뇌터 군
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1. 본문
뇌터 군(Noetherian group)은 군론에서 사용하는 용어로, 다음과 같이 정의됩니다.
- 정의: 군의 모든 부분군이 유한 생성(finitely generated)되는 군을 뇌터 군이라고 합니다. 즉, 뇌터 군의 임의의 부분군은 유한 개의 원소로 생성될 수 있습니다.
- 다른 정의: 부분군에 대한 오름 사슬 조건(ascending chain condition)을 만족하는 군을 뇌터 군이라고 정의하기도 합니다. 이는 모든 부분군이 유한 생성이라는 조건과 동치입니다.
뇌터 군의 예시:
- 유한 군: 모든 유한 군은 뇌터 군입니다.
- 무한 순환군: 무한 순환군(infinite cyclic group)은 유한 생성되므로 뇌터 군입니다.
뇌터 군이 아닌 예시:
- 램프라이터 군(Lamplighter group): 램프라이터 군은 뇌터 군이 아닙니다
뇌터 군과 관련된 정리:
- 군 G의 군환(group ring) Z[G]가 뇌터 환(Noetherian ring)이면, 군 G는 뇌터 군입니다.
- 군 G가 유한 생성 부분군을 포함하지 않으면, Z[G]는 뇌터 환이 아닙니다.
뇌터 군은 에미 뇌터(Emmy Noether)라는 수학자의 이름에서 따온 것입니다. 에미 뇌터는 추상대수학(abstract algebra)과 군론(group theory) 발전에 큰 공헌을 한 수학자입니다.
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