는 것은 아니다. 함수 g|g^영어가 유일한 역함수를 가지는 경우, g|g^영어의 역함수는 ''g''⁻¹로 표기되며, 방정식 y=g(x)의 해를 y|y^영어에 대한 x|x^영어로 나타내는 유일한 함수이다. 이 해는 x = g⁻¹(y)와 같이 쓸 수 있다. 어떤 함수 g|g^영어에 대해서는 ''g''⁻¹(''y'')를 닫힌 형식 표현식으로 명시적으로 쓸 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있다. 예를 들어 람베르트 W 함수는 방정식 y − xe^''x'' = 0에 대한 x|x^영어의 해를 나타내는 음함수이다.
'''대수 함수''': 대수 함수는 계수 자체가 다항식인 다항 방정식을 만족하는 함수이다. 예를 들어, 하나의 변수 ''x''에 대한 대수 함수는 a_n(x)yⁿ+a_n-1(x)y^n-1+⋯+a₀(x)=0과 같은 방정식의 ''y''에 대한 해를 제공한다. 대수 함수는 수리 분석과 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다. 단위원 방정식 x² + y² - 1 = 0을 예로 들 수 있다.

2. 1. 일차함수

음함수로 표현된 일차함수는 다음과 같다.

: 2x - y - 1 = 0

이 식을 y에 대해 정리하면 양함수가 된다.

: y = 2x - 1

기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현 가능하다.

2. 2. 원의 방정식

다음 식은 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 표현한다.^[1]

'''x^2 + y^2 = 1'''

이것은 음함수이다. 그러나 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식은 함수가 아니다.^[1] 본질적으로 이 식은 다음 두 개의 양함수를 합친 것이다.^[1]

'''y = ±√(1-x^2)'''

이런 의미에서 일종의 함수로서 취급할 수 있고, 따라서 그 미분도 구할 수 있다.^[1]

2. 3. 역함수

일반적인 음함수의 한 유형은 역함수이다. 모든 함수가 유일한 역함수를 가지는 것은 아니다. 만약 g|g^영어가 유일한 역함수를 가지는 x|x^영어의 함수라면, g|g^영어의 역함수는 ''g''⁻¹로 표기되며, 다음 방정식의 해를 y|y^영어에 대한 x|x^영어로 나타내는 유일한 함수이다.

:y=g(x)

이 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:x = g⁻¹(y).

''g''⁻¹을 g|g^영어의 역함수로 정의하는 것은 음함수적 정의이다. 어떤 함수 g|g^영어에 대해서는 ''g''⁻¹(''y'')를 닫힌 형식 표현식으로 명시적으로 쓸 수 있다. 예를 들어, g(''x'') = 2''x'' − 1이라면 g⁻¹(''y'') = (''y'' + 1)이다. 그러나 이것은 종종 불가능하거나, 새로운 표기법을 도입해야만 가능하다(아래 람베르트 W 함수 예 참조).

직관적으로, 역함수는 종속 변수와 독립 변수의 역할을 바꿈으로써 g|g^영어로부터 얻어진다.

'''예시:''' 람베르트 W 함수는 방정식 y − xe^''x'' = 0에 대한 x|x^영어의 해를 나타내는 음함수이다.

2. 4. 대수 함수

대수 함수는 계수 자체가 다항식인 다항 방정식을 만족하는 함수이다. 예를 들어, 하나의 변수 ''x''에 대한 대수 함수는 다음 방정식의 ''y''에 대한 해를 제공한다.

:

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,,

여기서 계수

a_i(x)

는 ''x''의 다항 함수이다. 이렇게 쓰면 ''f''는 다가 암시적 함수이다.

대수 함수는 수리 분석과 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수 함수의 간단한 예로 단위원 방정식의 좌변이 있다.

:

x^2+y^2-1=0 \,.

''y''에 대해 풀면 명시적 해를 얻는다.

:

y=\pm\sqrt{1-x^2} \,.

하지만 이 명시적 해를 지정하지 않더라도 단위원 방정식의 암시적 해를

y = f(x)

로 나타낼 수 있는데, 여기서 ''f''는 다가 암시적 함수이다.

이차, 삼차, 사차 방정식의 경우 ''y''에 대한 명시적 해를 구할 수 있지만, 오차 및 그 이상의 차수 방정식, 예를 들어

:

y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0 \,.

의 경우에는 일반적으로 그렇지 않다. 그럼에도 불구하고 다가 암시적 함수 ''f''를 포함하는 암시적 해

y = f(x)

를 언급할 수 있다.

3. 음함수의 미분

미적분학에서 음함수의 미분은 연쇄 법칙을 이용한 미분법이다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 미분한 다음, $\frac {dy} {dx}$ 를 계산한다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만 계산이 수월하다는 장점이 있다. 그러나 경우에 따라 양함수로 먼저 바꾸는 쪽이 더 쉬운 경우도 있다.^[6]

방정식 $R(x, y) = 0$ 에 의해 정의된 음함수 $y(x)$ 를 미분하기 위해서는 일반적으로 $y$ 에 대해 명시적으로 풀고 미분하는 것이 불가능하다. 대신, $x$ 와 $y$ 에 대해 $R(x, y) = 0$ 을 전미분하고, 그 결과로 나오는 선형 방정식을 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 풀어 $x$ 와 $y$ 에 대한 도함수를 명시적으로 구할 수 있다. 원래 방정식을 명시적으로 풀 수 있는 경우에도 전미분으로부터 얻어지는 공식은 일반적으로 훨씬 더 간단하고 사용하기 쉽다.^[2]

$R(x, y) = 0$ 일 때, 음함수 $y(x)$ 의 도함수는 다음과 같이 주어진다.

: $\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial R/ \partial x}{\partial R / \partial y} = -\frac {R_x}{R_y}$

여기서 $R_x$ 와 $R_y$ 는 각각 $R$ 의 $x$ 와 $y$ 에 대한 편미분을 나타낸다.

위 공식은 $R(x, y) = 0$ 의 양변에 $x$ 에 대한 전미분을 얻기 위해 다변수의 연쇄 법칙을 적용하면,

: $\frac{\partial R}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$

이 되는 것으로부터 유도된다.

3. 1. 일차함수의 미분

음함수로 표현된 일차함수는 기본적으로 양함수로 표현할 수 있다. 다음과 같은 음함수를 미분하는 경우를 보자.

:

y + 2x = -4

이를 양함수로 바꾸어 미분하면 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dx} = -2

주어진 음함수에 대해 양변을 그대로 미분하면 다음과 같다.

:

\frac{dy}{dx} + \frac{d(2x)}{dx} = \frac{d(-4)}{dx}

간단한 미적분학 지식을 통해 다음을 알 수 있다.

:

\frac{dy}{dx} + 2 = 0

따라서 양함수를 미분했을 때와 같은 결과를 얻는다.

다른 예로, 다음 방정식을 보자.

:

y + x + 5 = 0 \,.

이 방정식은 y에 대해 쉽게 풀 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

:

y = -x - 5 \,,

여기서 오른쪽은 함수 y(x)의 명시적 형태이다. 미분하면 을 얻는다.

또는, 원래 방정식을 완전 미분할 수 있다.

:

\begin{align}\frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} + \frac{d}{dx}(5) &= 0 \, ; \\[6px]\frac{dy}{dx} + 1 + 0 &= 0 \,.\end{align}

에 대해 풀면

:

\frac{dy}{dx} = -1 \,,

앞서 얻은 것과 같은 답을 얻는다.^[1]

3. 2. 원의 방정식의 미분

단위원의 방정식은 다음과 같다.

:

x^2 + y^2 = 1

양변을 미분하면 다음을 얻는다.

:

2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0

여기서

y^2

을 미분할 때 연쇄 법칙을 이용하였다.

정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

3. 3. 일반적인 음함수 미분 공식

연쇄 법칙(Chain rule)을 이용하여 음함수를 미분할 때, 로 주어진 방정식을 에 대해 명시적으로 풀고 미분하는 것은 일반적으로 불가능하다. 대신, 전미분을 활용하여 을 와 에 대해 전미분하고, 그 결과로 나오는 선형 방정식을 에 대해 풀어 와 에 대한 도함수를 명시적으로 구할 수 있다.^[2]

만약 이라면, 음함수 의 도함수는 다음과 같이 주어진다.^[7]

:

\frac{dy}{dx} = -\frac{\,\frac{\partial R}{\partial x}\,}{\frac{\partial R}{\partial y}} = -\frac {R_x}{R_y} \,,

여기서 와 는 와 에 대한 의 편도함수를 나타낸다.

위 공식은 의 양변에 대해 에 대한 전미분을 구하기 위해 일반화된 연쇄 법칙을 사용하여 얻어진다.

:

\frac{\partial R}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \,,

따라서

:

\frac{\partial R}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} =0 \,,

이것은 에 대해 풀면 위의 식을 제공한다.

4. 음함수 정리

가 두 변수의 미분 가능 함수이고, 가 을 만족하는 실수 쌍이라고 하자. 만약 이면, 은 의 충분히 작은 근방에서 미분 가능한 음함수를 정의한다. 즉, 의 어떤 근방에서 정의되고 미분 가능한 함수 가 존재하여, 이 근방의 에 대해 을 만족한다.

조건 은 가 음함수 방정식 의 정칙점이며, 그 접선이 수직이 아니라는 것을 의미한다.

덜 전문적인 언어로 설명하면, 곡선이 수직이 아닌 접선을 가지는 경우 음함수가 존재하고 미분될 수 있다.^[2]

가 내의 매끄러운 부분다양체 에 의해 주어지고, 이 부분다양체의 점 에서의 접공간이 수직이 아니면(즉, ) 은 점 의 충분히 작은 근방에서 가 매끄러운 함수가 되는 매개변수 표현 에 의해 주어짐을 보일 수 있다.

좀 더 쉽게 말하면, 생각하고 있는 그래프의 접선이 수직이 아닌 한 음함수는 존재하고 미분할 수 있다는 것이다. 방정식

: $R(x,y) = 0$

이 주어져 있는 표준적인 경우에, 에 대한 조건은 편미분의 의미에서 확인할 수 있다.^[7]

5. 대수기하학에서의 음함수

다변수 다항식 $R(x_1, \dots, x_n) = 0$ 꼴의 관계를 생각할 수 있다. 이 관계를 만족하는 변수 값들의 집합은 $n = 2$ 이면 음함수곡선, $n = 3$ 이면 '''음함수곡면'''이라고 한다. 음함수 방정식은 대수기하학의 기초이며, 대수기하학의 기본 연구 대상은 좌변이 다항식인 여러 음함수 방정식의 동시 해이다. 이러한 동시 해의 집합을 아핀 대수 집합이라고 한다.

6. 미분방정식에서의 음함수

미분 방정식의 해는 일반적으로 음함수로 표현된다.^[3]

7. 경제학에서의 응용

경제학에서 음함수는 여러 변수 간의 관계를 나타내는 데 유용하다. 예를 들어, 소비자의 선호도를 나타내는 무차별곡선, 기업의 생산함수를 나타내는 등량곡선 등이 있다.

무차별곡선은 음함수 형태로 표현되며, 그 기울기는 한계대체율(MRS)을 나타낸다. 이는 소비자가 한 상품을 덜 소비하는 대신 다른 상품을 얼마나 더 많이 소비해야 만족도가 유지되는지를 보여준다. 등량곡선 역시 음함수 형태이며, 기울기는 한계기술대체율(MRTS)을 나타낸다. 이는 기업이 한 생산 요소를 덜 사용하는 대신 다른 생산 요소를 얼마나 더 많이 사용해야 동일한 생산량을 유지할 수 있는지를 보여준다.^[1]

7. 1. 한계대체율 (MRS)

경제학에서 두 재화의 소비량 와 에 대한 무차별곡선 이 있을 때, 음함수 미분 의 절댓값은 두 재화의 한계대체율(MRS)로 해석된다. 즉, 의 한 단위 감소에 대해 무차별하게 되기 위해 얼마나 더 많은 를 받아야 하는지를 나타낸다.^[1]

7. 2. 한계기술대체율 (MRTS)

마찬가지로, 때때로 수준 집합은 노동 사용량과 물리적 자본 사용량의 다양한 조합을 보여주는 등량곡선이며, 이들 각각은 어떤 재화의 동일한 주어진 양의 산출을 초래할 것이다. 이 경우, 음함수 미분의 절댓값은 두 생산 요소 간의 한계기술대체율로 해석된다. 즉, 기업이 한 단위의 노동을 줄이고 동일한 양의 산출을 생산하기 위해 사용해야 하는 자본량을 나타낸다.

7. 3. 최적화 문제

경제 이론에서 효용 함수나 이윤 함수와 같은 함수를 선택 벡터 에 대해 최대화해야 하는 경우가 많다. 목적 함수가 특정 함수 형태로 제한되지 않았더라도 말이다. 음함수 정리는 최적화의 일계 조건이 선택 벡터 의 최적 벡터 의 각 요소에 대한 음함수를 정의한다는 것을 보장한다. 이윤이 최대화될 때, 일반적으로 결과 음함수는 여러 상품의 노동 수요 함수와 공급 함수이다. 효용이 최대화될 때, 일반적으로 결과 음함수는 노동 공급 함수와 여러 상품의 수요 함수이다.

또한, 문제의 매개변수가 에 미치는 영향 — 음함수의 편미분 — 은 전미분을 사용하여 찾은 일계 조건계의 전미분으로 표현될 수 있다.

8. 주의할 점

모든 방정식 $R(x, y) = 0$이 단일값 함수의 그래프를 의미하는 것은 아니다. 단위원의 방정식이 대표적인 예이다. 또 다른 예로는 $x - C(y) = 0$으로 주어지는 음함수가 있는데, 여기서 $C$는 그래프에 "봉우리"가 있는 3차 다항식이다. 따라서 음함수가 '진정한'(단일값) 함수가 되려면 그래프의 일부만 사용해야 할 수도 있다. 음함수는 때때로 $x$축의 일부를 "확대"하고 원치 않는 함수 가지를 "잘라내어" 진정한 함수로 정의될 수 있다.

정의 방정식 $R(x, y) = 0$은 다른 병적인 현상을 가질 수도 있다. 예를 들어, 방정식 $x = 0$은 $y$에 대한 해를 전혀 제공하는 함수 $f(x)$를 의미하지 않으며, 이것은 수직선이다. 이러한 문제를 피하기 위해 허용되는 방정식의 종류 또는 정의역에 다양한 제약 조건이 자주 부과된다. 음함수 정리는 이러한 종류의 병리 현상을 처리하는 통일된 방법을 제공한다.

참조

_[1] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 Calculus Concepts And Contexts https://archive.org/[...] Brooks/Cole Publishing Company
_[3] 서적 Advanced Calculus Addison-Wesley
_[4] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics McGraw-Hill
_[5] 서적 Advanced Calculus
_[6] 웹사이트 implicit differentiation
_[7] 서적 Calculus Concepts And Contexts Brooks/Cole Publishing Company

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