하르톡스 수

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1. 개요
2. 정의
3. 하르톡스 정리
- 3.1. 증명
4. 성질
5. 예
6. 역사
참조

1. 개요

하르톡스 수는 집합 X의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이며, 하르톡스 정리에 따르면 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 하르톡스 정리는 임의의 집합 X에 대해 |α| ≤ |X|를 만족하는 서수 α가 존재한다는 것을 의미하며, 이는 α에서 X로의 단사 함수가 존재하지 않음을 나타낸다. 자연수 n의 경우 하르톡스 수는 n+1이며, 독일 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명했다.

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하르톡스 수
개요
종류	기수
분야	집합론
이름의 유래	프리츠 하르톡스의 이름에서 유래
정의
정의	주어진 집합 $X$에 대해, $X$의 모든 정렬 가능 부분집합과 순서형태를 포함하는 가장 작은 순서수
표기
표기	$leph(X)$ 또는 $X$
속성
속성	$leph(X)$는 $X$로 정렬 가능한 모든 집합의 순서형태를 포함하는 가장 작은 순서수
추가 속성	$leph(X)$는 $X$로 정렬 가능한 모든 집합의 순서형태를 포함하는 가장 작은 순서수 선택 공리가 참인 경우, $leph(X)$는 $X$의 기수보다 엄격히 큼
활용
활용	집합의 기수를 연구하는 데 사용 선택 공리의 독립성을 증명하는 데 사용
선택 공리와 관계	선택 공리가 참일 때, $leph(X)$는 $X$의 기수보다 엄격히 큼
참고
참고	하르톡스 수는 선택 공리가 거짓일 경우에도 유용 선택 공리를 가정하면, 모든 기수에 대해 하르톡스 수를 정의할 필요가 없음

2. 정의

집합 $X$ 의 '''하르톡스 수''' $\operatorname h(X)$ 는 $X$ 의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다. 즉, 단사 함수 $\alpha\to X$ 가 존재하지 않는 최소의 순서수 $\alpha$ 이다.

'''하르톡스 정리'''(Hartogs定理, Hartogs’ theorem^영어)에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다.

임의의 집합 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

: $W=\{(Y,\le)\colon Y\subseteq X,\;{\le}\in\operatorname{WellOrder}(Y)\}$

를 생각하자. $W\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X\times X)$ 이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 $\beta$ 의 크기가 $|X|$ 이하일 필요충분조건은 어떤 $(Y,\le)\in W$ 와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

: $\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon|\beta|\le|X|\}$

역시 집합이다. 이제, $\alpha$ 가 $X$ 의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\alpha$ 는 순서수
* $\alpha\subseteq\operatorname{Ord}$ 이므로, $\alpha$ 가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 $\beta\in\alpha$ 이며 $\gamma\in\beta$ 라면, 단사 함수 $f\colon\beta\to X$ 가 존재하는데, 이를 $\gamma$ 로 제한하면 단사 함수 $f\restriction\gamma\colon\gamma\to X$ 를 얻는다. 따라서 $\gamma\in\alpha$ 이다.
$|\alpha|>|X|$
* 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) $\alpha\not\in\alpha$ 이다. 즉, $|\alpha|\le|X|$ 일 수 없다.
$\alpha$ 의 최소성
* $\alpha$ 의 정의에 따라, $\alpha$ 보다 작은 순서수들의 크기는 $|X|$ 이하이다. 즉, $X$ 의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.

하르토그 정리(Hartogs's theorem)는 임의의 집합 ''X''에 대해

|\alpha| \not \le |X|

를 만족하는 서수 α가 존재한다고 명시한다. 즉, α에서 ''X''로의 단사 함수가 존재하지 않는다는 것이다. 서수는 정렬되어 있으므로, 이는 즉시 임의의 집합 ''X''에 대한 하르토그 수의 존재를 함축한다. 또한, 증명은 구성적이며 ''X''의 하르토그 수를 생성한다.

3. 하르톡스 정리

하르토그 정리(Hartogs's theorem)에 따르면, 임의의 집합 ''X''에 대해 $|\alpha| \not \le |X|$ 를 만족하는 서수 α가 존재한다. 즉, α에서 ''X''로의 단사 함수가 존재하지 않는다는 것이다. 서수는 정렬되어 있으므로, 이는 즉시 임의의 집합 ''X''에 대한 하르톡스 수의 존재를 함축한다. 또한, 증명은 구성적이며 ''X''의 하르톡스 수를 생성한다.

==== 증명 ====

$\alpha = \{\beta \in \textrm{Ord} \mid \exists i: \beta \hookrightarrow X\}$ 를 ''X''에 대한 순서수 ''β''에서 단사 함수가 존재하는 모든 순서수의 집합이라고 하자.

먼저, ''α''가 집합임을 확인한다.

# ''X'' × ''X''는 멱집합 공리에서 알 수 있듯이 집합이다.

# ''X'' × ''X''의 멱집합은 멱집합 공리에 의해 집합이다.

# ''X''의 부분 집합에 대한 모든 반사적 정렬 관계의 집합 ''W''는 앞선 집합의 정의 가능한 부분 집합이므로, 분리 공리 체계에 의해 집합이다.

# ''W''의 정렬 관계의 모든 순서형의 집합은 대체 공리 체계에 의해 집합이다.

그러나 이 마지막 집합은 정확히 ''α''이다. 이제, 순서수의 추이적 집합은 다시 순서수이므로, ''α''는 순서수이다. 또한, ''α''에서 ''X''로의 단사가 없는데, 만약 있다면 ''α'' ∈ ''α''라는 모순이 발생하기 때문이다. 그리고 마지막으로, ''α''는 ''X''에 대한 단사가 없는 가장 작은 순서수이다. 이는 ''α''가 순서수이므로, 모든 ''β'' < ''α''에 대해 ''β'' ∈ ''α''이므로 ''β''에서 ''X''로의 단사가 존재하기 때문이다.

집합론의 몇 가지 기본 정리 하에서, 증명은 간단히 할 수 있다. 이제 $\alpha = \{\beta \in \textrm{Ord}| \exists i: \beta \hookrightarrow X\}$ 를 정의한다(단, 여기서 $\textrm{Ord}$ 는 순서수 전체의 클래스를 나타낸다).

''W''의 정렬 순서의 모든 순서형의 클래스는, 치환 공리에 의해 집합이다. 실제로,

:(Domain(''w''), ''w'') $\cong$ (β, ≤)

이 마지막에 나타난 집합이 α이다. 순서수의 추이적 집합은 또한 순서수이므로, α는 순서수이다. 게다가 α에서 ''X''로의 단사가 존재한다면, α ∈ α라는 모순을 얻을 수 있다. 따라서 α는 ''X''로의 단사가 존재하지 않는 최소의 순서수라고 할 수 있다.

3. 1. 증명

골드레이(Goldrei, 1996) 참조.

\alpha = \{\beta \in \textrm{Ord} \mid \exists i: \beta \hookrightarrow X\}

를 ''X''에 대한 순서수 ''β''에서 단사 함수가 존재하는 모든 순서수의 집합이라고 하자.

먼저, ''α''가 집합임을 확인한다.

# ''X'' × ''X''는 멱집합 공리에서 알 수 있듯이 집합이다.

# ''X'' × ''X''의 멱집합은 멱집합 공리에 의해 집합이다.

# ''X''의 부분 집합에 대한 모든 반사적 정렬 관계의 집합 ''W''는 앞선 집합의 정의 가능한 부분 집합이므로, 분리 공리 체계에 의해 집합이다.

# ''W''의 정렬 관계의 모든 순서형의 집합은 대체 공리 체계에 의해 집합이다.

그러나 이 마지막 집합은 정확히 ''α''이다. 이제, 순서수의 추이적 집합은 다시 순서수이므로, ''α''는 순서수이다. 또한, ''α''에서 ''X''로의 단사가 없는데, 만약 있다면 ''α'' ∈ ''α''라는 모순이 발생하기 때문이다. 그리고 마지막으로, ''α''는 ''X''에 대한 단사가 없는 가장 작은 순서수이다. 이는 ''α''가 순서수이므로, 모든 ''β'' < ''α''에 대해 ''β'' ∈ ''α''이므로 ''β''에서 ''X''로의 단사가 존재하기 때문이다.

집합론의 몇 가지 기본 정리 하에서, 증명은 간단히 할 수 있다. 이제

\alpha = \{\beta \in \textrm{Ord}| \exists i: \beta \hookrightarrow X\}

를 정의한다(단, 여기서

\textrm{Ord}

는 순서수 전체의 클래스를 나타낸다).

''W''의 정렬 순서의 모든 순서형의 클래스는, 치환 공리에 의해 집합이다. 실제로,

:(Domain(''w''), ''w'')

\cong

(β, ≤)

이 마지막에 나타난 집합이 α이다. 순서수의 추이적 집합은 또한 순서수이므로, α는 순서수이다. 게다가 α에서 ''X''로의 단사가 존재한다면, α ∈ α라는 모순을 얻을 수 있다. 따라서 α는 ''X''로의 단사가 존재하지 않는 최소의 순서수라고 할 수 있다.

4. 성질

하르톡스 수는 기수이다.^[1] 즉, 임의의 순서수 α < \operatorname h(X)에 대하여, α와 \operatorname h(X)의 크기는 서로 다르다.

5. 예

자연수 $n$ 에 대하여, $\operatorname h(n)=n+1$ 이다.^[1]

6. 역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다. 1915년, 하르톡스는 폰 노이만 서수도, 치환 공리도 사용할 수 없었기에 그의 결과는 체르멜로 집합론의 일부였으며 현대적인 설명과는 상당히 달랐다. 하르톡스는 ''X''의 정렬된 부분 집합의 동형 사상 클래스 집합과, ''A''의 클래스가 ''B''의 적절한 초기 세그먼트와 동형일 경우 ''A''의 클래스가 ''B''의 클래스보다 앞선다는 관계를 고려하여, 이것이 ''X''의 어떤 정렬된 부분 집합보다 큰 정렬임을 증명했다. 그의 주된 목적은 기수 간의 삼분법이 정렬 정리 (그리고, 따라서 선택 공리)를 함축한다는 것을 보여주는 것이었다.

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