최대 원소와 최소 원소

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 최대 원소와 극대 원소의 비교
5. 예
6. 천장과 바닥
7. 기타
참조

1. 개요

최대 원소와 최소 원소는 부분 순서 집합에서 정의되는 개념으로, 최대 원소는 집합 내 모든 원소보다 크거나 같은 원소이며, 최소 원소는 모든 원소보다 작거나 같은 원소이다. 최대 원소는 보통 ⊤ 또는 1, 최소 원소는 ⊥ 또는 0으로 표기하며, 상한과 하한이라고도 한다. 정수 집합과 같이 최대, 최소 원소가 존재하지 않을 수도 있으며, 모든 최대 원소는 극대 원소이지만 그 역은 성립하지 않는다. 전순서 집합에서는 극대 원소와 최대 원소가 일치한다. 최대 원소는 모든 원소와 비교 가능해야 하지만, 극대 원소는 그렇지 않다.

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최대 원소와 최소 원소
순서론의 기본 개념
정의	어떤 집합의 모든 원소에 대해 가장 크거나 (작거나) 같은 원소
관련 개념	상한 하한 최대 원소 최소 원소 전순서 집합
정의
최대 원소 (greatest element)	정의: 집합 S의 모든 원소 s에 대해 x ≥ s를 만족하는 S의 원소 x. 존재성: 최대 원소가 존재하면 유일하다. 특성: 최대 원소는 집합 S의 상한이다.
최소 원소 (least element)	정의: 집합 S의 모든 원소 s에 대해 x ≤ s를 만족하는 S의 원소 x. 존재성: 최소 원소가 존재하면 유일하다. 특성: 최소 원소는 집합 S의 하한이다.
주의 사항
최대 원소와 극대 원소의 차이	최대 원소: 집합 내의 모든 원소보다 크거나 같은 원소. 극대 원소: 어떤 원소보다 크거나 같은 다른 원소가 존재하지 않는 원소. 차이점: 최대 원소는 유일하지만, 극대 원소는 여러 개 존재할 수 있다. 최대 원소가 존재하면 극대 원소가 되지만, 극대 원소가 최대 원소가 되는 것은 아니다.
최소 원소와 극소 원소의 차이	최소 원소: 집합 내의 모든 원소보다 작거나 같은 원소. 극소 원소: 어떤 원소보다 작거나 같은 다른 원소가 존재하지 않는 원소. 차이점: 최소 원소는 유일하지만, 극소 원소는 여러 개 존재할 수 있다. 최소 원소가 존재하면 극소 원소가 되지만, 극소 원소가 최소 원소가 되는 것은 아니다.
예시
예시 1	실수 집합 R에서 0 ≤ x ≤ 1인 부분집합 S의 최대 원소는 1이고, 최소 원소는 0이다.
예시 2	A = {1, 2, 3}의 멱집합 P(A)에서 부분집합 관계 (⊆)에 대한 최대 원소는 {1, 2, 3}이고, 최소 원소는 ∅ (공집합)이다.
참고 문헌

2. 정의

부분 순서 집합 $(P,\le)$ 에서 '''최대 원소'''는 모든 원소 $a\in P$ 에 대해 $a \le g$ 를 만족시키는 원소 $g\in P$ 를 말한다. 마찬가지로 '''최소 원소'''는 모든 원소 $a\in P$ 에 대해 $a \ge l$ 을 만족시키는 원소 $l\in P$ 이다. 이는 반대 순서 집합 $P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)$ 의 최대 원소와 같다.

부분 순서 집합에서 최대 원소와 최소 원소는 존재한다면 각각 유일하다. 따라서 특정 부분 집합 $S \subseteq P$ 의 최대 원소가 존재하고 유일할 경우, 이를 'S의 최대 원소'라고 부른다. 'S의 최소 원소'도 마찬가지이다.

최대 원소는 흔히 $\top$ 또는 1로 표기하고, 최소 원소는 $\bot$ 또는 0으로 표기한다. 숫자 1과 0 표기는 다른 의미와 혼동될 여지가 없을 때만 사용한다. 부분 순서 집합 $P$ 자체의 최대 원소와 최소 원소를 나타내는 다른 기호로는 $⊤$ (top)와 $⊥$ (bottom)이 있다. 최소 원소와 최대 원소를 모두 갖는 부분 순서 집합을 bounded poset|유계 순서 집합^영어이라고 한다. 특히 보완 격자에서는 0과 1 기호를 자주 사용한다.

어떤 부분 집합 $S \subseteq P$ 의 최대 원소 $g$ 는 $S$ 의 모든 원소 $s$ 에 대해 $s \le g$ 를 만족하는 $S$ 의 원소이다. 최소 원소 $l$ 은 $S$ 의 모든 원소 $s$ 에 대해 $l \le s$ 를 만족하는 $S$ 의 원소이다. 정의에 따라 $S$ 의 최대 원소는 $S$ 의 상계이고, 최소 원소는 $S$ 의 하계이다.

주의할 점은 최대 원소나 최소 원소는 항상 존재하는 것이 아니라는 점이다. 어떤 집합이 상계나 상한을 가지더라도 최대 원소를 갖지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 집합 $\mathbb{R}$ 에서 음의 실수 전체의 집합 $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}$ 은 여러 상계(예: 1, 2)와 상한 0을 갖지만, 집합 내부에 포함되면서 가장 큰 원소인 최대 원소는 존재하지 않는다. 최소 원소, 하계, 하한의 관계도 마찬가지이다. 다만, 유한 전순서 집합의 공집합이 아닌 부분 집합은 항상 최대 원소와 최소 원소를 갖는다.

또한, 최대 원소는 극대 원과 구별해야 한다. 어떤 집합이 극대 원을 가지더라도 최대 원소를 갖는다고 할 수는 없다. 하지만 최대 원소가 존재한다면, 그 원소는 유일한 극대 원이 된다. 최소 원소와 극소 원의 관계도 동일하다.

3. 성질

정수 집합 $\mathbb{Z}$ 는 최대 원소나 최소 원소가 존재하지 않는 예시이다. 또한, 상계가 존재하더라도 최대 원소가 존재하지 않을 수 있는데, 음의 실수 집합 $\mathbb{R}^{-}$ 가 그 예이다. 이 집합의 모든 원소는 0보다 작거나 같으므로 0은 상계이지만, 0은 음의 실수 집합에 속하지 않으므로 최대 원소는 아니다. 마찬가지로 최소 상계(상한)인 0이 존재하지만 최대 원소는 없다. 최소 원소의 경우도 비슷하다.

모든 최대 원소는 극대 원소이며, 모든 최소 원소는 극소 원소이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 아래 그림의 부분집합 $S = \{ 1, 2, 3, 4 \}$ 에서 3과 4는 극대 원소이지만, 3과 4는 서로 비교 불가능( $3 \not\leq 4$ 이고 $4 \not\leq 3$ )하므로 $S$ 의 모든 원소보다 크거나 같은 최대 원소는 존재하지 않는다. 반면, 1은 $S$ 의 모든 원소보다 작거나 같으므로 최소 원소이며, 동시에 극소 원소이기도 하다.

하지만 전순서 집합에서는 모든 극대 원소가 최대 원소이고, 모든 극소 원소가 최소 원소이다. 이 경우 최대 원소를 최댓값(maximum), 최소 원소를 최솟값(minimum)이라고도 부른다. 이 둘을 통틀어 절대 극값(absolute extremum)이라고 한다.^[9]

부분 순서 집합의 부분 집합

S

는 최대 원소를 최대 1개만 가질 수 있다. 즉, 최대 원소가 존재한다면 유일하다.^[3] 최소 원소도 마찬가지다. 최대 원소가 존재하면, 그 원소는

S

의 유일한 극대 원소이다.^[4]^[5] 따라서 어떤 집합이 여러 개의 극대 원소를 가지면 최대 원소를 가질 수 없다.

최대 원소와 극대 원소의 주요 차이점은 비교 가능성에 있다.

S

의 최대 원소는 정의상

S

의 모든 원소와 비교 가능해야 한다(

s \leq g

). 반면,

S

의 극대 원소

m

은

m

보다 큰 원소가

S

안에 없으면 되므로,

S

내의 다른 모든 원소와 비교 가능할 필요는 없다. 예를 들어, 원소가 둘 이상인 집합

S

에서

i = j

일 때만

i \leq j

라고 부분 순서를 정의하면, 서로 다른 두 원소는 비교 불가능하다. 이 경우

S

의 모든 원소는 극대 원소이지만, 어떤 원소도 다른 모든 원소와 비교 가능하지 않으므로 최대 원소는 존재하지 않는다.^[2]

몇 가지 추가적인 성질은 다음과 같다.

부분 순서 집합 $P$ 가 상승 사슬 조건을 만족하면, $P$ 의 부분 집합 $S$ 가 극대 원소를 갖는 것과 최대 원소를 갖는 것은 동치이다.^[6]
부분 순서 $\,\leq\,$ 를 부분 집합 $S$ 에 제한했을 때 전순서 관계가 된다면, $S$ 에서 극대 원소와 최대 원소의 개념은 일치한다.^[7] (위 그림에서 $\{1, 2, 4\}$ 는 전순서 관계가 되며, 4는 극대 원소이자 최대 원소이다.)
만약 부분 순서 집합 $P$ 의 모든 두 원소 부분 집합 $S$ 에서 극대 원소와 최대 원소의 개념이 일치한다면, $\,\leq\,$ 는 $P$ 에 대한 전순서 관계이다.^[8]

실수 값 함수의 맥락에서는 용어 사용에 주의가 필요하다. 함수의 최댓값은 보통 함수 치역의 최대 원소(절대 최댓값, 전역적 최댓값)를 의미하며, 특정 점 근방에서 가장 큰 값인 극댓값(국소적 최댓값, 상대적 최댓값)과는 구분된다.^[9]^[11]^[12] 최솟값과 극솟값도 마찬가지이다. 자세한 내용은 극값 문서를 참조하라.

4. 최대 원소와 극대 원소의 비교

부분 순서 집합의 부분집합에서, 최대 원소는 집합 내 다른 어떤 원소보다 작지 않은 원소인 극대 원소와 혼동해서는 안 된다.

$(P, \leq)$ 를 부분 순서 집합이라고 하고 $S \subseteq P$ 라고 하자.

원소 $m \in S$ 가 다음 조건을 만족하면 $S$ 의 극대 원소라고 한다.

: 만약 $s \in S$ 가 $m \leq s$ 를 만족하면, 반드시 $s \leq m$ 이다.

이는 $m$ 보다 크거나 같은( $m \leq s$ ) 원소 $s$ 가 있다면, 그 원소는 반드시 $m$ 자신( $s \leq m$ , 즉 $s=m$ )이어야 한다는 의미이다. 다시 말해, $m$ 보다 진짜로 큰( $m \leq s$ 이고 $s \neq m$ ) 원소 $s \in S$ 가 존재하지 않는다는 뜻이다.

반면, 원소 $g \in P$ 는 $g \in S$ 이고 $S$ 의 모든 $s$ 에 대해 $s \leq g$ 를 만족하면 $S$ 의 최대 원소라고 한다.

모든 최대 원소는 극대 원소이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 만약 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며^[3], 이 최대 원소만이 유일한 극대 원소가 된다.^[4]^[5] 반면, 극대 원소는 여러 개 존재할 수 있다. 예를 들어, 집합 $S$ 가 최소 두 개의 원소를 포함하고, $i = j$ 인 경우에만 $i \leq j$ 로 부분 순서를 정의하면(즉, 서로 다른 원소는 비교 불가능), $S$ 는 최대 원소를 갖지 않지만, 모든 원소가 극대 원소가 된다.^[2]

전순서 집합에서는 극대 원소와 최대 원소가 일치한다. 즉, 전순서 집합에서는 모든 극대 원소가 최대 원소이며, 모든 극소 원소는 최소 원소이다. 이때 최대 원소를 최댓값(maximum)이라고도 부른다.

최대 원소와 극대 원소의 중요한 차이점은 비교 가능성에 있다. 두 원소 $x, y \in P$ 는 $x \leq y$ 또는 $y \leq x$ 일 경우 비교 가능하다고 한다. 비교 가능하지 않으면 비교 불가능하다고 한다. 최대 원소 $g$ 는 정의상 $S$ 의 모든 원소 $s$ 에 대해 $s \leq g$ 를 만족해야 하므로, $S$ 의 모든 원소와 비교 가능해야 한다. 그러나 극대 원소 $m$ 은 $m$ 보다 크거나 같은 원소 $s$ 가 $m$ 자신뿐이면 되므로, $S$ 의 모든 원소와 비교 가능할 필요는 없다. 즉, 극대 원소는 자신보다 큰 원소만 없으면 되며, 비교 불가능한 원소가 있어도 상관없다.

만약 부분 순서 집합 $P$ 가 상승 사슬 조건을 만족하면, $P$ 의 부분 집합 $S$ 는 극대 원소를 가지는 것과 최대 원소를 가지는 것이 동치이다.^[6] 또한, 부분 순서 $\,\leq\,$ 의 $S$ 에 대한 제한이 전순서 관계일 때도 극대 원소와 최대 원소의 개념은 일치한다.^[7]

실수 값 함수의 값에 대해 이야기할 때는 용어에 주의가 필요하다.^[9] 함수의 치역(함수가 가질 수 있는 모든 값의 집합)의 최대 원소는 최댓값(maximum value) 또는 혼동을 피하기 위해 절대 최댓값(absolute maximum value), 전역적 최댓값(global maximum value)이라고 부른다.^[11] 반면, 어떤 점의 근방에서 함수 값 중 가장 큰 값은 극댓값(local maximum value, relative maximum value)이라고 한다.^[12] 전순서 집합인 실수의 부분집합에서는 극대 원소와 최대 원소가 일치하지만, 함수 맥락에서는 '극댓값'과 '최댓값(절대 최댓값)'을 구분해서 사용한다. 최솟값과 극솟값에 대해서도 마찬가지이며, 이들을 통틀어 극값(extremum)이라고 부른다.^[13]^[14] 한국어에서는 보통 '극값'이라고 하면 국소적 의미(극댓값, 극솟값)를 가리킨다. 더 자세한 내용은 극값 문서를 참조하라.

확률론 등에서는 실수 $a, b \in \mathbf{R}$ 의 최대값과 최소값을 각각 다음과 같이 표기하기도 한다.^[10]

: $a \vee b = \max\{a, b\}, \quad a \wedge b = \min\{a, b\}$

5. 예

모든 유한 사슬은 최대 원소와 최소 원소를 갖는다. 예를 들어 집합 $\{1, 3, 5, 7\}$ 은 7을 최대 원소로, 1을 최소 원소로 한다.

부분 순서 집합 $\{a,b,c,d\}$ 의 하세 도표. 부분집합 $\{a, b\}$ 는 상계 $c, d$ 를 갖지만 최소 상계나 최대 원소는 없다.

집합 $\{a, b, c, d\}$ 에 부분 순서 $a \le c, a \le d, b \le c, b \le d$ 를 정의하면, 부분집합 $\{a, b\}$ 는 상계 $c, d$ 를 갖지만, 최소 상계나 최대 원소를 갖지 않는다. (오른쪽 그림 참조)
닫힌 단위 구간 $([0, 1], \le)$ 은 최대 원소 1과 최소 원소 0을 가진다. 반면, 열린 단위 구간 $((0, 1), \le)$ 은 최대 원소나 최소 원소를 갖지 않는다.
실수 $\mathbb{R}$ 의 부분집합으로서 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 상계를 갖지 않으므로 최대 원소도 없다.
유리수 $\mathbb{Q}$ 의 부분집합으로서, 제곱이 2보다 작은 유리수의 집합 $S = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \}$ 는 상계(예: 1.5)를 갖지만, $\mathbb{Q}$ 안에서 최소 상계나 최대 원소를 갖지 않는다. ( $\sqrt{2}$ 는 유리수가 아니기 때문이다.)
실수 $\mathbb{R}$ 에서, 1보다 작은 실수의 집합 $\{ x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \}$ 은 최소 상계 1을 갖지만, 최대 원소는 없다.
실수 $\mathbb{R}$ 에서, 1보다 작거나 같은 실수의 집합 $\{ x \in \mathbb{R} \mid x \le 1 \}$ 은 최대 원소 1을 가지며, 이는 동시에 최소 상계이기도 하다.
데카르트 곱 $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 에 곱 순서를 부여했을 때, 부분집합 $S = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 < x < 1 \}$ 는 상계를 갖지 않는다.
$\mathbb{R}^2$ 에 사전식 순서를 부여했을 때, 위와 동일한 집합 $S$ 는 상계(예: $(1, 0)$ )를 갖지만, 최소 상계는 갖지 않는다.

완비 격자의 임의의 부분집합

S

에 대해, 그 상계들의 집합은 최소 원소(즉,

S

의 이음)를 가지며, 하계들의 집합은 최대 원소(즉,

S

의 만남)를 갖는다.

모든 불 대수나 헤이팅 대수는 최대 원소와 최소 원소를 갖는다. 이들은 각각 고전 명제 논리 및 직관 논리의 참값에 대응하며, 최대 원소는 참(T) 명제, 최소 원소는 거짓(⊥) 명제에 해당한다.

어떤 집합

S

의 멱집합

\mathcal{P}(S)

에 부분 집합 관계

\subseteq

로 순서를 부여한 격자

(\mathcal{P}(S), \subseteq)

는 최소 원소인 공집합

\varnothing

과 최대 원소인 전체 집합

S

를 갖는다.

환

R

의 아이디얼들을 부분 집합 관계

\subseteq

로 순서를 부여하면, 이는 부분 순서 집합을 이룬다. 이 집합은 최대 원소인 환 자신

R = (1)

과 최소 원소인 영 아이디얼

\{0\} = (0)

을 갖는다.

6. 천장과 바닥

부분 순서 집합 $(P, \leq)$ 전체의 최소 원소와 최대 원소는 특별한 역할을 하며, 각각 '''바닥'''( $\bot$ )과 '''천장'''( $\top$ )이라고 부른다. 또는 '''영'''( $0$ )과 '''단위'''( $1$ )라고도 한다.

최소 원소와 최대 원소가 모두 존재하는 부분 순서 집합은 '''유계 부분 순서 집합'''(bounded poset)이라고 한다.

$0$ 과 $1$ 표기법은 해당 부분 순서 집합이 보완 격자일 때 주로 사용된다. 다만, 이미 $0$ 과 $1$ 이라는 다른 의미의 원소를 포함하는 숫자 집합의 부분 순서를 다룰 때는 혼동을 피하기 위해 사용에 주의해야 한다.

최소 원소와 최대 원소의 존재는 부분 순서의 특별한 완비성 속성으로 간주된다.

7. 기타

통계학에서 수치 데이터는 오름차순으로 정렬되어 있으며, 첫 번째 값을 최소값, 마지막 값을 최대값이라고 한다.
일상 대화에서는 "매우 큰 최소값"이나 "매우 작은 최대값"은 최대 또는 최소라고 하지 않고 다른 표현으로 바꾸는 경우가 있다. 예를 들어, 수학적으로는 모든 장소에 "가장 가까운 편의점"이 존재하지만, 일상 대화에서는 거리가 너무 멀 경우 "가장 가까운 편의점은 없다"고 답하는 것이 보통이다. "최단 루트"라는 말도 너무 긴 거리의 경우에는 보통 사용하지 않는다.
일상 대화에서의 최소의 정의도 문맥에 따라 다르며, "0에 가까운 것" 또는 수학적 정의와 같은 "음의 무한대(−∞)에 가까운 것" 중 어느 쪽으로든 해석될 수 있다.
일상 대화에서는 "거대한 수치의 집합"에서의 최대값은 "모두 크다"로, 최소값은 "없다"로 표현되기도 한다.
무하마드 알리는 "나는 최고가 아니다, 두 배 최고다" (I’m not the greatest, I’m the double greatest.^eng)라고 말했다고 신문 USA 투데이가 보도하였다^[16]. 이는 유명인의 발언이지만, 수학적으로는 모순되는 점이 있다.
저울에서의 "최소 측정량"이란 그 저울로 정밀도의 보증이 가능한 최소의 측정값을 나타내며, 눈금의 최소값을 의미하는 것이 아니다^[17] (참고로 눈금의 최대값은 "계량 범위"라고 한다.).

참조

_[1] 문서 The notion of locality requires the function's domain to be at least a [[topological space]].
_[2] 문서 Of course, in this particular example, there exists only one element in $S$ that is comparable to $m,$ which is necessarily $m$ itself, so the second condition "and $\geq m,$ " was redundant.
_[3] 문서 If $g_1$ and $g_2$ are both greatest, then $g_1 \leq g_2$ and $g_2 \leq g_1,$ and hence $g_1 = g_2$ by [[antisymmetry]].
_[4] 문서 If $g$ is the greatest element of $S$ and $s \in S,$ then $s \leq g.$ By [[antisymmetry]], this renders ( $g \leq s$ and $g \neq s$ ) impossible.
_[5] 문서 If $M$ is a maximal element, then $M \leq g$ since $g$ is greatest, hence $M = g$ since $M$ is maximal.
_[6] 문서 ''Only if:'' see above. — ''If:'' Assume for contradiction that $S$ has just one maximal element, $m,$ but no greatest element. Since $m$ is not greatest, some $s_1 \in S$ must exist that is incomparable to $m.$ Hence $s_1 \in S$ cannot be maximal, that is, $s_1 < s_2$ must hold for some $s_2 \in S.$ The latter must be incomparable to $m,$ too, since $m < s_2$ contradicts $m$ 's maximality while $s_2 \leq m$ contradicts the incomparability of $m$ and $s_1.$ Repeating this argument, an infinite ascending chain $s_1 < s_2 < \cdots < s_n < \cdots$ can be found (such that each $s_i$ is incomparable to $m$ and not maximal). This contradicts the ascending chain condition.
_[7] 문서 Let $m \in S$ be a maximal element, for any $s \in S$ either $s \leq m$ or $m \leq s.$ In the second case, the definition of maximal element requires that $m = s,$ so it follows that $s \leq m.$ In other words, $m$ is a greatest element.
_[8] 문서 If $a, b \in P$ were incomparable, then $S = \{ a, b \}$ would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence.
_[9] nlab extremum: 1. Idea.
_[10] 서적 Probability and Measure Wiley
_[11] MathWorld Global Maximum
_[12] MathWorld Local Maximum
_[13] 문서 Extremum
_[14] SpringerEOM Maximum and minimum of a function
_[15] SpringerEOM Maximum and minimum points
_[16] 뉴스 USA-Todayの記事 https://www.usatoday[...] USA-Today
_[17] 웹사이트 https://www.aandd.co[...]

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