해바라기 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 해바라기 정리 (Sunflower Theorem)
4. 예시
5. 역사
6. 응용
7. Δ-보조정리 (Delta Lemma)
참조

1. 개요

해바라기 (수학)는 부분 순서 집합에서 정의되는 개념으로, 여러 집합의 교집합이 동일한 경우를 일컫는다. 하향 해바라기, 상향 해바라기, 집합에서의 해바라기 등 다양한 형태로 정의되며, 특히 집합 시스템에서 모든 집합이 동일한 공통 부분 집합을 공유하는 경우를 지칭한다. 해바라기 정리는 해바라기의 크기에 대한 상한과 하한을 제시하며, 조합론, 이론 전산학 등 다양한 분야에서 응용된다. 1980년 에르되시와 라도에 의해 유한 해바라기 정리가 증명되었으며, Δ-시스템 보조정리는 조합론적 집합론적 도구로 사용된다.

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해바라기 (수학)
수학적 해바라기
겹쳐진 영역(커널)이 있는 세 개의 집합으로 구성된 해바라기 예시
유형	조합론
관련 개념	델타-시스템

2. 정의

부분 순서 집합에서의 해바라기는 특정 조건을 만족하는 부분 집합을 의미한다. 만약 부분 순서 집합이 만남 반격자 (임의의 두 원소의 하한이 존재하는 집합)일 경우, '''하향 해바라기'''(downward sunflower^영어)는 그 안의 부분 집합 $A$ 중, 서로 다른 두 원소 쌍의 하한이 항상 일정한 값을 갖는 집합을 말한다.^[8] 비슷하게, 이음 반격자 (임의의 두 원소의 상한이 존재하는 집합)에서는 서로 다른 두 원소 쌍의 상한이 항상 같은 '''상향 해바라기'''(upward sunflower^영어)를 정의할 수 있다.

집합 $S$ 에 대해 이야기할 때, '''해바라기'''는 보통 멱집합 $(\mathcal P(S),\subseteq)$ 에서의 하향 해바라기를 의미한다.^[9]^[10] 즉, $S$ 의 부분 집합들로 이루어진 집합족 $\mathcal A$ 가 해바라기라는 것은, $\mathcal A$ 에 속하는 임의의 서로 다른 두 집합의 교집합이 항상 동일한 집합이 됨을 의미한다. 이 공통된 교집합을 해바라기의 '''핵'''(核, kernel, core^영어)이라고 부르며, 이는 공집합일 수도 있다.^[9]^[10] 집합론에서는 이러한 구조를 '''Δ-시스템'''(Delta-system^영어)이라고도 부른다.

2. 1. 하향 해바라기

부분 순서 집합

P

가 만남 반격자라고 가정하자. 이는

P

안의 임의의 두 원소

a, b

에 대해 그 하한

a \land b

가 항상

P

안에 존재한다는 의미이다. 이때

P

의 부분 집합

A \subseteq P

가 다음 조건을 만족하면 '''하향 해바라기'''(downward sunflower^영어)라고 부른다.^[8]

:

\forall a,b,a',b'\in A\colon (a\ne b,\;a'\ne b'\implies a\land b=a'\land b')

이 조건은

A

에서 서로 다른 두 원소를 뽑아 하한을 구하면, 어떤 쌍을 뽑든지 항상 같은 값이 나온다는 것을 의미한다. 이 경우,

A

의 모든 원소들의 하한인

\textstyle\bigwedge A

(만약 존재한다면)는

A

의 '''핵'''(核, kernel, core^영어)이라고 한다.

특별히 집합

S

에 대해 이야기할 때, '''해바라기'''는 멱집합

(\mathcal P(S),\subseteq)

을 부분 순서 집합으로 간주했을 때의 하향 해바라기를 의미한다.^[9]^[10] 즉,

S

의 부분 집합들로 이루어진 집합족

\mathcal A \subseteq \mathcal P(S)

가 해바라기라는 것은 다음 조건을 만족한다는 뜻이다.

$\mathcal A$ 에 속하는 임의의 서로 다른 두 집합 $A, B \in \mathcal A$ 와 또 다른 서로 다른 두 집합 $A', B' \in \mathcal A$ 에 대하여, 만약 $A \ne B$ 이고 $A' \ne B'$ 이라면, 그들의 교집합은 항상 같다. 즉, $A \cap B = A' \cap B'$ 이다.

2. 2. 상향 해바라기

부분 순서 집합

P

가 이음 반격자일 경우 (즉, 임의의 두 원소에 대하여 그 상한

a\lor b

이 존재할 경우), '''상향 해바라기'''(upward sunflower^영어)는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합

S\subseteq P

이다.

:

\forall a,b,a',b'\in S\colon (a\ne b,\;a'\ne b'\implies a\lor b=a'\lor b')

이는 집합

S

내의 서로 다른 임의의 두 원소 쌍(

a, b

와

a', b'

)에 대해, 그들의 상한(

a\lor b

와

a'\lor b'

)이 항상 같다는 것을 의미한다.

2. 3. 집합에서의 해바라기

집합

S

속의 '''해바라기'''란 멱집합

(\mathcal P(S),\subseteq)

에서의 특정 조건을 만족하는 부분 집합들의 모임을 의미한다.^[9]^[10] 구체적으로, 집합

S

의 부분 집합들로 이루어진 모임(집합족)

\mathcal A \subseteq \mathcal P(S)

가 다음 조건을 만족할 때 해바라기라고 한다:

모임 $\mathcal A$ 에 속하는 임의의 서로 다른 두 집합 $A, B \in \mathcal A$ 와, 또 다른 서로 다른 두 집합 $A', B' \in \mathcal A$ 에 대하여, 그들의 교집합이 항상 같다. 즉, $A \cap B = A' \cap B'$ 이다.

이때, 모든 서로 다른 두 집합 쌍의 공통된 교집합을 해바라기의 '''핵'''(核, kernel, core^영어)이라고 부른다.

집합

U

의 부분 집합들의 모임인 집합족

W

가 다음 조건을 만족하면 '''해바라기''' 또는 '''Δ-시스템'''(Delta-system^영어)이라고도 한다:

W

에 속하는 임의의 서로 다른 두 집합

A, B

의 교집합

A \cap B

가 항상 동일한 집합

S

가 된다. 이 집합

S

는 Δ-시스템의 '''핵'''이며, 공집합일 수도 있다.^[9]^[10] 예를 들어, 쌍마다 서로소인 집합들의 모임은 핵이 공집합인 해바라기(Δ-시스템)이다. 마찬가지로, 모든 집합이 동일한 원소들을 각각 포함하는 집합족 역시 자명하게 해바라기가 된다.

U

의 원소는 핵

S

에 속하거나,

W

의 집합 중 최대 하나에만 속하게 된다. 즉,

U

의 어떤 원소도

W

의 일부 집합에만 속하고 다른 집합에는 속하지 않는 경우는 없다.

Δ-시스템과 관련된 중요한 결과 중 하나는 '''Δ-시스템 보조정리'''이다. 이 보조정리는 "유한 집합들로 이루어진 임의의 비가산 집합은, 항상 비가산적인 Δ-시스템을 부분 집합으로 포함한다"는 내용을 담고 있다.

3. 성질

크기 $n$ 인 집합 $S$ 위의 해바라기 $\mathcal A\subseteq\mathcal P(S)$ 의 수는 다음과 같다.

: $2\sum_{k=0}^{n+1}k\left\{{n+1\atop k}\right\}$

여기서 $\textstyle\left\{{\bullet\atop\bullet}\right\}$ 는 제2종 스털링 수이다. 이는 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기의 수를 센 뒤, 핵을 추가하는 경우를 고려하여 2배를 한 값과 같다. 핵을 원소로 갖지 않는 해바라기의 수는 $S$ 에 새 원소를 추가한 집합의 분할을 이용하여 셀 수 있으며, 그 수는 $\sum_{k=0}^{n+1}k\left\{{n+1\atop k}\right\}$ 이다.

3. 1. 해바라기 정리 (Sunflower Theorem)

임의의 두 기수

\kappa,\lambda

에 대하여,

f(\kappa,\lambda)

를 다음 조건이 성립하는 최소의 기수

\mu

라고 정의한다. 만약 이러한

\mu

가 존재하지 않으면

f(\kappa,\lambda)=\infty

로 둔다.

임의의 집합 $S$ 및 그 부분집합으로 이루어진 집합족 $\mathcal A\subseteq\mathcal P(S)$ 에 대하여, 만약 모든 $A\in\mathcal A$ 의 크기가 $\kappa$ 보다 작고( $|A|<\kappa$ ), 집합족 $\mathcal A$ 의 크기가 $\mu$ 이상( $|\mathcal A|\ge\mu$ )이라면, 임의의 기수 $\alpha<\lambda$ 에 대하여 $\mathcal A$ 속에는 크기 $\alpha$ 의 해바라기 $\mathcal B\subseteq\mathcal A$ 가 존재한다.

f(\kappa,\lambda)

에 대해 알려진 몇 가지 성질은 다음과 같다.

''f''(''κ'', ''λ'')의 알려진 성질
조건	결과
$1\le\kappa<\aleph_0$ , $2\le\lambda<\aleph_0$	$f(\kappa,\lambda)\le(\kappa-1)!(\lambda-2)^{\kappa-1}+1$ ^[11]^[10]
$\kappa = \aleph_0$ , $\lambda = \aleph_2$	$f(\aleph_0,\aleph_2)=\aleph_1$ ^[9]
$\aleph_0\le\kappa<\theta$ , $\theta$ 는 정칙 기수, 모든 $\alpha<\theta$ 에 대해 $\|\alpha^{<\kappa}\|<\theta$	$f(\kappa,\theta^+)=\theta$ ^[9]
모든 $\kappa, \lambda$	$\lambda\le f(\kappa,\lambda)^+$ (자명: 집합족은 스스로보다 더 큰 해바라기를 포함할 수 없음)
모든 $\kappa$ , $1\le\lambda\le3$	$f(\kappa,\lambda)=\lambda-1$ (자명: 크기가 2 이하인 집합족은 항상 해바라기. $f(\kappa,0)=0$ )
$\kappa\le\kappa'$	$f(\kappa,\lambda)\le f(\kappa',\lambda)$ (자명)
$\lambda\le\lambda'$	$f(\kappa,\lambda)\le f(\kappa,\lambda')$ (자명)

이와 같이 $f(\kappa,\lambda)$ 에 대한 상계 및 하계를 다루는 결과들을 통틀어 '''해바라기 정리'''(sunflower theorem^영어)라고 부른다. 해바라기에 대한 연구는 주로 주어진 집합 시스템이 언제 해바라기를 포함하는지, 특히 집합 시스템의 크기가 충분히 커서 해바라기를 반드시 포함하게 되는 조건에 초점을 맞춘다.

구체적으로, 연구자들은 음이 아닌 정수 $k, r$ 에 대한 함수 $f(k,r)$ 을 분석한다. 이 함수는 집합 시스템 $W$ 내 모든 집합 $S \in W$ 의 크기가 최대 $k$ 일 때, $W$ 의 크기가 $n$ 이상이면 반드시 $r$ 개의 집합으로 이루어진 해바라기를 포함하게 되는 가장 작은 음이 아닌 정수 $n$ 으로 정의된다. 이러한 $n$ 이 존재한다는 사실 자체는 명백하지 않지만, 에르되시 팔과 라도 리하르트가 증명한 델타 시스템 정리(해바라기 보조정리의 귀결)는 그 존재성을 보장한다.
에르되시-라도 델타 시스템 정리: 모든 양의 정수 $k, r$ 에 대해 $f(k,r)$ 이 존재하며, 만약 $k$ -집합(크기가 $k$ 인 집합)으로 이루어진 집합 시스템 $F$ 의 크기가 $f(k,r)$ 보다 크면, $F$ 는 크기가 $r$ 인 해바라기를 포함한다.

문헌에서는 종종 $W$ 를 집합족(collection)이 아닌 집합(set)으로 가정하여 각 원소 집합이 최대 한 번만 나타나도록 한다. 또한, 더미 원소를 추가하는 방식으로 모든 집합의 크기가 정확히 $k$ 가 되도록 만들 수 있으므로, 해바라기 보조정리는 크기가 모두 같은 " $k$ -균일" 집합 시스템에 대해서만 다루어도 충분하다.

에르되시와 라도는 1960년에 다음과 같은 '''해바라기 보조정리'''를 증명했다.^[3]

: $f(k,r)\le k!(r-1)^k.$

즉, 양의 정수 $k, r$ 에 대해, 크기가 $k$ 인 집합들로 이루어진 집합 시스템 $W$ 의 크기가 $k!(r-1)^{k}$ 이상이면, $W$ 는 최소 $r$ 개의 집합으로 구성된 해바라기를 포함한다. 이 보조정리는 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.^[2]

'''해바라기 추측'''은 에르되시와 라도가 1960년에 제안한 추측의 여러 변형 중 하나로, 각 $r>2$ 에 대해 $r$ 에만 의존하는 어떤 상수 $C>0$ 가 존재하여 $f(k,r)\le C^k$ 가 성립한다는 내용이다. 이 추측은 $r=3$ 과 같이 작은 값을 고정해도 여전히 미해결 상태로 남아 있으며, 예를 들어 어떤 상수 $C>0$ 에 대해 $f(k,3)\le C^k$ 가 성립하는지조차 알려져 있지 않다.^[4] 2021년 Alweiss, Lovett, Wu, Zhang은 이 추측에 대해 $f(k,r) \le O(r^3\log(k)\log\log(k))^k$ 라는 중요한 진전을 이루었다.^[5] 이 결과 발표 직후 Rao는 경계를 $f(k,r) \le O(r\log(rk))^k$ 로 개선했으며, 현재 가장 잘 알려진 경계는 Bell, Chueluecha, Warnke에 의한 $f(k,r) \le O(r\log k)^k$ 이다.

에르되시와 라도는 $f(k,r)$ 에 대한 다음과 같은 하한도 증명했다. 이는 원래의 해바라기 보조정리가 $r$ 에 대해 최적임을 보여준다.
정리: $(r-1)^k \le f(k,r).$

이 하한은 귀납적으로 구성된 해바라기가 없는 집합족을 통해 증명할 수 있다. $k=1$ 일 때, $r-1$ 개의 서로 다른 원소로 이루어진 집합족은 해바라기가 아니다. 귀납 단계에서는 해바라기가 없는 $k-1$ 크기 집합족 $H$ 의 $r-1$ 개 복사본을 만들고, 각 복사본의 모든 집합에 서로 다른 새로운 원소를 추가하여 크기 $k$ 의 집합족 $H^*$ 를 구성한다. 이렇게 만들어진 $H^*$ 는 크기가 $(r-1)|H|$ 이며 해바라기를 포함하지 않는다.

더 강력한 하한을 제공하는 결과는 다음과 같다.
정리: $f(a+b,r) \ge (f(a,r)-1)(f(b,r)-1)$

이 정리는 해바라기가 없는 두 집합족 $F$ (크기 $a$ )와 $F^*$ (크기 $b$ )를 이용하여, $F$ 의 각 집합 $A$ 에 $F^*$ 의 모든 집합을 합집합하여 새로운 집합족을 구성하는 방식으로 증명된다. 결과적으로 얻어지는 크기 $a+b$ 의 집합족은 크기가 $|F||F^*|$ 이고 해바라기를 포함하지 않는다.

$r=3$ 인 경우, 현재까지 알려진 가장 좋은 하한은 Abott, Hansen, Sauer에 의해 증명된 $10^{\frac{k}{2}} \le f(k,3)$ 이다.^[6]^[7] 이 경계는 50년 이상 개선되지 않고 있다.

4. 예시

크기가 2 이하인 집합족은 항상 (자명하게) 해바라기이다. 짝마다 서로소 집합족(즉, 서로 다른 두 원소가 항상 서로소인 집합족)은 (핵이 공집합인) 해바라기이다.

5. 역사

1980년 에르되시 팔과 리하르트 라도가 유한 해바라기에 대한 해바라기 정리를 증명하였다.^[11] 처음 에르되시와 라도는 해바라기를 "델타 계"(Δ界, Δ-system^영어)라고 불렀다.

"해바라기"(sunflower^영어)라는 용어는 적어도 1981년부터 사용되기 시작한 것으로 보인다.^[12] 이 용어는 식물 해바라기의 꽃차례에 빗댄 것이다. 유한 해바라기의 벤 다이어그램을 대칭적으로 그리면 꽃과 비슷한 모양이 되기 때문이다. 구체적으로 해바라기의 꽃차례는 중심의 작은 관꽃들과 이를 둘러싼 노란 혀꽃들(흔히 "꽃잎"으로 불림)로 이루어져 있는데, 이 비유에서 수학적 해바라기의 핵은 관꽃들의 집합에 해당하고, 해바라기의 각 원소(집합)는 모든 관꽃들의 집합과 하나의 혀꽃으로 구성된 것에 비유할 수 있다.

해바라기 연구는 주로 어떤 조건에서 집합 시스템이 해바라기를 포함하는지, 특히 집합 시스템의 크기가 충분히 클 때 해바라기를 반드시 포함하는지에 초점을 맞춘다. 연구자들은 음이 아닌 정수

k, r

에 대한 함수

f(k,r)

을 분석하는데, 이는 집합 시스템

W

내 모든 집합

S

의 크기가 최대

k

일 때,

W

가

n

개 이상의 집합을 가지면 반드시

r

개의 집합으로 이루어진 해바라기를 포함하게 되는 가장 작은 음이 아닌 정수

n

을 찾는 문제와 관련된다. 이러한

n

의 존재 자체는 에르되시 팔과 리하르트 라도가 증명한 델타 시스템 정리(해바라기 보조정리의 따름정리)를 통해 알 수 있다.

에르되시-라도 델타 시스템 정리는 다음과 같이 요약될 수 있다:

모든 양의 정수

k, r

에 대해, 어떤 값

f(k,r)

이 존재하여, 크기가

k

인 집합들로 이루어진 집합 시스템

F

의 크기가

f(k,r)

보다 크면,

F

는 반드시 크기가

r

인 해바라기를 포함한다.

연구 문헌에서는 종종 집합 시스템

W

가 중복을 허용하지 않는 집합으로 가정되기도 하며, 모든 집합의 크기가 동일하게

k

인 "k-균일" 집합 시스템에 대해 해바라기 보조정리가 성립한다고 표현하기도 한다.

6. 응용

해바라기 보조정리는 이론 전산학에서 여러 응용 분야를 가진다. 예를 들어, 1986년 라즈보로프(Razborov)는 해바라기 보조정리를 사용하여 클리크(Clique) 언어가 $n^{\log(n)}$ (초다항식) 크기의 단조 회로를 필요로 한다는 것을 증명했다. 이는 당시 회로 복잡성 이론에서 중요한 결과로 평가받았다. 호스타드(Håstad), 유크나(Jukna), 푸들라크(Pudlák)는 이를 사용하여 깊이- $3$ $AC_0$ 회로에 대한 하한을 증명하기도 했다. 또한, 집합 커버 문제에 대한 매개변수 복잡성 연구에도 적용되어, 주어진 집합군에서 적어도 하나의 원소를 포함하는 작은 원소 집합을 찾기 위한 고정 매개변수 추적 가능 알고리즘을 설계하는 데 사용되었다.

7. Δ-보조정리 (Delta Lemma)

Δ-시스템(Delta-system) ''W''는 어떤 고정된 집합 ''S''(공집합일 수도 있음)가 존재하여, ''W''에 속하는 서로 다른 임의의 두 원소 ''A'', ''B''에 대해 ''A'' ∩ ''B'' = ''S''가 성립하는 집합의 모임을 말한다. 이때 ''S''를 Δ-시스템의 커널(kernel)이라고 한다.
Δ-보조정리는 조합론적 집합론의 중요한 결과 중 하나로, 크게 가산적인 경우와 비가산적인 경우로 나눌 수 있다.

비가산 Δ-보조정리: 유한 집합으로 이루어진 임의의 비가산 집합족은, 그 부분 집합으로 비가산적인 Δ-시스템을 반드시 포함한다는 정리이다. 즉, 유한 집합들의 모임이 비가산 개 존재하면, 그중에는 서로 교집합이 동일한(커널) 집합들이 비가산 개만큼 존재한다는 의미이다.
가산 Δ-보조정리: 가산 무한 개의 유한 집합(특히, 크기가 ''k''로 고정된 ''k''-집합)들로 이루어진 집합족은, 그 부분 집합으로 가산 무한 개의 원소를 갖는 Δ-시스템을 포함한다는 정리이다. 이는 본질적으로 에르되스-라도(Erdős-Rado)의 Δ-시스템 정리와 동일하다.

Δ-보조정리는 조합론적 집합론적 도구로, 특히 강제법 논증에서 중요한 역할을 한다. 강제법에서 사용되는 부분 순서 집합(poset) 내에서 서로 양립 불가능한(incompatible) 원소들의 모임(반사슬, antichain)의 크기에 대한 상한을 설정하는 데 사용된다. 예를 들어, 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)과 연속체 가설의 독립성을 증명하는 데 활용된다. 이 보조정리는 1946년 니콜라이 알렉산드로비치 샤닌에 의해 처음 소개되었다.

연속체 가설을 가정하면, 특정 조건 하에서 더 강한 형태의 Δ-보조정리가 성립한다. 예를 들어, 크기가 ω₂인 가산 부분 집합들의 모임

W \subseteq \mathcal{P}(\omega_2)

가 주어졌을 때, 연속체 가설이 성립한다면

W

는 크기 ω₂인 Δ-부분 시스템을 포함한다. 이 증명 과정에서는 포더의 보조정리와 같은 다른 집합론적 도구들이 사용된다. 구체적으로,

\langle A_\alpha:\alpha<\omega_2\rangle

가

W

의 원소들을 열거한다고 할 때, 공종도가 ω₁인

\alpha

에 대해 함수

f(\alpha) = \sup(A_\alpha \cap \alpha)

를 정의한다. 포더의 보조정리를 적용하여

f

가 ω₂ 안의 정상 집합(stationary set)

S

위에서 상수

\beta

값을 갖도록 할 수 있다. 이후 추가적인 과정을 통해 크기가 ω₂인 부분 집합

S'\subseteq S

를 구성하여,

i < j

이고

i, j \in S'

일 때마다

A_i \subseteq j

가 되도록 만들 수 있다. 연속체 가설 (

2^{\aleph_0} = \aleph_1

)을 이용하면

\beta

의 가산 부분 집합이 ω₁개만 존재하므로, 집합족을 더 줄여나가면서 커널을 일정하게 만들 수 있다.

참조

_[1] 문서 Δ-system
_[2] 웹사이트 Extremal Combinatorics III: Some Basic Theorems https://gilkalai.wor[...] 2008-09-28
_[3] 간행물 Extremal Problems on Δ-Systems https://doi.org/10.1[...] Springer US 2022-05-02
_[4] 논문 Intersection theorems for systems of sets 1972-05
_[5] 웹사이트 Quanta Magazine - Illuminating Science https://www.quantama[...] 2019-11-10
_[6] 논문 Intersection theorems for systems of sets 1972-05
_[7] 문서 Lower Bounds for the Sunflower Problem https://mathoverflow[...]
_[8] 저널 Sunflowers in Lattices http://www.combinato[...] 2005
_[9] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs http://store.elsevie[...] North-Holland 2016-08-10
_[10] 서적 Extremal combinatorics with applications in computer science 2011
_[11] 저널 Intersection theorems for systems of sets https://www.renyi.hu[...]
_[12] 저널 Every large set of equidistant (0, +1, −1)-vectors forms a sunflower

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