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크룰 높이 정리

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목차

1. 개요

크룰 높이 정리는 가환 뇌터 환에서 행렬의 소행렬식으로 생성된 아이디얼의 높이에 대한 정리이다. 이 정리에 따르면, m x n 행렬의 k x k 소행렬식으로 생성된 아이디얼의 높이는 (m-k+1)(n-k+1) 이하이다. 특히, n=k=1인 경우, m개의 원소로 생성되는 아이디얼의 높이는 m 이하이며, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하이다. 크룰 높이 정리는 1928년 볼프강 크룰에 의해 주 아이디얼 정리가 증명되었고, 1961년 존 얼론조 이건에 의해 소행렬식에 대해 일반화되었다.

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크룰 높이 정리
개요
유형가환대수학 정리
분야가환대수학
명칭
다른 이름크룰의 주 아이디얼 정리
크룰의 단항 아이디얼 정리
크룰 높이 정리
영어 이름Krull's principal ideal theorem, Krull's Hauptidealsatz
내용
설명가환환에서 생성원이 n개인 아이디얼의 높이는 n보다 작거나 같다. 특히, 주 아이디얼의 높이는 1보다 작거나 같다.

2. 정의

가환 뇌터 환 R과 자연수 m,n\in\mathbb N 및 0\le k\le\min\{m,n\}, 그리고 R 성분의 m\times n 행렬 M\in\operatorname{Mat}(m,n;R)이 주어졌다고 하자. M은 \textstyle\binom mk\binom nk개의 k\times k 소행렬식(minor영어)들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 R-아이디얼이 R 전체가 아니라면, 그 높이는 (m-k+1)(n-k+1) 이하이다.

2. 1. 주요 경우

n=k=1인 경우, m개의 원소로 생성되는 아이디얼 (r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R의 높이는 n 이하이다.

:\operatorname{ht}(r_1,\dots,r_n)\le\{0,1,\dots,n\}\qquad\left((r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R\right)

반대로, 높이가 n인 소 아이디얼은 n개의 원소로 생성될 수 있다.

m=n=k=1을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.

:\operatorname{ht}(r)\in\{-\infty,0,1\}\qquad(r\not\in R^\times)

2. 2. 크룰 정역의 경우

크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. 그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우에는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.[2]

3. 증명

크룰 높이 정리는 주 아이디얼 정리에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다. 자세한 증명 과정은 영어 위키백과 문서를 참고할 수 있다.

3. 1. 주 아이디얼 정리의 증명

A를 노에터 링, ''x''를 그 원소, \mathfrak{p}를 ''x'' 위의 최소 소수라고 하자. A를 국소화 A_\mathfrak{p}로 대체하면, A가 극대 아이디얼 \mathfrak{p}를 갖는 국소 링이라고 가정할 수 있다. \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}를 엄격하게 작은 소수 아이디얼로 놓고, \mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^n A_{\mathfrak{q}} \cap A로 두자. 이것은 \mathfrak{q}-일차 아이디얼이며 \mathfrak{q}의 ''n''번째 기호적 거듭제곱이라고 한다. 이것은 아이디얼의 감소하는 체인 A \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{q}^{(2)} \supset \mathfrak{q}^{(3)} \supset \cdots을 형성한다. 따라서 링 \overline{A} = A/(x)에서 아이디얼의 감소하는 체인 \mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x)가 존재한다.

이제, 근 \sqrt{(x)}는 x를 포함하는 모든 최소 소수 아이디얼의 교집합이다. \mathfrak{p}는 그들 중 하나이다. 그러나 \mathfrak{p}는 유일한 극대 아이디얼이므로 \sqrt{(x)} = \mathfrak{p}이다. (x)가 그 근의 어떤 거듭제곱을 포함하므로, \overline{A}는 아르틴 링이고, 따라서 체인 \mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x)는 안정화되며, \mathfrak{q}^{(n)} + (x) = \mathfrak{q}^{(n+1)} + (x)를 만족하는 어떤 ''n''이 존재한다. 이것은 다음을 의미한다.

:\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} + x \, \mathfrak{q}^{(n)}

\mathfrak{q}^{(n)}이 \mathfrak{q}-일차라는 사실로부터 (만약 y가 \mathfrak{q}^{(n)}에 있다면, y = z + ax이고 z \in \mathfrak{q}^{(n+1)}, a \in A이다. \mathfrak{p}가 x에 대해 최소이므로, x \not\in \mathfrak{q}이고, 따라서 ax \in \mathfrak{q}^{(n)}은 a가 \mathfrak{q}^{(n)}에 있음을 의미한다.) 이제, 양변을 \mathfrak{q}^{(n+1)}로 나눔으로써 \mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = (x)\mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)}을 얻는다. 그러면, 나카야마 보조정리에 의해, M = \mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = 0을 얻는다; 즉, \mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)}이고, 따라서 \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^{n+1} A_{\mathfrak{q}}이다. 다시 나카야마 보조정리를 사용하면, \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = 0이고 A_{\mathfrak{q}}는 아르틴 링이다; 따라서, \mathfrak{q}의 높이는 0이다.

3. 2. 높이 정리의 증명

크룰 높이 정리는 원리 아이디얼 정리에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다. x_1, \dots, x_n을 A의 원소, \mathfrak{p}를 (x_1, \dots, x_n) 위의 최소 소 아이디얼, \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}를 그 사이에 엄격하게 포함되는 소 아이디얼이 없는 소 아이디얼이라고 하자. A를 국소화 A_{\mathfrak{p}}로 대체하여 (A, \mathfrak{p})가 국소환이라고 가정할 수 있다. 그러면 \mathfrak{p} = \sqrt{(x_1, \dots, x_n)}임을 알 수 있다. \mathfrak{p}의 최소성에 의해, \mathfrak{q}는 모든 x_i를 포함할 수 없다. 아래첨자를 다시 매겨 x_1 \not\in \mathfrak{q}라고 하자. \mathfrak{q} + (x_1)을 포함하는 모든 소 아이디얼은 \mathfrak{q}와 \mathfrak{p} 사이에 있으므로, \sqrt{\mathfrak{q} + (x_1)} = \mathfrak{p}이며, 따라서 각 i \ge 2에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:x_i^{r_i} = y_i + a_i x_1

여기서 y_i \in \mathfrak{q}이고 a_i \in A이다. 이제 환 \overline{A} = A/(y_2, \dots, y_n)과 그 안의 대응하는 사슬 \overline{\mathfrak{q}} \subset \overline{\mathfrak{p}}을 고려하자. \overline{\mathfrak{r}}이 \overline{x_1} 위의 최소 소 아이디얼이면, \mathfrak{r}은 x_1, x_2^{r_2}, \dots, x_n^{r_n}을 포함하며, 따라서 \mathfrak{r} = \mathfrak{p}이다. 즉, \overline{\mathfrak{p}}는 \overline{x_1} 위의 최소 소 아이디얼이며, 따라서 크룰의 원리 아이디얼 정리에 의해 \overline{\mathfrak{q}}는 최소 소 아이디얼(0 위)이다. \mathfrak{q}는 (y_2, \dots, y_n) 위의 최소 소 아이디얼이다. 귀납적 가설에 의해, \operatorname{ht}(\mathfrak{q}) \le n-1이며, 따라서 \operatorname{ht}(\mathfrak{p}) \le n이다. \square

4. 일반화

뇌터 환에서 ''r''개의 원소로 생성되는 아이디얼의 극소 소인자의 높이는 기껏해야 ''r''이다.[1]

5. 역사

볼프강 크룰이 1928년에 m=n=k=1인 경우(주 아이디얼 정리)를 증명하였다.[3]

1961년에 존 얼론조 이건(John Alonzo Eagon)이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.[4]

참조

[1] 서적
[2] 저널 On the generalized principal ideal theorem and Krull domains http://projecteuclid[...] 1990
[3] 저널 Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen 1928-12-01
[4] 서적 Ideals generated by the subdeterminants of a matrix 시카고 대학교 1961


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