기븐스 행렬
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1. 본문
기븐스 행렬(Givens rotation)에 대해 알려드리겠습니다.
기븐스 회전(Givens rotation)은 선형 대수학에서 사용하는 행렬의 한 종류로, 주어진 벡터의 특정 두 요소를 회전시키는 역할을 합니다. 이를 통해 특정 요소를 0으로 만드는 데 사용될 수 있습니다.
기븐스 행렬의 형태:2차원 평면에서 각도 θ만큼 회전하는 기븐스 행렬 G는 다음과 같습니다.
```
G =
[sin(θ), cos(θ)]]
```
이 행렬은 벡터에 곱해져서 해당 벡터를 θ만큼 회전시키는 역할을 합니다.
n차원 공간에서의 기븐스 행렬:n차원 공간에서 i번째 요소와 j번째 요소를 회전시키는 기븐스 행렬은 다음과 같이 구성됩니다. (단, i < j)
- 대각선 요소 중 i번째와 j번째 요소는 cos(θ)입니다.
- (i, j) 위치의 요소는 -sin(θ)입니다.
- (j, i) 위치의 요소는 sin(θ)입니다.
- 나머지 대각선 요소는 모두 1입니다.
- 다른 모든 요소는 0입니다.
기븐스 행렬의 활용:
- QR 분해: 기븐스 회전은 행렬을 QR 분해하는 데 사용될 수 있습니다. QR 분해는 행렬을 직교 행렬(Q)과 상삼각 행렬(R)의 곱으로 분해하는 방법입니다. 기븐스 회전을 반복적으로 적용하여 행렬의 특정 요소를 0으로 만들면서 상삼각 행렬을 만듭니다.
- 고유값 문제: 기븐스 회전은 행렬의 고유값을 계산하는 데에도 사용될 수 있습니다.
- 최소제곱법: 선형 시스템의 해를 구하거나 최소제곱 문제를 해결하는 데 활용될 수 있습니다.
요약:기븐스 행렬은 선형 대수학에서 특정 요소를 회전시키거나 0으로 만드는 데 사용되는 중요한 도구입니다. QR 분해, 고유값 문제, 최소제곱법 등 다양한 분야에서 활용됩니다.
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