광자구

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1. 개요
2. 슈바르츠실트 블랙홀에서의 광자 궤도
- 2.1. 슈바르츠실트 계량을 이용한 유도
- 2.2. 측지선 방정식을 이용한 유도
3. 커 블랙홀 주위를 공전하는 광자
- 3.1. 적도면 상의 광자 궤도
- 3.2. 다양한 광자 궤도
참조

1. 개요

광자구는 블랙홀 주변을 공전하는 광자의 궤도를 설명한다. 슈바르츠실트 블랙홀의 경우, 광자 궤도는 모든 축에서 동일한 반경을 가지며, 슈바르츠실트 계량과 측지선 방정식을 통해 궤도의 반경이 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름의 3/2배임을 유도할 수 있다. 커 블랙홀의 경우, 회전하는 블랙홀의 축대칭성으로 인해 광자 궤도가 달라지며, 적도면에서 두 개의 원형 궤도가 존재하고, 다른 궤도는 적도를 중심으로 위도에서 진동하는 복잡한 경로를 가진다.

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광자구
개요
정의	블랙홀 주변에서 빛이 원형 궤도로 공전할 수 있는 영역
특징	빛조차도 탈출할 수 없는 영역인 사건 지평선과는 구별됨
중요성	블랙홀의 시각적 특징을 이해하는 데 중요한 역할 수행
상세 정보
원리	강한 중력으로 인해 빛이 휘어져 블랙홀 주변을 돎
위치	슈바르츠실트 블랙홀: 사건 지평선으로부터 1.5배 거리에 위치 회전 블랙홀: 복잡한 모양을 가지며, 사건 지평선과의 거리는 블랙홀의 회전 속도에 따라 달라짐
안정성	궤도가 불안정하여 빛은 결국 블랙홀로 떨어지거나 바깥으로 탈출 빛은 여러 번 회전할 수 있지만, 영원히 궤도를 유지할 수는 없음
관측	블랙홀 그림자: 빛고리는 블랙홀 그림자의 가장 안쪽에 위치하며, 실제 블랙홀보다 더 크게 보임 사건 지평선 망원경(Event Horizon Telescope, EHT): M87 은하 중심의 거대질량 블랙홀과 궁수자리 A*의 이미지를 얻는 데 사용됨
활용	중력 렌즈 효과: 빛고리 내부의 물체는 매우 왜곡되어 보임 블랙홀 연구: 빛고리의 크기와 모양을 통해 블랙홀의 특성을 파악 가능

2. 슈바르츠실트 블랙홀에서의 광자 궤도

슈바르츠실트 블랙홀은 회전하지 않고 전하를 띠지 않으며 구형 대칭을 갖는 블랙홀이다. 이러한 특징 덕분에, 슈바르츠실트 블랙홀 주변의 원형 광자 궤도는 가능한 모든 축에서 동일하며, 모든 원형 궤도는 같은 반지름을 가진다. 이 궤도의 반지름은 슈바르츠실트 반지름( $r_\text{s}$ )의 3/2배, 즉 $r = \frac{3}{2} r_\text{s}$ 로 주어진다.

2. 1. 슈바르츠실트 계량을 이용한 유도

슈바르츠실트 계량을 사용하여 슈바르츠실트 블랙홀 주변의 광자 궤도를 유도할 수 있다. 슈바르츠실트 블랙홀은 구형 대칭을 가지므로 원형 광자 궤도의 가능한 모든 축은 동일하며 모든 원형 궤도의 반경은 동일하다.

슈바르츠실트 계량은 다음과 같이 표현된다.

:

ds^2 = \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 - \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right)^{-1} \,dr^2 - r^2 (\sin^2\theta \,d\phi^2 + d\theta^2).

여기서

r_\text{s}

는 슈바르츠실트 반지름이다.

일정한 반경 ''r''(즉, ''φ''-좌표 방향)으로 이동하는 광자의 경우,

dr = 0

이다. 광자는

ds = 0

( "빛과 같은 간격")을 갖는다. 좌표계를 회전시켜

\theta

가 상수일 때(

d\theta = 0

) (예:

\theta = \pi/2

)로 만들 수 있다.

''ds'', ''dr'' 및 ''dθ''를 0으로 설정하면 다음과 같다.

:

\left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 = r^2 \sin^2\theta \,d\phi^2.

이를 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\frac{d\phi}{dt} = \frac{c}{r \sin\theta} \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}.

\frac{d\phi}{dt}

의 관계를 구하기 위해 방사형 측지선 방정식을 사용하면,

:

\frac{d^2r}{d\tau^2} + \Gamma^r_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 0.

여기서 사라지지 않는

\Gamma

-연결 계수는 다음과 같다.

:

\Gamma^r_{tt} = \frac{c^2 BB'}{2}, \quad\Gamma^r_{rr} = -\frac{B^{-1} B'}{2}, \quad\Gamma^r_{\theta\theta} = -rB, \quad\Gamma^r_{\phi\phi} = -Br\sin^2\theta,

여기서

B = 1 - \frac{r_\text{s}}{r}

이고,

B' = \frac{dB}{dr}

이다.

상수

r

과

\theta

로 광자의 방사형 측지선을 처리하면

:

\frac{dr}{d\tau} = \frac{d^2r}{d\tau^2} = \frac{d\theta}{d\tau} = 0.

이를 방사형 측지선 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 = \frac{c^2 r_\text{s}}{2r^3\sin^2\theta}.

이전에 얻은 식과 비교하면,

:

c \sqrt{\frac{r_\text{s}}{2r}} = c \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}},

위 식은

\theta = \pi/2

라디안을 가정한 것이다.

따라서 이를 다시 정리하면 최종적으로 광자 궤도의 반경은 다음과 같다.

:

r = \frac{3}{2} r_\text{s},

2. 2. 측지선 방정식을 이용한 유도

광자의 운동은 측지선 방정식을 통해서도 기술할 수 있다. 측지선 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{d^2r}{d\tau^2} + \Gamma^r_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 0.

이 방정식을 풀면, 슈바르츠실트 블랙홀 주변의 광자 궤도에 대한 동일한 결과를 얻을 수 있다.

슈바르츠실트 계량은 다음과 같이 주어진다.

:

ds^2 = \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 - \left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right)^{-1} \,dr^2 - r^2 (\sin^2\theta \,d\phi^2 + d\theta^2).

일정한 반경 ''r'' (즉, ''φ''방향)으로 이동하는 광자의 경우,

dr = 0

이다. 광자는

ds = 0

("빛과 유사한 간격")이다.

\theta

가 일정할 때(

d\theta = 0

)에 항상 좌표계를 회전시킬 수 있다. (예:

\theta = \pi/2

)

따라서 ''ds'', ''dr'' 및 ''dθ''를 0으로 설정하면 다음과 같다.

:

\left(1 - \frac{r_\text{s}}{r}\right) c^2 \,dt^2 = r^2 \sin^2\theta \,d\phi^2.

다시 쓰면 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{d\phi}{dt} = \frac{c}{r \sin\theta} \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}}.

\frac{d\phi}{dt}

의 관계를 위해 방사형 측지선 방정식을 사용하면,

:

\frac{d^2r}{d\tau^2} + \Gamma^r_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 0.

여기서 사라지지 않는

\Gamma

-연결 계수는 다음과 같다.

:

\Gamma^r_{tt} = \frac{c^2 BB'}{2}, \quad\Gamma^r_{rr} = -\frac{B^{-1} B'}{2}, \quad\Gamma^r_{\theta\theta} = -rB, \quad\Gamma^r_{\phi\phi} = -Br\sin^2\theta,

여기서

B = 1 - \frac{r_\text{s}}{r}

이고,

B' = \frac{dB}{dr}

이다.

상수

r

과

\theta

로 광자의 방사형 측지선을 처리하면

:

\frac{dr}{d\tau} = \frac{d^2r}{d\tau^2} = \frac{d\theta}{d\tau} = 0.

이를 방사형 측지선 방정식(종속된 변수로서 방사형 좌표를 갖는 측지선 방정식)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 = \frac{c^2 r_\text{s}}{2r^3\sin^2\theta}.

이전에 얻은 것과 비교해보면,

:

c \sqrt{\frac{r_\text{s}}{2r}} = c \sqrt{1 - \frac{r_\text{s}}{r}},

위 식은

\theta = \pi/2

라디안을 가정한 것이다.

따라서 이것을 다시 정리하면 최종적으로 다음과 같다.

:

r = \frac{3}{2} r_\text{s},

3. 커 블랙홀 주위를 공전하는 광자

커 블랙홀은 회전하는 블랙홀로, 슈바르츠실트 블랙홀과는 다르게 구형 대칭이 아닌 축대칭을 가지기 때문에 광자 궤도에 큰 영향을 미친다. 광자 궤도와 광자원(photon circle)에 대한 자세한 내용과 시뮬레이션은 Cramer^[22]를 참조하라. 적도면에서는 서로 다른 두 원 광자 궤도(순행과 역행)가 존재하며, 다른 일정한 반경을 가지는 궤도도 존재하지만 적도 근처의 위도에서 위아래로 진동하는 더 복잡한 경로를 가진다.^[23]

3. 1. 적도면 상의 광자 궤도

커 블랙홀은 슈바르츠실트 블랙홀과 달리 구형 대칭이 아니라 축대칭이므로 광자 궤도에 큰 영향을 미친다.^[22] 적도면에서는 서로 다른 두 개의 원형 광자 궤도(순행과 역행)가 존재하고, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표 반경으로 다음과 같이 주어진다.^[23]

:

r_\pm^\circ = r_\text{s} \left[1 + \cos\left(\frac23 \arccos\frac{\pm|a|}{M}\right)\right],

여기서

a = J/M

는 블랙홀의 단위질량당 각운동량이다.^[23] 다른 일정한 반경을 가지는 궤도도 존재하지만 적도 근처의 위도에서 위아래로 진동하는 더 복잡한 경로를 가지고 있다.^[23]

3. 2. 다양한 광자 궤도

슈바르츠실트 블랙홀과 달리 커 블랙홀은 구형 대칭이 아니라 축대칭이므로 광자 궤도에 큰 영향을 미친다. 적도면에서는 서로 다른 두 원 광자 궤도(순행과 역행)가 존재하고, 이는 보이어-린드퀴스트 좌표 반경으로 다음과 같이 주어진다.^[23]

:

r_\pm^\circ = r_\text{s} \left[1 + \cos\left(\frac23 \arccos\frac{\pm|a|}{M}\right)\right],

여기서

a = J/M

는 블랙홀의 단위질량당 각운동량이다.^[23] 다른 일정한 반경을 가지는 궤도도 존재하지만 적도 근처의 위도에서 위아래로 진동하는 더 복잡한 경로를 가진다.^[23]

참조

_[1] 웹사이트 Astronomers Capture First-Ever Image of a Supermassive Black Hole https://www.smithson[...] Smithsonian Institution 2019-04-10
_[2] 논문 Using the Uncharged Kerr Black Hole as a Gravitational Mirror 1997
_[3] 논문 Using the Uncharged Kerr Black Hole as a Gravitational Mirror 1997
_[4] 웹사이트 What the Sight of a Black Hole Means to a Black Hole Physicist https://www.quantama[...] 2024-08-29
_[5] 논문 Properties of ultracompact neutron stars https://ui.adsabs.ha[...] 1993-04
_[6] 논문 Using the Uncharged Kerr Black Hole as a Gravitational Mirror 1997
_[7] 논문 Centrifugal-force reversal near a Schwarzschild black hole
_[8] 웹사이트 Lecture XXVII: Kerr black holes: II. Precession, circular orbits, and stability http://www.tapir.cal[...] Caltech 2011-12
_[9] 논문 Spherical Photon Orbits Around a Kerr Black Hole http://www.physics.n[...] 2010-08-24
_[10] 웹사이트 Astronomers Capture First-Ever Image of a Supermassive Black Hole https://www.smithson[...] Smithsonian Institution 2019-04-10
_[11] 논문 Using the Uncharged Kerr Black Hole as a Gravitational Mirror 1997
_[12] 웹사이트 NASAがブラックホールの動画を作成…近くまで行ったらこう見える https://www.business[...] Mediagene Inc 2019-10-05
_[13] 웹사이트 研究の背景 https://www.miz.nao.[...] EHT-Japan 2022-09-08
_[14] 웹사이트 ブラックホール“シャドウ”の撮影 https://www.chart.co[...] 数研出版 2022-09-08
_[15] 웹사이트 Properties of ultracompact neutron stars http://adsabs.harvar[...]
_[16] 논문 Centrifugal-force reversal near a Schwarzschild black hole
_[17] 웹인용 Astronomers Capture First-Ever Image of a Supermassive Black Hole https://www.smithson[...] Smithsonian Institution 2019-04-15
_[18] 뉴스 What the Sight of a Black Hole Means to a Black Hole Physicist https://www.quantama[...] Quanta Magazine 2019-04-10
_[19] 저널 Properties of ultracompact neutron stars http://adsabs.harvar[...] 1993-04
_[20] 저널 Centrifugal-force reversal near a Schwarzschild black hole
_[21] 웹인용 Lecture XXVII: Kerr black holes: II. Precession, circular orbits, and stability http://www.tapir.cal[...] Caltech 2018-03-05
_[22] 저널 Using the Uncharged Kerr Black Hole as a Gravitational Mirror 1997
_[23] 저널 Spherical Photon Orbits Around a Kerr Black Hole http://www.physics.n[...] 2010-08-24

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