첨가 행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 해의 존재성과 개수
4. 응용
- 4.1. 역행렬 구하기
- 4.2. 선형 방정식계의 해
참조

1. 개요

첨가 행렬은 행렬 방정식의 계수 행렬과 상수항 행렬을 결합하여 만든 행렬이다. 행렬 방정식의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 계수 행렬의 계수와 첨가 행렬의 계수가 같고, 해가 유일하기 위한 필요충분조건은 계수 행렬이 가역 행렬인 것이다. 첨가 행렬은 행렬 방정식 풀이 및 역행렬 계산에 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

선형대수학 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
선형대수학 - 선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.

첨가 행렬
개요
정의	두 행렬을 결합하여 열을 추가하여 얻은 행렬
표기법	(A\|B)
활용
선형 방정식 풀이	가우스 소거법과 같은 방법에서 계수 행렬과 상수항 벡터를 결합하여 사용
선형 계획법	심플렉스 방법에서 제약 조건과 목적 함수를 나타내는 데 사용
행렬 연산	역행렬 계산, 행렬식 계산 등
예시
행렬 A	'[1 2][3 4]'
행렬 B	'[5][6]'
첨가 행렬 (A\|B)	'[1 2 5][3 4 6]'

2. 정의

행렬 방정식 $AX=B$ 에서 $A$ 는 계수 행렬(coefficient matrix^영어)이라고 하고, $(A|B)$ 는 첨가 행렬이라고 한다. 첨가 행렬은 계수 행렬에 상수항 행렬 $B$ 를 붙여서 만든다. 특히, 연립 일차 방정식 $Ax=b$ 의 계수 행렬은 $A$ , 첨가 행렬은 $(A|b)$ 이다.

다음은 연립 방정식의 예시와 그에 따른 계수 행렬 및 첨가 행렬을 나타낸 표이다.

연립 방정식	계수 행렬 ( $A$ )	상수항 행렬 ( $B$ )	(A>B))

3. 성질

행렬 방정식 $AX=B$ 의 해 존재성은 계수 행렬 $A$ 와 첨가 행렬 $(A|B)$ 의 계수(rank)를 비교하여 판별할 수 있다. 연립 일차 방정식 $Ax=b$ 의 해가 유일할 조건은 계수 행렬 $A$ 가 가역 행렬인 경우이다.

3. 1. 해의 존재성과 개수

계수 행렬과 첨가 행렬의 계수가 같은 경우, 해가 존재한다. 계수 행렬과 첨가 행렬의 계수가 같고, 그 계수가 미지수의 개수와 같으면 유일한 해가 존재한다. 계수 행렬과 첨가 행렬의 계수가 같지만, 그 계수가 미지수의 개수보다 작으면 해가 무한히 많다. 계수 행렬의 계수가 첨가 행렬의 계수보다 작으면 해가 존재하지 않는다. (불능, 모순)

다음 연립 방정식을 예시로 살펴보자.

:

\begin{align}x + y + 2z &= 2 \\x + y + z &= 3 \\2x + 2y + 2z &= 6.\end{align}

계수 행렬은 다음과 같다.

:

A =\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 \\\end{bmatrix},

첨가 행렬은 다음과 같다.

:

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 2\\1 & 1 & 1 & 3 \\2 & 2 & 2 & 6\end{array}\right].

두 행렬 모두 랭크가 2로 같으므로, 최소한 하나의 해가 존재한다. 랭크가 미지수의 개수(3)보다 작으므로, 해는 무한히 많다.

다음 연립 방정식을 보자.

:

\begin{align}x + y + 2z &= 3 \\x + y + z &= 1 \\2x + 2y + 2z &= 5.\end{align}

계수 행렬은 다음과 같다.

:

A =\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 \\\end{bmatrix},

첨가 행렬은 다음과 같다.

:

(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 3 \\1 & 1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right].

계수 행렬의 랭크는 2이고, 첨가 행렬의 랭크는 3이다. 따라서 이 연립 방정식은 해가 없다. 선형 독립적인 행의 수가 증가하여 연립 방정식이 모순이 되었다.

다음 방정식의 경우,

:

\begin{align}x + 2y + 3z &= 0 \\3x + 4y + 7z &= 2 \\6x + 5y + 9z &= 11\end{align}

계수와 상수항은 다음 행렬을 갖는다.

:

A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 7 \\6 & 5 & 9\end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix}0 \\2 \\11\end{bmatrix},

첨가 행렬은 다음과 같다.

:

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 0 \\3 & 4 & 7 & 2 \\6 & 5 & 9 & 11\end{array}\right].

계수 행렬의 계수는 3이고, 첨가 행렬의 계수와 같다. 따라서 적어도 하나의 해가 존재하며, 이 계수가 미지수의 개수와 같으므로 해는 유일하게 존재한다.

첨가 행렬에 기본 행 연산을 수행하여 왼쪽 부분에 단위 행렬을 만들면 해를 구할 수 있다.

:

\left[\begin{array}{ccc|r}1 & 0 & 0 & 4 \\0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -2 \\\end{array}\right],

따라서 이 시스템의 해는 (''x'', ''y'', ''z'') = (4, 1, -2)이다.

4. 응용

첨가 행렬은 행렬 방정식의 풀이와 역행렬을 구하는 데 응용된다.
선형 방정식계의 해:첨가 행렬은 각 방정식 집합의 계수와 해 벡터를 나타내는 데 사용된다. 이를 통해 연립 방정식의 해의 존재 여부와 해의 개수를 파악할 수 있다.

다음은 연립 방정식과 그에 해당하는 첨가 행렬의 예시이다.

예시 1:

\begin{align}x + y + 2z &= 2 \\x + y + z &= 3 \\2x + 2y + 2z &= 6.\end{align}

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 2\\1 & 1 & 1 & 3 \\2 & 2 & 2 & 6\end{array}\right].

이 첨가 행렬의 랭크는 2로, 계수 행렬의 랭크와 같다. 따라서 최소한 하나의 해가 존재한다. 또한 랭크가 미지수의 개수(3개)보다 작으므로 해는 무한히 많다.

예시 2:

\begin{align}x + y + 2z &= 3 \\x + y + z &= 1 \\2x + 2y + 2z &= 5.\end{align}

(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 3 \\1 & 1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right].

이 경우, 계수 행렬의 랭크는 2이지만, 첨가 행렬의 랭크는 3으로 서로 다르다. 따라서 이 연립 방정식은 해가 없다.

예시 3:

\begin{align}x + 2y + 3z &= 0 \\3x + 4y + 7z &= 2 \\6x + 5y + 9z &= 11\end{align}

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 0 \\3 & 4 & 7 & 2 \\6 & 5 & 9 & 11\end{array}\right].

계수 행렬과 첨가 행렬의 랭크는 모두 3으로 같고, 이는 미지수의 개수와 같다. 따라서 이 연립 방정식은 유일한 해를 가지며, 기본 행 연산을 통해 해를 구할 수 있다.

4. 1. 역행렬 구하기

정사각 행렬

A

의 역행렬을 구하기 위해,

A

와 단위 행렬

I

를 붙여 첨가 행렬

(A|I)

를 만든다. 기본 행 연산을 이용하여

(A|I)

의 왼쪽 부분 (

A

)을 단위 행렬로 변환하면, 오른쪽 부분은

A

의 역행렬이 된다.

예를 들어, 행렬

A

가 다음과 같은 2×2 정사각 행렬이라고 하자.

A =\begin{bmatrix}1 & 3 \\

5 & 0

\end{bmatrix}.

A

의 역행렬을 구하기 위해,

\mathbf{I}_2

가

2\times 2

단위 행렬인 첨가 행렬

(A \vert \mathbf{I}_2)

를 구성한다. 그런 다음

(A \vert \mathbf{I}_2)

에 대한 기본 행 연산을 사용하여

(A \vert \mathbf{I}_2)

의

A

에 해당하는 부분을 단위 행렬로 축소한다.

(A \vert \mathbf{I}_2) =\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 1 & 0\\

5 & 0 & 0 & 1

\end{array}\right]

(I|A^{-1}) =\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}\end{array}\right],

이 행렬의 오른쪽 부분은 역행렬

A^{-1}

이다.

4. 2. 선형 방정식계의 해

첨가 행렬은 행렬 방정식을 풀이하고 역행렬을 구하는데 사용된다.

다음 연립 방정식을 보자.

\begin{align}x + y + 2z &= 2 \\x + y + z &= 3 \\2x + 2y + 2z &= 6.\end{align}

계수 행렬은 다음과 같다.

A =\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 \\\end{bmatrix},

그리고 첨가 행렬은 다음과 같다.

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 2\\1 & 1 & 1 & 3 \\2 & 2 & 2 & 6\end{array}\right].

두 행렬 모두 랭크가 2로 같으므로, 적어도 하나의 해가 존재한다. 그리고 랭크가 미지수의 개수(3)보다 작으므로, 해는 무한히 많다.

반면, 다음 연립 방정식을 보자.

\begin{align}x + y + 2z &= 3 \\x + y + z &= 1 \\2x + 2y + 2z &= 5.\end{align}

계수 행렬은 다음과 같다.

A =\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 \\\end{bmatrix},

그리고 첨가 행렬은 다음과 같다.

(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 3 \\1 & 1 & 1 & 1 \\2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right].

이 경우 계수 행렬은 랭크 2를 가지지만, 첨가 행렬은 랭크 3을 가진다. 따라서 이 연립 방정식은 해가 없다. 실제로, 선형 독립적인 행의 수가 증가하여 연립 방정식이 모순이 되었다.

선형대수학에서 사용되는 첨가 행렬은 각 방정식 집합의 계수와 해 벡터를 나타내는 데 사용된다. 다음 방정식 집합의 경우

\begin{align}x + 2y + 3z &= 0 \\3x + 4y + 7z &= 2 \\6x + 5y + 9z &= 11\end{align}

계수와 상수항은 다음 행렬을 제공한다.

A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 7 \\6 & 5 & 9\end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix}0 \\2 \\11\end{bmatrix},

따라서 첨가 행렬은 다음과 같다.

(A|B) =\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 0 \\3 & 4 & 7 & 2 \\6 & 5 & 9 & 11\end{array}\right].

계수 행렬의 랭크는 3인데, 이는 첨가 행렬의 랭크와 같으므로 적어도 하나의 해가 존재하며, 이 랭크가 미지수의 개수와 같으므로 정확히 하나의 해가 존재한다.

해를 구하기 위해, 첨가 행렬에 기본 행 연산을 수행하여 왼쪽 부분에 단위 행렬을 얻을 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.

\left[\begin{array}{ccc|r}1 & 0 & 0 & 4 \\0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -2 \\\end{array}\right],

따라서 이 시스템의 해는 (''x'', ''y'', ''z'') = (4, 1, −2)이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com