제1 가산 공간
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1. 개요
제1 가산 공간은 위상 공간의 한 종류로, 각 점마다 가산 국소 기저를 갖는 공간을 의미한다. 이는 모든 점이 가산 개의 근방으로 이루어진 기저를 갖는다는 뜻이다. 제1 가산 공간은 제2 가산 공간, 거리화 가능 공간보다 넓은 범위를 포함하며, 프레셰-우리손 공간, 점렬 공간, 콤팩트 생성 공간 등의 공간과 관련이 있다. 제1 가산 공간에서는 수열의 극한을 통해 폐포, 함수의 극한과 연속성을 특징지을 수 있으며, 순차적 컴팩트성과 가산 컴팩트성이 동등하다. 모든 거리 공간과 가산 이산 공간은 제1 가산 공간에 해당하며, 비가산 이산 공간, 공유한 위상, 특정 순서수 공간 등은 제1 가산 공간이 아닌 예시이다.
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- 위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다. - 위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.
| 제1 가산 공간 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 정의 | |
| 정의 | 위상 공간 X의 모든 점 x에 대해, x의 근방계의 기저를 이루는 가산 집합이 존재할 때, X를 제1 가산 공간이라고 한다. 즉, 각 점 x에 대해 가산 개의 근방 U₁, U₂, ... 이 존재하여, x의 임의의 근방 V에 대해 어떤 i가 존재하여 Uᵢ ⊆ V를 만족한다. 이러한 {U₁, U₂, ...}를 점 x에서의 가산 국소 기저라고 한다. |
| 성질 | |
| 성질 | 모든 거리 공간은 제1 가산 공간이다. 제1 가산 공간의 부분 공간은 제1 가산 공간이다. 제1 가산 공간의 곱공간은 각 인수가 제1 가산 공간일 필요충분조건을 만족한다. 제1 가산 공간에서는 점렬 수렴으로 극한과 연속성을 정의할 수 있다. 즉, 함수 f: X → Y가 점 x에서 연속인 것은 임의의 점렬 xₙ → x에 대해 f(xₙ) → f(x)인 것과 동치이다. |
| 예시 | |
| 예시 | 모든 거리 공간 이산 공간 유클리드 공간 순서 위상을 갖는 정렬 집합 |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 제2 가산 공간 |
2. 정의
위상 공간 의 점 에서의 '''국소 지표'''(局所指標, local character영어) 는 에서의 국소 기저의 최소 크기인 기수이다. (기수의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.) 위상 공간 의 '''지표'''(指標, character영어) 는 국소 지표들의 상한이다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:
'''제1 가산 공간'''은 지표가 이하인 위상 공간이다. 즉, 모든 점이 가산 국소 기저를 갖는 위상 공간이다.
3. 성질
: 제2 가산 공간 ∪ 거리화 가능 공간 ⊊ 제1 가산 공간 ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ 콤팩트 생성 공간 ∩ 가산 생성 공간
제1 가산 공간의 중요한 성질 중 하나는 닫힌 집합과 열린 집합을 점렬의 수렴으로 특징지을 수 있다는 것이다. 즉, 프레셰-우리손 공간이며, 순차 공간이기도 하다.
T1을 만족하는 제1 가산 공간에서는 점렬 콤팩트성과 가산 콤팩트성은 동치이다. 그러나, 점렬 콤팩트하지만 콤팩트가 아닌 제1 가산 공간도 존재한다.
3. 1. 그물과 점렬
제1 가산 공간에서는 일반적인 위상 공간에서 그물을 사용해야 하는 정의에서 점렬을 대신 사용할 수 있다.
일반적인 위상 공간에서 부분 집합이 닫힌집합인 것은 그 집합 속의 모든 그물의 극한이 그 집합 속에 있는 것과 같다. 제1 가산 공간에서는 국소 기저의 존재로 인해, 닫힌 집합은 그 집합 속의 모든 점렬의 극한이 그 집합 속에 있는 것과 같다는 조건이 추가된다.
일반적인 두 위상 공간 사이의 함수가 연속 함수인 것은 모든 그물에 대하여 극한이 존재하면 그 극한을 보존하는 것과 같다. 정의역이 제1 가산 공간이라면, 연속 함수는 모든 점렬에 대하여 극한이 존재하면 그 극한을 보존하는 것과 같다는 조건이 추가된다.
제1 가산 공간에서 가산 콤팩트 공간과 점렬 콤팩트 공간은 서로 동치이다. 그러나 콤팩트 공간이 아닌 제1 가산 점렬 콤팩트 공간도 존재한다.
제1 가산 공간의 중요한 성질 중 하나는 집합의 폐포에 어떤 점이 속하는 것은 그 점으로 수렴하는 점렬이 존재하는 것과 같다는 것이다. 즉, 모든 제1 가산 공간은 프레셰-우리손 공간이며, 순차 공간이기도 하다. 이는 극한과 연속성에 영향을 미친다.
제1 가산 공간에서 함수 ''f''가 점 ''x''에서 극한 ''L''을 갖는 것은, ''x''로 수렴하는 모든 수열에 대해 ''f''를 취한 수열이 ''L''로 수렴하는 것과 같다. 또한, 함수 ''f''가 연속인 것은 ''x''로 수렴하는 모든 수열에 대해 ''f''를 취한 수열이 ''f(x)''로 수렴하는 것과 같다.
T1을 만족하는 제1 가산 공간에서는 점렬 콤팩트성과 가산 콤팩트성은 동치이다. 그러나, 점렬 콤팩트하지만 콤팩트가 아닌 제1 가산 공간의 예시로 순서수 공간 ω1 = [0, ω1)이 있다. 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.
제1 가산 공간의 부분 공간은 제1 가산이다. 제1 가산 공간의 가산 개의 직적은 제1 가산이지만, 비가산 개의 곱에 대해서는 반드시 그렇지 않다.
3. 2. 제1 가산성을 보존하는 연산
3. 3. 크기 관련 성질
위상 공간 의 지표 는 각 점에서의 국소 지표들의 상한이다. 여기서 국소 지표는 그 점에서의 국소 기저의 최소 크기인 기수이다.
:
'''제1 가산 공간'''은 지표가 이하인 위상 공간이다. 즉, 모든 점이 가산 국소 기저를 갖는 공간이다. 제1 가산성은 국소적인 조건이므로, 제1 가산 공간의 집합의 크기는 임의로 클 수 있다.
제1 가산 공간 는 집합의 크기가 이하인 기저를 갖는다. 즉,
:
이다. (는 의 밀도이다.) 따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간의 경우 제1 가산 공간과 제2 가산 공간 조건이 서로 동치이다.
콤팩트 공간 및 무한 기수 에 대하여, 모든 에서 이면, '''체흐-포스피실 정리'''(Čech–Pospíšil theorem영어)에 따르면, 항상
:
이다.
4. 예
수학에서 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간은 제1 가산 공간이다. 특히 모든 거리 공간은 제1 가산 공간인데, 각 점 ''x''에 대해 반지름이 1/''n'' (''n''은 양의 정수)인 열린 공들의 집합이 ''x''에서 가산 국소 기저를 형성하기 때문이다.
하지만 제1 가산 공간이 아닌 예시도 존재한다.
- 비가산 집합(예: 실수선)에 대한 공유한 위상은 제1 가산 공간이 아니다. 더 일반적으로, 비가산체 위의 대수적 다양체에 대한 자리스키 위상은 제1 가산 공간이 아니다.
- 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이지만, 비가산 이산 공간은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간은 아니다.
- 최초 비가산 순서수인 \( \omega_1 \)을 사용한 순서 공간 \( \omega_1 + 1 = [0, \omega_1] \)도 제1 가산 공간이 아니다. 원소 \( \omega_1 \)은 부분 집합 \( [0, \omega_1) \)의 극한점이지만, \( [0, \omega_1) \)의 원소로 이루어진 어떤 수열도 \( \omega_1 \)을 극한으로 가지지 않는다.
4. 1. 제1 가산 공간이 아닌 점렬 공간
가산 무한 개의 원들의 쐐기합 (즉, 실수 집합에서 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 몫공간)은 점렬 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 은 가산 국소 기저를 갖지 않기 때문이다.[1]몫 공간 (실수선에서 자연수를 단일 점으로 식별)은 제1 가산 공간이 아니다.[1] 그러나 이 공간은 임의의 하위 집합 와 의 폐포에 있는 모든 원소 에 대해, 로 수렴하는 A의 수열이 있다는 속성을 갖는다. 이러한 수열 속성을 가진 공간을 때때로 프레셰-우리손 공간이라고 부른다.
순서 공간 (여기서 은 최초 비가산 순서수)도 제1 가산 공간이 아니다. 원소 은 하위 집합 의 극한점이지만, 의 원소로 이루어진 어떤 수열도 원소 을 극한으로 가지지 않는다. 특히 공간 의 점 은 가산 국소 기저를 갖지 않는다. 그러나 이 그러한 유일한 점이므로, 부분 공간 은 제1 가산 공간이다.
비가산 집합(예: 실수선)에 대한 공유한 위상은 제1 가산 공간이 아니다.
4. 2. 순서수
순서수 \( \omega_1 + 1 \)은 (순서 위상을 부여할 때) 제1 가산 공간이 아니다. 점 \( \omega_1 \in \omega_1 + 1 \)은 가산 국소 기저를 갖지 않는다. \( \omega_1 + 1 \)은 제1 가산 공간이 아닌 가장 작은 순서수이다.순서수 \( \omega_1 \)은 제1 가산 공간이며, 점렬 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간은 아니다.
최초 비가산 순서수인 \( \omega_1 \)을 사용한 순서 공간 \( \omega_1 + 1 = [0, \omega_1] \)도 제1 가산 공간이 아닌 예시이다. 원소 \( \omega_1 \)은 부분 집합 \( [0, \omega_1) \)의 극한점이지만, \( [0, \omega_1) \)의 원소로 이루어진 어떤 수열도 \( \omega_1 \)을 극한으로 가지지 않는다. 특히 공간 \( \omega_1 + 1 = [0, \omega_1] \)에서 점 \( \omega_1 \)은 가산 국소 기저를 갖지 않지만, 이 점만이 유일하게 가산 국소 기저를 갖지 않으므로 부분 공간 \( \omega_1 = [0, \omega_1) \)은 제1 가산 공간이다.
4. 3. 이산 공간과 비이산 공간
X영어가 이산 공간 또는 비이산 공간이라고 하자. 그 국소 지표 및 지표는 다음과 같다.: