하르톡스 확장정리

3. 하르톡스 현상

하르톡스 확장 정리는 1변수에서는 성립하지 않는다. C/\{0\}에서 C로 가는 함수 f(z)/f(z)^영어 := 1/z 를 생각하자. \{0\}은 C에서 콤팩트 집합이고 C/\{0\}은 연결 집합이며 f(z)/f(z)^영어는 정칙 함수이므로 이 함수는 하르톡스 확장 정리의 조건을 만족한다. 그러나 이 함수는 C로 확장 불가능하다. 이처럼 하르톡스 확장 정리가 성립하는 것은 일변수에서 성립하지 않는 다변수에서만의 현상인데, 이를 일컬어 '''하르톡스 현상'''(Hartogs’ phenomenon)이라고 한다.

예를 들어, 두 변수의 경우 내부 영역

:

를 2차원 다원판 에서 고려해 보자. 여기서 이다.

:$H\_\backslash varepsilon$에서 정의된 모든 정칙 함수 $f$는 $\backslash Delta^2$로 해석적 연장이 가능하다. 즉, $\backslash Delta^2$에서 $F=f$인 정칙 함수 $F$가 존재한다.

이러한 현상을 '''하르톡스 현상'''이라고 하며, 이는 하르톡스 연장 정리와 정칙 영역의 개념으로 이어진다.

일변수에서는 성립하지만 다변수에서는 성립하지 않는 현상을 '''하르톡스 현상'''(Hartogs' phenomenon)이라고 한다. 이 현상은, 이 하르톡스 확장 정리와 정칙 영역의 개념, 나아가 다변수 복소함수론의 발전을 이끌었다.

2변수의 경우를 예로 들어, 로 하고, 이중 원판 의 내부 영역

:

를 생각한다.

:$H\_\backslash varepsilon$ 상의 임의의 정칙 함수 $f$는 $\backslash Delta^2$로 해석 확장된다. 즉, $\backslash Delta^2$ 상의 정칙 함수 $F$가 존재하여, $H\_\backslash varepsilon$ 상에서 $F=f$가 된다.

실제로, 코시 적분 공식을 사용하여 확장된 함수 $F$를 얻을 수 있다. 모든 정칙 함수는 다중 원판으로 해석 확장될 수 있으며, 다중 원판은 원래 정칙 함수가 정의된 영역보다 진정으로 넓어진다. 이러한 현상은 일변수에서는 결코 일어나지 않는 현상이다.

하르톡스 확장 정리는 1}}일 때 성립하지 않는다. 차원 1에서 이 정리가 성립하지 않음을 보이기 위해서는 함수 z⁻¹}}을 생각하면 충분하다. 이 함수는 분명히 } 안에서는 정칙이지만, 전체에서 정칙 함수로서 연속이 아니다. 이처럼 한 변수 함수론과 다변수 함수론 사이의 차이가 나타나는 것이 하르톡스 현상의 특징이다.

3. 1. 1변수 함수론에서의 반례

3. 2. 다변수 함수론에서의 예시

4. 역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 1906년에 하르톡스 확정정리를 증명하였다.^[16] 원래 증명은 여러 복소변수의 함수에 대한 코시 적분 공식을 사용했다.^[1] 오늘날 일반적인 증명은 보흐너-마르티넬리-코펠만 공식 또는 콤팩트 지지를 갖는 비동차 코시-리만 방정식의 해에 의존한다.

레온 에렌프라이스는 코시-리만 방정식을 이용한 접근 방식을 도입했다.^[1] 가에타노 피케라는 여러 변수의 정칙 함수에 대한 디리클레 문제의 해와 CR-함수의 개념을 사용하여 또 다른 증명을 제시했다.^[5] 이후 피케라는 이 정리를 특정 부류의 편미분 연산자로 확장했으며, 그의 아이디어는 줄리아노 브라티에 의해 더 탐구되었다.^[6] 편미분 연산자 이론의 일본 학파는 에렌프라이스의 기본 원리를 사용하여 이 주제에 대해 많은 연구를 수행했으며, 아키라 카네코가 주목할 만한 기여를 했다.^[7]

5. 증명

에렌프라이스의 증명은 매끄러운 범프 함수의 존재, 정칙 함수의 유일한 연속성, 그리고 푸앵카레 보조정리에 기반한다.^[8] 푸앵카레 보조정리는 임의의 매끄럽고 콤팩트 지지된 미분 (0,1)-형식 에 대해 에서 ''ω'' 0}}이면, 에서 ''η'' ''ω''}}인 매끄럽고 콤팩트 지지된 함수 가 존재한다는 형태로 나타난다. 이 보조정리가 타당하기 위해서는 라는 가정이 필요하다.^[8]

에 대한 표현식은 이다. 여기서 위의 매끄러운 함수 와 가 사용된다. 가 정의되지 않은 곳(즉, 에서)에서 가 0과 같다는 조건이 만족될 때 의미가 있다. 어떤 열린 집합에서 와 같은 위의 정칙 함수가 주어지면, 유일한 연속성 (의 연결성에 기반)에 의해 의 전체에서 와 같다는 것을 알 수 있다.

이 함수의 정칙성은 조건 ''v'' ''f'' ''φ''}}와 동일하다. 임의의 매끄러운 함수 에 대해, 미분 (0,1)-형식 ''φ''}}는 }}-닫혀 있다. 를 에서 0이고, 의 어떤 콤팩트 부분 집합 의 여집합에서 1과 같은 매끄러운 함수로 선택하면, 이 (0,1)-형식은 추가적으로 콤팩트 지지를 가지므로, 푸앵카레 보조정리는 적절한 콤팩트 지지의 를 식별한다. 이는 에서 정칙 함수로서 를 정의한다.

집합 에서 는 가 상수이므로 정칙 함수이다. 이것이 무한대 근처에서 0이므로, 유일한 연속성을 적용하여 의 어떤 열린 부분 집합에서 0임을 알 수 있다.^[8] 따라서, 이 열린 부분 집합에서 는 와 같으며, 하르톡스 정리의 존재 부분이 증명된다. 유일성은 의 연결성에 기반한 유일한 연속성으로부터 자동적으로 얻어진다.^[8]

5. 1. 푸앵카레 보조정리 (Poincaré lemma)

참조

_[1] 논문 1906
_[2] 서적 1966
_[3] 논문 1936
_[4] 논문 1983
_[5] 논문 1957
_[6] 논문 1986a
_[7] 논문 1973
_[8] 문서
_[9] 논문 1906
_[10] 서적 1966
_[11] 논문 1936
_[12] 논문 1983
_[13] 논문 1957
_[14] 논문 1986a
_[15] 논문 1973
_[16] 저널 http://www.digizeits[...] 1906