결합 마방진
1. 개요
결합 마방진은 각 쌍의 반대쪽 셀의 합이 동일한 마방진이다. 낙서도, 알브레히트 뒤러의 멜렌콜리아 I, 벤저민 프랭클린의 편지에서 발견되는 4x4 마방진 등이 결합 마방진의 예시이다. n × n 결합 마방진의 수는 n=3, 4, 5,...에 대해 1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ...개이며, n=6일 때는 존재하지 않는다. 결합 마방진은 단일 짝수 차수(2 모듈로 4)에서는 존재하지 않으며, 짝수 차수의 모든 결합 마방진은 특이 행렬을 형성한다.
| 종류 | 마방진 |
|---|---|
| 차수 | 홀수 차수 (3x3 이상) |
| 특징 | 중심 대칭적인 성질을 가짐 |
| 합 | 모든 쌍의 수가 중심에 대해 합이 같음 |
| 마법 상수 (3x3) | 15 |
| 마법 상수 (5x5) | 65 |
| 마법 상수 (7x7) | 175 |
| 연관성 | 마방진 반마방진 범마방진 |
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| 영어 명칭 | Associative magic square |
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2. 결합 마방진의 예시
예를 들어, 유일한 3×3 마방진인 낙서도는 결합 마방진이다. 각 쌍의 마주 보는 점들은 정사각형의 중심점을 지나며, 이 두 점의 합은 항상 같다. 이는 마방진의 한 줄의 합에서 중심점의 값을 뺀 값과 같다. 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 멜렌콜리아 I에 나타난 4×4 마방진 역시 결합 마방진이다. 이 마방진은 벤저민 프랭클린의 1765년 편지에서도 발견되며, 마주 보는 두 숫자의 합은 항상 17이다.
3. 결합 마방진의 존재성과 열거
n×n 크기의 결합 마방진의 개수는 회전이나 반사로 동일한 배열이 되는 경우는 하나로 간주하며, n = 3, 4, 5,... 에 따른 개수는 다음과 같다.
:1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ...
n = 6일 때 개수가 0인 것은, n이 단일 짝수일 때는 결합 마방진이 존재하지 않는다는 일반적인 규칙의 한 예이다.
3.1. 단일 짝수 차수의 부재
결합 마방진은 n의 값이 단일 짝수(즉, n을 4로 나누었을 때 나머지가 2인 경우, n ≡ 2 mod 4)일 때는 존재하지 않는다. 예를 들어, n = 6일 때 가능한 결합 마방진의 수는 0이다.
참고로, 짝수 차수의 모든 결합 마방진은 특이 행렬을 형성하지만, 홀수 차수의 결합 마방진은 특이 행렬일 수도 있고 아닐 수도 있다.