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직교 리 대수

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목차

1. 개요

직교 리 대수는 가환환 K 위의 가군 V와 V 상의 대칭 쌍선형 형식 B가 주어졌을 때 정의되는 리 대수의 일종이다. V의 자기 준동형으로 구성된 리 대수에서 B에 대한 직교 리 대수는 B(v, Mv) = 0을 만족하는 선형 변환 M으로 구성된다. 직교 리 대수는 이차 형식 Q에 대응되는 대칭 쌍선형 형식 B와 관련되며, 직교군의 리 대수이다. 특수 직교 리 대수는 직교 리 대수와 특수 선형 리 대수의 교집합으로 정의된다.

2. 정의

가환환 K 위의 가군 V와 V 위의 대칭 쌍선형 형식 B \colon \operatorname{Sym}^2V \to K가 주어졌을 때, V의 자기 준동형으로 구성된 K-리 대수 \mathfrak{gl}(V;K) = \operatorname{End}_K(V) = \hom_K(V,V)를 생각할 수 있다.

이 속에서, 다음과 같은 K-부분 가군은 K-부분 리 대수를 이루며, 이를 V의 B에 대한 '''직교 리 대수'''라고 한다.

:\mathfrak o(V,B) = \{M\in\mathfrak{gl}(V;K) \colon B(v,Mv) = 0\;\forall v\in V\}

2. 1. 조건

가환환 K에서 2가 가역원일 경우, 자기 준동형 M\in \mathfrak{gl}(V;K)에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

# B(v,Mv) = 0\qquad\forall v\in V

# B(u,Mv) = -B(v,Mu)\qquad\forall u,v\in V

그러나 2가 가역원이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.

조건 1은 모든 벡터 v에 대해 B(v, Mv) = 0이 성립함을 의미하며, 이는 리 대수의 원소 M이 B에 대한 무한소 직교 변환임을 뜻한다.

2. 2. 추가 조건

가환환 K에서 2가 가역원이면, M\in \mathfrak{gl}(V;K)에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

# B(v,Mv) = 0\qquad\forall v\in V

# B(u,Mv) = -B(v,Mu)\qquad\forall u,v\in V

그러나 2가 가역원이 아니면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.

2. 3. 체 위에서의 표현

K가 표수가 2가 아닌 체이고, V가 유한 차원 벡터 공간이며, B가 비퇴화 쌍선형 형식이라고 하자. 이 경우, B는 V와 쌍대 공간 V^* 사이의 동형을 정의한다. 이러한 상황에서 직교 리 대수는 B를 통해 행렬로 표기했을 때 반대칭 행렬이 되는 선형 변환들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법으로,

:B(u,v) = B_{ij}u^iv^j

로 적으면,

:M \in \mathfrak o(V,B) \iff M_{ij} = - M_{ji}\qquad(M_{ij} \,\stackrel{\mathrm{def}}=\, B_{ii'}M^{i'}{}_j)

이다.

3. 성질

직교 리 대수는 대응되는 이차 형식의 직교군의 리 대수와 관련된다.

3. 1. 직교군과의 관계

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q\colon V\to K에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 다음과 같다.

:B(u,v) = Q(u+v)-Q(u) - Q(v)

이때, 리 대수 \mathfrak o(V,B)는 직교군 \operatorname O(V,Q)의 리 대수이다.

대수군의 경우와 달리, 리 대수는 이차 형식에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식에만 의존한다. 이는 직교군의 정의가

:Q(Mv) = Q(v)\qquad\forall v\in V

인데, 이를 “무한소화”하면

:Q((1+tM)v) = Q(v) + \mathcal O(t^2)

가 된다. 그런데

:Q((1+tM)v = Q(v) + tB(v,Mv) + t^2Q(Mv)

이므로, 이는 오직 B(-,-)에만 의존하게 된다.

4. 예

B = 0일 때, 정의에 따라 직교 리 대수 \mathfrak o(V,B)는 일반 선형 리 대수 \mathfrak{gl}(V)와 일치한다.

4. 1. 특수 직교 리 대수

유한 생성 자유 가군 V가 주어졌을 때, 대각합이 0인 가군 준동형들로 구성된 특수 선형 리 대수

:\mathfrak{sl}(V;K)=\{M\in\mathfrak{gl}(V;K)\colon\operatorname{tr}M = 0\}\subseteq\mathfrak{gl}(V;K)

를 정의할 수 있다. 이 경우, '''특수 직교 리 대수'''(special orthogonal Lie algebra영어)는 다음과 같이 정의된다.

:\mathfrak{so}(V,B) = \mathfrak o(V,B) \cap\mathfrak{sl}(V;K)

이는 직교 리 대수 가운데 대각합이 0인 원소들로 구성된 부분 대수이다.

만약 K가 체이며, B가 비퇴화 쌍선형 형식일 경우, \mathfrak{so}(V,B)=\mathfrak o(V,B)이다. 그러나 예를 들어 K의 표수가 2일 때, 홀수 차원 K-벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 퇴화 대칭 쌍선형 형식이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 체 위에서,

:1_{n\times n} \in \mathfrak{sl}(n;\mathbb F_2) \iff 2 \mid n

이지만, B가 (이차 형식에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식이라면

:B(v,1_{n\times n}v) = 0

이므로 항상 1_{n\times n} \in \mathfrak o(n,B;\mathbb F_2)이다.


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