크누센 확산

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1. 개요
2. 수학적 설명
3. 크누센 자기 확산
참조

1. 개요

크누센 확산은 기체 분자가 기공 벽과 충돌할 가능성이 높아 다른 분자와의 충돌보다 우세해지는 현상으로, 기체 운동론에서 파생된 자기 확산 계수를 통해 설명된다. 크누센 확산 계수는 기공 직경, 분자 종의 몰 질량, 온도에 따라 달라지며, 피크의 제1 확산 법칙을 따른다. 저압 및 작은 기공 직경에서 중요하며, 크누센 확산과 분자 확산이 모두 고려되어야 하는 경우 유효 확산 계수를 계산할 수 있다. 크누센 확산 영역에서는 분자들이 서로 상호 작용하지 않고 기공 채널 표면 사이를 직선으로 이동하며, 자체 확산도는 개별 분자의 병진 이동성을 측정하는 척도이다.

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크누센 확산
개요
정의	기체의 확산 현상 중 하나로, 평균 자유 경로보다 작은 공간에서 일어나는 현상
조건	<< (: 관의 지름, : 평균 자유 경로) 기체 분자 간의 충돌 무시 가능
특징	분자는 벽에 부딪혀 무작위로 움직임 일반적인 확산과는 다른 양상
설명
현상	작은 구멍이나 좁은 통로를 통과하는 기체 분자의 움직임
관련 변수	관의 지름 (), 평균 자유 경로 ()
중요성	작은 공간에서의 기체 이동을 이해하는 데 중요
활용
응용 분야	기체 분리 촉매 반응 다공성 물질 연구
참고 자료
참고 문헌	Transport in Small Pores

2. 수학적 설명

기체 운동론에서 유도된 자기 확산 계수를 바탕으로 크누센 확산의 확산 계수를 설명할 수 있다.^[2] 크누센 확산에서는 분자가 다른 분자와 충돌하기보다는 기공 벽과 충돌할 가능성이 더 높기 때문에, 평균 자유 경로 대신 기공 지름을 사용한다. 크누센 확산과 분자 확산이 모두 중요한 경우에는 유효 확산 계수를 고려해야 한다.^[3]

2. 1. 크누센 확산 계수

기체 운동론에서 파생된 자기 확산 계수로부터 크누센 확산에 대한 확산 계수를 얻을 수 있다.^[2] 크누센 확산의 경우, 평균 자유 경로 λ는 기공 직경

d

로 대체되는데, 이는 종 ''A''가 다른 분자와 충돌하는 것보다 기공 벽과 충돌할 가능성이 더 높기 때문이다. 따라서 확산 종 ''A''에 대한 크누센 확산 계수

D_{KA}

는 다음과 같다.

:

{D_{KA}} = {d u\over {3}} = {d\over{3}} \sqrt}

여기서

R

은 기체 상수(8.3144 J/(mol·K)), 몰 질량

M_{A}

는 kg/mol 단위, 온도 ''T''는 켈빈 단위이다. 크누센 확산 계수

D_{KA}

는 기공 직경, 종의 몰 질량 및 온도에 따라 달라진다.

분자 플럭스로 표현하면, 크누센 확산은 피크의 제1 확산 법칙을 따른다.

:

J_K = \nabla n D_{KA}

여기서

J_K

는 mol/m²·s 단위의 분자 플럭스,

n

은

\rm mol/m^3

단위의 몰 농도이다. 확산 플럭스는 농도 기울기에 의해 발생하며, 대부분 압력 기울기로 구체화된다(''즉''

n=P/RT

이므로

\nabla n=\frac{\Delta P}{RTl}

, 여기서

\Delta P

는 기공 양쪽의 압력 차이,

l

은 기공의 길이).

\Delta P

가 시스템의 평균 절대 압력

P_{\rm ave}

보다 훨씬 작다면(''즉''

\Delta P \ll P_{\rm ave}

), 크누센 플럭스는 부피 유량으로 표현할 수 있다.

:

Q_K=\frac{\Delta Pd^3}{6lP_{\rm ave}} \sqrt{\frac{2\pi RT}{M_A}}

여기서

Q_K

는

\rm m^3/s

단위의 부피 유량이다. 기공이 짧으면, 입구 효과가 순 플럭스를 감소시킬 수 있다. 이 경우, 유출의 법칙을 사용하여 유효 길이

l_{\rm e}=l+\tfrac{4}{3}d

를

l

대신 대입하여 입구 효과로 인한 저항을 계산할 수 있다.

일반적으로 크누센 과정은 저압 및 작은 기공 직경에서만 중요하다. 그러나 크누센 확산과 분자 확산

D_{AB}

이 모두 중요한 경우가 있을 수 있다. ''A''와 ''B''의 이진 혼합물에서 종 ''A''의 유효 확산 계수

D_{Ae}

는 다음으로 결정된다.

:

\frac{1}{D_{Ae}}=\frac{1-\alpha y_{a}}{D_{AB}}+\frac{1}{D_{KA}}

여기서

\alpha = 1 + \tfrac{N_{B}}{N_{A}}

이고

{N}_{i}

는 성분 ''i''의 플럭스이다. α = 0인 경우(

N_{A} = -N_{B}

, 즉, 역류 확산)^[3] 또는

y_{A}

가 0에 가까운 경우, 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:

\frac{1}{D_{Ae}}=\frac{1}{D_{AB}}+\frac{1}{D_{KA}}

2. 2. 크누센 플럭스

크누센 확산에 대한 확산 계수는 기체 운동론에서 파생된 자기 확산 계수로부터 얻어진다.^[2] 분자 플럭스로 표현하면, 크누센 확산은 피크의 제1 확산 법칙을 따른다.

:

J_K = \nabla n D_{KA}

여기서

J_K

는 mol/m²·s 단위의 분자 플럭스이고,

n

은

\rm mol/m^3

단위의 몰 농도이다. 확산 플럭스는 농도 기울기에 의해 발생하며, 대부분의 경우 압력 기울기로 구체화된다(''즉''

n=P/RT

이므로

\nabla n=\frac{\Delta P}{RTl}

, 여기서

\Delta P

는 기공 양쪽의 압력 차이이고

l

은 기공의 길이이다).

만약

\Delta P

가 시스템의 평균 절대 압력

P_{\rm ave}

보다 훨씬 작다고 가정하면(''즉''

\Delta P \ll P_{\rm ave}

), 크누센 플럭스를 부피 유량으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Q_K=\frac{\Delta Pd^3}{6lP_{\rm ave}} \sqrt{\frac{2\pi RT}{M_A}}

여기서

Q_K

는

\rm m^3/s

단위의 부피 유량이다. 기공이 비교적 짧으면, 입구 효과가 기공을 통한 순 플럭스를 상당히 감소시킬 수 있다. 이 경우, 유출의 법칙을 사용하여 유효 길이

l_{\rm e}=l+\tfrac{4}{3}d

를

l

대신 대입하여 입구 효과로 인한 과도한 저항을 쉽게 계산할 수 있다.

2. 3. 입구 효과

기공이 비교적 짧으면, 입구 효과로 인해 기공을 통과하는 순 플럭스가 상당히 감소할 수 있다. 이 경우 유출의 법칙을 이용하여 유효 길이

l_{\rm e}=l+\tfrac{4}{3}d

를

l

대신 대입하면, 입구 효과로 인한 추가적인 저항을 쉽게 계산할 수 있다.^[2]

2. 4. 유효 확산 계수

크누센 확산과 분자 확산(

D_{AB}

)이 모두 중요한 경우, 유효 확산 계수(

D_{Ae}

)를 고려해야 한다. 종 ''A''와 ''B''의 이진 혼합물에서 종 ''A''의 유효 확산 계수

D_{Ae}

는 다음과 같이 결정된다.^[3]

:

\frac{1}}=\frac{1-\alpha }}+\frac{1}}

여기서

\alpha = 1 + \tfrac}}

이고

{N}_{i}

는 성분 ''i''의 플럭스이다. α = 0인 경우(

N_{A} = -N_{B}

, 즉, 역류 확산) 또는

y_{A}

가 0에 가까운 경우, 위 식은 다음과 같이 단순화된다.

:

\frac{1}}=\frac{1}}+\frac{1}}

3. 크누센 자기 확산

크누센 확산 영역에서는 분자들이 서로 상호 작용하지 않으므로, 기공 채널 표면의 지점 사이에서 직선으로 이동한다. 자체 확산도는 개별 분자의 병진 이동성을 측정하는 척도이다. 열역학적 평형 조건에서 분자에 태그를 지정하고 오랜 시간 동안 그 궤적을 추적한다. 움직임이 확산적이고 장거리 상관 관계가 없는 매질에서 분자가 원래 위치에서 제곱 변위는 결국 시간에 따라 선형적으로 증가한다(아인슈타인의 방정식). 시뮬레이션에서 통계적 오류를 줄이기 위해 종의 자체 확산도 $D_{S}$ 는 충분히 많은 분자 수 ''N''에 대해 앙상블 평균 아인슈타인 방정식을 사용하여 정의된다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 Transport in Small Pores http://sinnott.mse.u[...] 2009-10-20
_[2] 서적 Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer John Wiley and Sons
_[3] 서적 Mass transfer in heterogeneous catalysis https://www.worldcat[...] M.I.T. Press 1969
_[4] 웹사이트 Knudsen Self- and Fickian Diffusion in Rough Nanoporous Media http://www.uni-leipz[...]

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