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침몰 (수학)

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목차

1. 개요

침몰은 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 f에 대한 개념으로, 함수 f의 미분(푸시포워드)이 전사 선형 사상인 경우를 의미한다. 침몰은 함수의 정칙점을 가지며, 정칙값 정리에 의해 정칙값에 대한 원상은 매끄러운 다양체를 이룬다. 국소 정규 형식에 따르면 침몰은 국소적으로 사영 함수와 같으며, 사영 함수, 벡터 다발, 국소 미분 동형 사상 등이 침몰의 예시로 제시된다. 위상 다양체에서도 침몰 개념이 정의되며, 이는 국소적으로 사영 사상과 같은 연속 함수이다.

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침몰 (수학)

2. 정의

두 매끄러운 다양체 M, N과 매끄러운 함수 f \colon M \to N이 주어졌다고 하자. 각 점 x\in M에서, 실수 선형 변환인 미분(푸시포워드) \mathrm T_xf\colon\mathrm T_xM \to \mathrm T_{f(x)}N을 정의할 수 있다. 여기서 \mathrm T_xM은 M의 x에서의 접공간이다.

\mathrm T_xf가 전사 함수라면, f를 x에서의 '''침몰'''이라고 하며, x를 f의 '''정칙점'''(regular point영어)이라고 한다. 만약 f가 모든 x\in M에서 침몰이라면, f를 단순히 '''침몰'''이라고 한다.[1][4]

반대로, \mathrm T_xf가 단사 함수라면 f를 '''몰입'''이라고 한다.

f의 정칙점은 \mathrm T_xf가 전사인 점 x \in M이며, 임계점은 정칙점이 아닌 점이다. f의 정칙값은 원상 f^{-1}(q)에 있는 모든 점이 정칙점인 q\in N이다.[1]

일부 저자는 p에서 f의 야코비 행렬의 계수가 최대가 아닌 점을 설명하기 위해 '임계점'이라는 용어를 사용하기도 한다.[2][5]

3. 성질

m차원 매끄러운 다양체 M과 n차원 매끄러운 다양체 N 사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수 f\colon M\to N가 존재할 필요 조건은 m \ge n인 것이다.

3. 1. 정칙값 정리 (침몰 정리)

매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to N의 정칙값 y\in N에 대하여, f^{-1}\{y\}\subseteq M은 매끄러운 다양체를 이룬다.[1]

f\colon M\to N을 미분 가능 다양체인 ''M''과 ''N'' 사이의 미분 가능한 사상이라고 하자. p\in M에서 사상의 미분

:Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N

가 전사 함수 선형 사상이면, p는 사상 f의 '''정칙점'''이라고 부르며, 그렇지 않은 경우 p는 임계점이라고 한다.[2] 점 q\in N이 f의 '''정칙값'''이란, 원상 f^{-1}(q)에 있는 모든 점 p가 정칙점일 때를 말한다.

미분 가능한 사상 f가 각 점 p\in M에서 계수가 N의 차원과 같은 상수 계수를 가지면, f는 침몰(submersion)이다.

가변 맵 f\colon M\to N 아래에서 정규 값 q의 M에서의 전체 역상 f^{-1}(q)는 비어 있거나 비연결일 수 있는 차원 \dim M - \dim N의 미분 가능한 다양체이다. 이것이 '''정칙값 정리'''('''침몰 정리'''라고도 함)의 내용이다.

이 정리는 역함수 정리의 결과이다.

3. 2. 국소 정규 형식

침몰 정리(submersion theorem영어)에 따르면, 매끄러운 사상 f\colon M\to N의 정칙점 x\in M에 대해, x와 f(x) 주변에 적절한 국소 좌표계를 선택하면 f를 사영 함수 형태로 표현할 수 있다.[1] 즉, f를 국소적으로 보면, ℝm에서 ℝn으로의 표준적인 사영 함수와 같아진다.

좀 더 구체적으로 설명하면, m차원 매끄러운 다양체 M과 n차원 매끄러운 다양체 N 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to N의 정칙점 x\in M이 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는

  • 열린 근방 U\ni x
  • 열린 근방 V\ni f(x)
  • 국소 좌표계 (정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) \phi\colon U\to \mathbb R^m
  • 국소 좌표계 (정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) \chi\colon V\to \mathbb R^n


가 항상 존재한다.

:\chi\circ f\circ\phi^{-1} = \pi_{m,n}\restriction \phi(U)

여기서

  • \pi_{m,n} \colon\mathbb R^{m-n}\times\mathbb R^n\twoheadrightarrow\mathbb R^n은 사영 함수이다.


이것은 M에서 p의 열린 근방 U와 N에서 f(p) = q인 q의 열린 근방 V, 그리고 p$에서 (x_1, \ldots, x_m) 및 q에서 (x_1, \ldots, x_n)인 국소 좌표가 존재하여 f(U) = V이고, 이러한 국소 좌표에서 사상 f는 표준적 사영

:f(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) = (x_1, \ldots, x_n)

이 됨을 의미한다.

4. 예


  • 임의의 두 매끄러운 다양체 M, N에 대한 사영 함수 \pi \colon M\times N\twoheadrightarrow N은 침몰이다.
  • 매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M은 침몰이다.
  • 국소 미분 동형 사상은 침몰이다.
  • 리만 부분 다양체는 침몰이다.
  • 더 높은 차원의 구 사이의 함수 f:S^{n+k} \to S^k (올의 차원이 n)는 침몰의 예시이다.
  • 올이 매끄러운 대수다양체인 대수다양체의 가족 \pi:\mathfrak{X} \to S는 침몰의 예시이다. (예: 타원 곡선의 바이어슈트라스족)

5. 위상다양체의 침몰

위상 다양체에 대해서도 침몰은 잘 정의되어 있다.[3] 위상다양체의 침몰은 연속인 전사 함수 ''f'' : ''M'' → ''N''으로, 모든 ''M''의 점 ''p''에 대해 ''p''에서 연속적인 차트 ψ와 ''f(p)''에서 연속적인 차트 φ가 존재하여 사상 ψ-1 ∘ f ∘ φ가 '''R'''''m''에서 '''R'''''n''으로의 사영 사상과 같다. 여기서 ''m'' = dim(''M'') ≥ ''n'' = dim(''N'')이다.[6]

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적
[7] 서적
[2] 서적
[3] 서적
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적
[7] 서적
[8] 서적
[9] 서적
[10] 서적
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